吉林省吉林市普通中学2022年九年级数学第一学期期末考试试题含解析

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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在反比例函数y=13k
x
-
的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2).若x1<0<x2,y1<y2则k的取值范围是()
A.k≥1
3
B.k>
1
3
C.k<﹣
1
3
D.k<
1
3
2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知∠A=80°,则∠C的度数是()
A.40°B.80°C.100°D.120°
3.一元二次方程x2-8x-1=0配方后为( )
A.(x-4)2=17 B.(x+4)2=15
C.(x+4)2=17 D.(x-4)2=17或(x+4)2=17
4.如图,在正方形网格中,已知ABC的三个顶点均在格点上,则sin CAB
∠=( )
A.2 B 10
C
310
D.
1
3
5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC平分∠DAB,且∠DAC=∠DBC,那么下列结论不一定正确的是()
A .△AOD ∽△BOC
B .△AOB ∽△DO
C C .C
D =BC D .BC •CD =AC •OA
6.如图,在Rt ABC 中,ACB 90∠=,A 30∠=,CD AB ⊥于点D .则BCD 与ABC 的周长之比为( )
A .1:2
B .1:3
C .1:4
D .1:5
7.服装店为了解某品牌外套销售情况,对各种码数销量进行统计店主最应关注的统计量是( )
A .平均数
B .中位数
C .方差
D .众数
8.下列语句中,正确的有( )
A .在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等
B .平分弦的直径垂直于弦
C .长度相等的两条弧相等
D .圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴
9.某篮球队14名队员的年龄如表: 年龄(岁)
18 19 20 21 人数 5 4 3 2 则这14名队员年龄的众数和中位数分别是( )
A .18,19
B .19,19
C .18,4
D .5,4
10.下列说法正确的是( )
A .不可能事件发生的概率为0;
B .随机事件发生的概率为12
C .概率很小的事件不可能发生;
D .投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次
二、填空题(每小题3分,共24分)
1101
19(31)4-⎛⎫--= ⎪⎝⎭
__________. 12.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1:3,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为_____.
范围为_____.
14.如图,一下水管横截面为圆形,直径为100cm ,下雨前水面宽为60cm ,一场大雨过后,水面上升了10cm ,则水面宽为__________cm .
15.抛物线282y x x =++的对称轴为直线______.
16.如图,点A 在反比例函数k y x =的图象上,AB x ⊥轴,垂足为B ,且3AOB S ∆=,则k =__________.
17.若一元二次方程230x x m -+=的一个根是2x =,则m =__________.
18.如图,直线y =k 1x +b 与双曲线2k y=x
交于A 、B 两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k 1x <2k x +b 的解集是 ▲ .
三、解答题(共66分)
19.(10分)用一根长12cm 的铁丝能否围成面积是72cm 的矩形?请通过计算说明理由.
20.(6分)计算:|13|+()2160tan 30cos --︒-︒
0327(253). 21.(6分)对于二次函数y =x 2﹣3x +2和一次函数y =﹣2x +4,把y =t (x 2﹣3x +2)+(1﹣t )(﹣2x +4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t 是不为零的实数,其图象记作抛物线L .现有点A (2,0)和抛物线L 上的点B (﹣1,n ),请完成下列任务:
(1)当t =2时,抛物线y =t (x 2﹣3x +2)+(1﹣t )(﹣2x +4)的顶点坐标为 ;
(2)判断点A 是否在抛物线L 上;
(3)求n 的值;
(发现)
通过(2)和(3)的演算可知,对于t 取任何不为零的实数,抛物线L 总过定点,坐标为 .
(应用)
二次函数y =﹣3x 2+5x +2是二次函数y =x 2﹣3x +2和一次函数y =﹣2x +4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t 的值;如果不是,说明理由.
22.(8分)如图,抛物线y=ax 2+bx(a <0)过点E(10,0),矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点A 在点B 的左边),点C ,D 在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=1.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t 为何值时,矩形ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD 不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ,H ,且直线GH 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
23.(8分)如图,双曲线11k y x
=(0x >)与直线22y k x b =+交于点(2,4)A 和(,2)B a ,连接OA 和OB .
(1)求双曲线和直线的函数关系式.
(2)观察图像直接写出:当12y y >时,x 的取值范围.
(3)求AOB ∆的面积.
24.(8分)已知抛物线y =-x 2
+bx +c 与直线y =-4x +m 相交于第一象限内不同的两点A(5,n),B(3,9),求此抛物线的解析式.
25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,B 点的坐标为(6,0),点M 为抛物线上的一个动点.
(1)若该二次函数图象的对称轴为直线x =4时:
①求二次函数的表达式;
②当点M 位于x 轴下方抛物线图象上时,过点M 作x 轴的垂线,交BC 于点Q ,求线段MQ 的最大值;
(2)过点M 作BC 的平行线,交抛物线于点N ,设点M 、N 的横坐标为m 、n .在点M 运动的过程中,试问m +n 的值是否会发生改变?若改变,请说明理由;若不变,请求出m +n 的值.
26.(10分)抛物线y =﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x =2,且顶点在x 轴上.
(1)求b 、c 的值;
(2)画出抛物线的简图并写出它与y 轴的交点C 的坐标;
(3)根据图象直接写出:点C 关于直线x =2对称点D 的坐标 ;若E(m ,n)为抛物线上一点,则点E 关于直线x =2对称点的坐标为 (用含m 、n 的式子表示).
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限,于是得到1﹣3k>0,然后解不等式即可.【详解】∵x1<0<x2,y1<y2,
∴反比例函数图象分布在第一、三象限,
∴1﹣3k>0,
∴k<1
3

