广东省广州市天河区2024届高三下学期综合测试(二) 数学

2024届天河区普通高中毕业班综合测试（二）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上.
3.非选择题必须用，黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
3,A x x k k ==∈N ，
{}
6,B x x z z ==∈N ，则（）
A.A B ⊆
B.B A ⊆
C.A B
= D.A B ⋃=N
2.设a ，b 为非零向量，则“a b a b +=+
”是“a 与b 共线”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()2,M m 到焦点的距离为3，则p =（）A.6
B.4
C.2
D.1
4.若实数m 满足()2log 1m m -<+，则m 的取值范围为（）
A.
()
,0∞- B.
()
0,∞+ C.
(),1-∞- D.
()
1,0-5.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到27.174χ=.依据0.005α=的独立性检验，结论为（
）
α
0.10.050.010.0050.001
x α
2.706
3.841 6.6357.87910.828
A.变量x 与y 独立
B.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C.变量x 与y 不独立
D.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
6.若直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，则圆22
1
()()4
x a y b -+-=
与圆O （）
A.外切
B.相交
C.内切
D.没有公共点
7.已知6π5πcos ,536
ααα+=<<，则cos α=（）
A.
343
10+ B.
C.410
D.
410
-8.设123451050x x x x x ≤<<<<≤，随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值
23344551
12,,,,22222
x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2，若记()()12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（
）
A.()()12D D ξξ<
B.()()12D D ξξ=C .
()()
12D D ξξ>D.()1D ξ与()2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值有关
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）
A.若m //
,n αα⊂，则m //n
B.若,,m n m αβ⊥⊥//n ，则α//β
C .
若α//,m βα⊂，则m //
β
D.若α//,,m n βαβ⊂⊂，则m //n
10.已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（
）
A.()f x 的最小正周期为π
B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增C.()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向左平移π
3
个单位长度得到D.函数()ππ2246x F x f f x ⎛⎫⎛
⎫=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小值为94-
11.双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设O 为坐标原点，双
曲线22
2:1(0)20x y C b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点A 到一条渐近线的距离为2，右支上一动点P
处的切线记为l ，则（
）
A.双曲线C 的渐近线方程为12
y x =± B.双曲线C 的离心率为
305
C.当2PF x ⊥轴时，12
PF =
D.过点1F 作1F K l ⊥，垂足为,K OK =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若1i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程220x kx ++=的一个虚根，则实数k =__________.
13.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-，若()1
ln28
f =
，则=a __________.14.如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全
等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x ，和i y ，分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
()
()()()20
20
20
2
2
1
1
1
80,9000,800i
i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑.
（1）求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y （单位：只）和植物覆盖面积x （单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X ，求随机变量X 的分布列.
附：相关系数()()
1.414
n
i
i
x x y y r --=
∑16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是菱形，且与平面1A BC 垂直，BC AC ⊥，
1
1
4,2AA AC BC ===.（1）证明：BC
⊥平面11ACC A ；
（2）棱1CC 上是否存在一点D ，使得直线1A D 与平面11ABB A 所成角为30 ？若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由.
17.已知数列{}n a 中，()
*11231111
1,1N 23n n a a a a a a n n
+=++++=-Î .（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2n
n n b a =，记n T 为{}n b 的前n 项和，证明：3n ≥时，(
)
1
2
4n n T n +<-.
18.已知直线1222
:,:22
l y x l y x =
=-，动点,A B 分别在直线12,l l 上，AB =，M 是线段AB 的中点，记点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；
（2）已知点()2,1P -，过点P 作直线l 与曲线Γ交于不同的两点,C D ，线段CD 上一点Q 满足PC QC
PD QD
=，求OQ 的最小值.
19.已知函数()ln 2(2)f x x x b b =+->.
（1）证明：()f x 恰有一个零点a ，且()1,a b ∈；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取
()11,x a ∈，实施如下步骤：在点()()11,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ：在点()()22,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；一直继续下去，可以得到一个数列{}n x ，它的各项是()f x 不同精确度
的零点近似值.
（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式；（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a
+<<.
2024届天河区普通高中毕业班综合测试（二）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上.
3.非选择题必须用，黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
3,A x x k k ==∈N ，
{}
6,B x x z z ==∈N ，则（）
A.A B ⊆
B.B A ⊆
C.A B =
D.A B ⋃=N
【答案】B 【解析】
【分析】利用集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为{}
3,A x x k k ==∈N ，{}{}
6,32,B x x z z x z z z ==∈==⋅∈N N ，当z ∈N 时，2z 为非负的偶数，所以，B A ⊆，则A B A ⋃= N ，
B 对，ACD 都错.故选：B.
2.设a ，b 为非零向量，则“a b a b +=+
”是“a 与b 共线”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】
由a b a b +=+ 化简得出0θ=，从而得出a 与b 共线，当a 与b 共线时，||1a b b λ+=+
，()||||1a b b λ+=+ ，,a b a b ++
不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.【详解】当a b a b +=+ 时，22
2222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，化简得a b a b ⋅= ，即
cos 1a b a b
θ⋅== ，0θ=，即a 与b 共线当a 与b
共线时，则存在唯一实数λ，使得a b
λ=
||1a b b λ+=+ ，()||||1a b b λ+=+ ，1λ+与1λ+不一定相等，即,a b a b ++
不一定相等
故“a b a b +=+
”是“a 与b 共线”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理.3.若抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()2,M m 到焦点的距离为3，则p =（）A.6 B.4
C.2
D.1
【答案】C 【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由焦半径公式可得232
p
+=，故2p =，故选：C
4.若实数m 满足()2log 1m m -<+，则m 的取值范围为（）
A.