故选:D.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质,根据点的横纵坐标的关系即可确定函数图象所在的象限,由此得到k的取值范围.
2、C
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°,代入求出即可.
【详解】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠C+∠A=180°,
∵∠A=80°,
∴∠C=100°,
故选:C.
本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键.
3、A
【解析】x 2-8x -1=0,移项,得x 2-8x =1,配方,得x 2-8x +42=1+42,即(x -4)2=17.
故选A.
点睛:配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
4、B
【分析】过C 点作CD ⊥AB ,交AB 的延长线于D 点,则CD=1,AC=10 ,在直角三角形ACD 中即可求得sin CAB ∠的值.
【详解】过C 点作CD ⊥AB ,交AB 的延长线于D 点,
则CD=1,2213=10+
在直角三角形ACD 中
10sin =
10
CD CAB AC ∠= 故选:B
【点睛】 本题考查的是网格中的锐角三角函数,关键是创造直角三角形,尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.
5、D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.
【详解】解:∵∠DAC=∠DBC ,∠AOD=∠BOC ,∴AOD ∆∽BOC ∆ ,故A 不符合题意;
∵AOD ∆∽BOC ∆ ,∴AO :OD=OB :OC ,∵∠AOB=∠DOC ,∴AOB ∆∽
DOC ∆,故B 不符合题意; ∵AOB ∆∽DOC ∆,∴∠CDB=∠CAB,
∵∠CAD=∠CAB,∠DAC =∠DBC,∴∠CDB=∠DBC,∴CD=BC;
没有条件可以证明BC CD AC OA ⋅=⋅,
故选D.
本题考查了相似三角形的判定与性质,解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似;③三组对应边的比相等,则两个三角形相似. 6、A
【详解】∵∠B=∠B,∠BDC=∠BCA=90°,
∴△BCD∽△BAC;①
∴∠BCD=∠A=30°;
Rt△BCD中,∠BCD=30°,则BC=2BD;
由①得:C△BCD:C△BAC=BD:BC=1:2;故选A
7、D
【分析】根据题意,应该关注哪种尺码销量最多.
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数,故应该关注这组数据中的众数.
故选D
【点睛】
本题考查了数据的选择,根据题意分析,即可完成。

属于基础题.
8、A
【解析】试题分析:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故B错误;长度和度数都相等的两条弧相等,故C错误;圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,故D错误;则本题选A.
9、A
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得.
【详解】∵这组数据中最多的数是18,
∴这14名队员年龄的众数是18岁,
∵这组数据中间的两个数是19、19,
∴中位数是1919
2
=19(岁),
故选:A.
【点睛】
本题考查众数和中位数,将一组数据从小到大的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数称为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数;一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数;熟练掌握定义是解题关键.
10、A
【分析】由题意根据不可能事件是指在任何条件下不会发生,随机事件就是可能发生,也可能不发生的事件,发生的
【详解】解:A 、不可能事件发生的概率为0,故本选项正确;
B 、随机事件发生的概率P 为0<P <1,故本选项错误;
C 、概率很小的事件,不是不发生,而是发生的机会少,故本选项错误;
D 、投掷一枚质地均匀的硬币1000次,是随机事件,正面朝上的次数不确定是多少次,故本选项错误;
故选:A .
【点睛】
本题考查不可能事件、随机事件的概念.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2-
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点,在计算时需要针对每个考点分别进行计算,然后再进行加减运算即可.
0111)4-⎛⎫--= ⎪⎝⎭
3-4-1=-2. 故答案为:-2.
【点睛】
本题考查的是实数的运算能力,注意要正确掌握运算顺序及运算法则.
12、1:1.
【解析】试题分析:∵△ABC ∽△A′B′C′,相似比为1:3,
∴△ABC 与△A′B′C′的面积之比为1:1.
考点:相似三角形的性质.
13、3<r ≤1或r =125
. 【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点,再结合图形得出另一种有一个交点的情况,即可得出答案.
【详解】解:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,
∵AC =3,BC =1.∴AB =5,
如果以点C 为圆心,r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点,
当直线与圆相切时,d =r ,圆与斜边AB 只有一个公共点,
∴CD×
AB =AC×BC , ∴CD =r =125

∴3<r≤1,
故答案为3<r≤1或r=12
5

【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系,结合题意画出符合题意的图形,从而得出答案,此题比较容易漏解.14、1
【分析】先根据勾股定理求出OE的长,再根据垂径定理求出CF的长,即可得出结论.
【详解】解:如图:作OE⊥AB于E,交CD于F,连接OA,OC
∵AB=60cm,OE⊥AB,且直径为100cm,
∴OA=50cm,AE=1
30cm 2
AB=
∴22
503040cm
-=,
∵水管水面上升了10cm,
∴OF=40-10=030cm,
∴2240
OC OF cm
-=,
∴CD=2CF=1cm.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
15、4
x=-
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式,即可写出该抛物线的对称轴.
【详解】∵抛物线y =x 2+8x +2=(x +1)2﹣11,
∴该抛物线的对称轴是直线x =﹣1.
故答案为:x =﹣1.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
16、6 【分析】根据三角形的面积等于
2k 即可求出k 的值. 【详解】∵由题意得:
2k =3, 解得6k =±,
∵反比例函数图象的一个分支在第一象限,
∴k=6,
故答案为:6.
【点睛】
此题考查反比例函数的比例系数k 的几何意义,掌握三角形的特点与k 的关系是解题的关键.
17、1
【分析】将x=1代入一元二次方程230x x m -+=,即可求得m 的值,本题得以解决.
【详解】解:∵一元二次方程230x x m -+=有一个根为x=1,
∴11-6+m=0,
解得,m=1,
故答案为1.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解,解答本题的关键是明确题意,求出m 的值.
18、-2<x <-1或x >1.
【解析】不等式的图象解法,平移的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,对称的性质.
不等式k 1x <2k x +b 的解集即k 1x -b <2k x
的解集,根据不等式与直线和双曲线解析式的关系,可以理解为直线y =k 1x -b 在双曲线2k y=x
下方的自变量x 的取值范围即可.
而直线y =k 1x -b 的图象可以由y =k 1x +b 向下平移2b 个单位得到,如图所示.根据函数2k y=
x 图象的对称性可得:直线y =k 1x -b 和y =k 1x +b 与双曲线2k y=x
的交点坐标关于原点对称. 由关于原点对称的坐标点性质,直线y =k 1x -b 图象与双曲线2k y=x
图象交点A′、B′的横坐标为A 、B 两点横坐标的相反数,即为-1,-2.
∴由图知,当-2<x <-1或x >1时,直线y =k 1x -b 图象在双曲线2k y=
x 图象下方. ∴不等式k 1x <2k x
+b 的解集是-2<x <-1或x >1.
三、解答题(共66分)
19、用一根长12cm 的铁丝能围成面积是72cm 的矩形,理由见解析
【分析】设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ,然后根据矩形的面积公式列出方程,并解方程即可.
【详解】解:设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm .
根据题意,得(6)7x x -= 解这个方程,得132x =232x =当132x =1632x -=232x =时,2632x -=
答:用一根长12cm 铁丝能围成面积是72cm 的矩形.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用,掌握利用矩形的面积公式列方程是解决此题的关键.
20、1.
【分析】根据根式、绝对值、指数的运算,以及特殊角的三角函数值,即可求得.
【详解】|13(﹣cos60°)2﹣
3127tan 30
︒+5)0 31+43﹣1
=1
【点睛】
本题考查根式、绝对值、指数的运算,以及特殊角的三角函数值,属基础题.
21、[尝试](1)(1,﹣2);(2)点A在抛物线L上;(3)n=1;[发现](2,0),(﹣1,1);[应用]不是,理由见解析.【分析】[尝试]
(1)将t的值代入“再生二次函数”中,通过配方可得到顶点的坐标;
(2)将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可;
(3)已知点B在抛物线L上,将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解,即可得到n的值.
[发现]
将抛物线L展开,然后将含t值的式子整合到一起,令该式子为0(此时无论t取何值都不会对函数值产生影响),即可求出这个定点的坐标.
[应用]
将[发现]中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可.
【详解】解:[尝试]
(1)∵将t=2代入抛物线L中,得:
y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)=2x2﹣4x=2(x﹣1)2﹣2,
∴此时抛物线的顶点坐标为:(1,﹣2).
(2)∵将x=2代入y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得y=0,
∴点A(2,0)在抛物线L上.
(3)将x=﹣1代入抛物线L的解析式中,得:
n=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)=1.
[发现]
∵将抛物线L的解析式展开,得:
y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)=t(x﹣2)(x+1)﹣2x+4
当x=2时,y=0,当x=-1时,y=1,与t无关,
∴抛物线L必过定点(2,0)、(﹣1,1).
[应用]
将x=2代入y=﹣3x2+5x+2,y=0,即点A在抛物线上.
将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2,计算得:y=﹣1≠1,
即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B,
∴二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”.
【点睛】
本题考查二次函数的新型定义问题,熟练掌握二次函数的图像与性质,理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.
22、(1)21542y x x =-
+;(2)当t=1时,矩形ABCD 的周长有最大值,最大值为412;(3)抛物线向右平移的距离是1个单位.
【分析】(1)由点E 的坐标设抛物线的交点式,再把点D 的坐标(2,1)代入计算可得;
(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t ,据此知AB=10-2t ,再由x=t 时AD=21542
t t -
+,根据矩形的周长公式列出函数解析式,配方成顶点式即可得;
(3)由t=2得出点A 、B 、C 、D 及对角线交点P 的坐标,由直线GH 平分矩形的面积知直线GH 必过点P ,根据AB ∥CD 知线段OD 平移后得到的线段是GH ,由线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P 知PQ 是△OBD 中位线,据此可得.
【详解】(1)设抛物线解析式为()10y ax x =-,
当2t =时,4AD =, ∴点D 的坐标为()2,4,
∴将点D 坐标代入解析式得164a -=, 解得:14
a =-, 抛物线的函数表达式为21542y x x =-
+; (2)由抛物线的对称性得BE OA t ==,
102AB t ∴=-,
当x t =时,21542
AD t t =-+, ∴矩形ABCD 的周长()2AB AD =+
()215210242t t t ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦, 21202
t t =-++, ()2141122
t =--+, 102
-<, ∴当1t =时,矩形ABCD 的周长有最大值,最大值为
412
; (3)如图,
当2t =时,点A 、B 、C 、D 的坐标分别为()2,0、()8,0、()8,4、()2,4,
∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为()5,2,
直线GH 平分矩形的面积,
∴点P 是GH 和BD 的中点,
DP PB ∴=,
由平移知,//PQ OB
PQ ∴是ODB ∆的中位线,
142
PQ OB ∴==, 所以抛物线向右平移的距离是1个单位.
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点.
23、(1)18y x
=
,26y x =-+;(2)02x <<或4x >;(3)6 【分析】(1)把点A 坐标代入11k y x =可求出双曲线的关系式,进而可得点B 坐标,再利用待定系数法即可求出直线的解析式;
(2)找出图象上双曲线比直线高的部分对应的x 的取值范围即可;
(3)过点A 作x 轴平行线交y 轴于点C ,过点B 作y 轴平行线交x 轴于点D ,所作两直线相交于E ,如图,利用AOB ODEC AOC BOD ABE S S S S S =---代入数据计算即可.
【详解】解(1)∵点()2,4A 在双曲线上11k y x =
上, ∴1248k =⨯=, ∴18y x
=,
∵点(),2B a 也在双曲线18y x =, ∴4a =, ∵点()2,4A 和点()4,2B 在直线22y k x b =+上,
∴222442k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:216k b =-⎧⎨=⎩
, ∴直线关系式为26y x =-+;
(2)当12y y >时,x 的取值范围是:02x <<或4x >;
(3)过点A 作x 轴平行线,交y 轴于点C ,过点B 作y 轴平行线,交x 轴于点D ,所作
两直线相交于E ,如图,则点E (4,4),
∴AOB ODEC AOC BOD ABE S S S S S =---111442424226222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识,属于常考题型,熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键.
24、y =-x 2
+4x +2.
【分析】根据点B 的坐标可求出m 的值,写出一次函数的解析式,并求出点A 的坐标,最后利用点A 、B 两点的坐标求抛物线的解析式.
【详解】(1)∵直线y =﹣4x +m 过点B (3,9),∴9=﹣4×3+m ,解得:m =1,∴直线的解析式为y =﹣4x +1. ∵点A (5,n )在直线y =﹣4x +1上,∴n =﹣4×5+1=1,∴点A (5,1),
将点A (5,1)、B (3,9)代入y =﹣x 2+bx +c 中,得: 1255993b c b c =-++⎧⎨=-++⎩
, 解得:46b c =⎧⎨=⎩
, ∴此抛物线的解析式为y =﹣x 2+4x +2.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
25、(1)①y=x2﹣8x+3;②线段MQ的最大值为1.(2)m+n的值为定值.m+n=2.
【分析】(1)①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式;
②设M(m,m2﹣8m+3),利用待定系数法求出直线BC的解析式,从而求出Q(m,﹣2m+3),即可求出MQ的长与m的函数关系式,然后利用二次函数求最值即可;
(2)将B(2,0)代入二次函数解析式中,求出二次函数解析式即可求出点C的坐标,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,根据一次函数的性质设出直线MN的解析式,然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论.
【详解】(1)①由题意
3660
4
2
b c
b
++=



-=
⎪⎩

解得
8
12
b
c
=-


=


∴二次函数的解析式为y=x2﹣8x+3.
②如图1中,设M(m,m2﹣8m+3),
∵B(2,0),C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+3,
∵MQ⊥x轴,
∴Q(m,﹣2m+3),
∴QM=﹣2m+3﹣(m2﹣8m+3)=﹣m2+2m=﹣(m﹣3)2+1,∵﹣1<0,
∴m=3时,QM有最大值,最大值为1.
(2)结论:m+n的值为定值.
理由:如图2中,
将B (2,0)代入二次函数解析式中,得
3660++=b c
解得:366=--c b
∴二次函数解析式为2
366=+--y x bx b
∴C (0,﹣32﹣2b ),
设直线BC 的解析式为y =kx ﹣32﹣2b ,
把(2,0)代入得到:k =2+b ,
∴直线BC 的解析式为y =(2+b )x ﹣32﹣2b ,
∵MN ∥CB ,
∴可以假设直线MN 的解析式为y =(2+b )x +b ′, 由2366(6)y x bx b y b x b
⎧=+--⎨=++⎩,消去y 得到:x 2﹣2x ﹣32﹣2b ﹣b ′=0,
∴x 1+x 2=2,
∵点M 、N 的横坐标为m 、n ,
∴m +n =2.
∴m +n 为定值,m +n =2.
【点睛】
此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型,掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键.
26、(1)b =4,c =﹣4;(2)见解析,(0,﹣4);(3)(4,﹣4),(4﹣m ,n)
【分析】(1)根据图象写出抛物线的顶点式,化成一般式即可求得b 、c ;
(2)利用描点法画出图象即可,根据图象得到C (0,﹣4);
(3)根据图象即可求得.
【详解】解:(1)∵抛物线y =﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x =2,且顶点在x 轴上,
∴顶点为(2,0),
∴抛物线为y=﹣(x﹣2)2=﹣x2+4x﹣4,
∴b=4,c=﹣4;
(2)画出抛物线的简图如图:
点C的坐标为(0,﹣4);
(3)∵C(0,﹣4),
∴点C关于直线x=2对称点D的坐标为(4,﹣4);
若E(m,n)为抛物线上一点,则点E关于直线x=2对称点的坐标为(4﹣m,n),
故答案为(4,﹣4),(4﹣m,n).
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像及其对称性,熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.。

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