()
,0∞- B.
()
0,∞+ C.
(),1-∞- D.
()
1,0-【答案】D 【解析】
【分析】注意到()()22log 1log 10m m m m -<+⇔---<，后利用函数()()2log 1f x x x =---单调性可解不等式.
【详解】()()22log 1log 10m m m m -<+⇔---<，因函数()2log 1y x y x =-=--，在(),0∞-上单调递减，
则函数()()2log 1f x x x =---在(),0∞-上单调递减，又()10f -=，则
()()()0110f m f m f m <⇔<-⇔-<<.
故选：D
5.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到27.174χ=.依据0.005α=的独立性检验，结论为（
）
α
0.10.050.010.0050.001x α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.变量x 与y 独立
B.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C.变量x 与y 不独立
D.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005【答案】A 【解析】
【分析】根据独立性检验的基本思想可得结论.【详解】因为2
0.0057.1747.879x χ=<=，
所以，依据0.005α=的独立性检验，我们认为变量x 与y 独立，故选：A.
6.若直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，则圆221
()()4
x a y b -+-=
与圆O （）
A.外切
B.相交
C.内切
D.没有公共点
【答案】B 【解析】
【分析】由直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，得221a b +=，则圆22
1
()()4
x a y b -+-=
的圆心在圆O 上，两圆相交.
【详解】直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，
则圆心()0,0O 到直线1ax by +=的距离等于圆O 的半径1，即
1
1d =
=，得221a b +=.
圆22
1()()4
x a y b -+-=
的圆心坐标为(),a b ，半径为12，其圆心在圆O 上，所以两圆相交.故选：B
7.已知6π5πcos ,536
ααα+=<<，则cos α=（）
A.
310+ B.
343
10
-
C.410
D.
410
-【答案】B 【解析】
【分析】根据辅助角公式求得π3sin()65α+=，结合角的范围可得π4
cos()65
α+=-，继而利用两角差的余弦公式，即可求得答案.
6π5πcos ,536
ααα+=<<，故π62sin()65α+=，则π3
sin()65
α+=，
而π5πππ,π3626αα<<
∴<+<，故π4
cos()65
α+=-，故ππππππcos cos ()cos(sin()sin 666666αααα⎡
⎤=+
-=+++⎢⎣
⎦
4313
525210
-=-⨯+⨯=
，故选：B
8.设123451050x x x x x ≤<<<<≤，随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值
23344551
12,,,,22222
x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2，若记()()12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（
）
A.()()12D D ξξ<
B.()()12D D ξξ=
C.()()
12D D ξξ>D.()1D ξ与()2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值有关
【答案】C 【解析】
【分析】根据期望的公式推出()()12E E ξξ=，再根据方差的计算公式可得()()12,D D ξξ的表达式，结合基本不等式，即可判断()()12,D D ξξ的大小，即得答案.【详解】由题意得()()1123450.2E x x x x x ξ=++++，
()()23344551
122123450.2)0.222(
222
x x x x x x x x x x E x x x x x ξ+++++=⨯++++=++++，故()()12E E ξξ=，记()()21x E E ξξ==则()()(
)
()
2
2
2
11250.2
D x x x x
x x ξ⎡⎤
=-+-++-⎢⎥⎣
⎦
()225
125123450.2[(52)]
x x x x x x x x x x =++++-++++ ()
2222
1250.25x x x x =+++- 同理()22
2223511220.25222x x x x x x D x ξ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
因为123451050x x x x x ≤<<<<≤，则2
22
121222x x x x ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，L ，2
225151
22x x x x ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
，故22
2235112222x x x x x x <+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222
125x x x +++ ，即得()()12D D ξξ>，()1D ξ与()2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值无关，故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）
A.若m //
,n αα⊂，则m //n
B.若,,m n m αβ⊥⊥//n ，则α//β
C.若α//,m βα⊂，则m //
β
D.若α//,,m n βαβ⊂⊂，则m //n 【答案】BC 【解析】
【分析】对于AD ，举反例排除即可；对于B ，利用方向向量与法向量判断空间线面的位置关系即可判断；对于C ，利用面面平行的性质即可判断.
【详解】对于A ，当m //
,n αα⊂时，,m n 有可能异面，故A 错误；
对于B ，因为,m n αβ⊥⊥，
所以,m n 对应的方向向量,m n
分别是,αβ的法向量，
又m //n ，所以//m n
，所以α//
β
，故B 正确；
对于C ，因为α//,m βα⊂，由面面平行的性质易知m //β
，故C 正确；
对于D ，当α//,,m n βαβ⊂⊂时，,m n 有可能异面，故D 错误.故选：BC.
10.已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（
）
A.()f x 的最小正周期为π
B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增C.()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向左平移π
3
个单位长度得到D.函数()ππ2246x F x f f x ⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小值为94-
【答案】ABD 【解析】
【分析】根据周期可得ω，代入最值点可得13π
2π6
k ϕ=-
+，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC ，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】由图可得：2A =，又
313ππ,4123
T =-0ω>，
πT ∴=，又2π
,T ωω
∴=
=2，
2cos(2)y x ϕ∴=+，
将13π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2cos(2)y x ϕ=+得13πcos 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即
13π
2π6
k ϕ+=，Z k ∈，即13π
2π6
k ϕ=-
+，Z k ∈，13ππ()2cos 22π2cos 266f x x k x ⎛⎫⎛
⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
对于A ，最小正周期2π
=π2
T =
，故正确；对于B ，令2ππ22π6
πk x k -≤-
≤，Z k ∈，解得5ππ
ππ+1212k x k -≤≤，Z k ∈，可得()f x 的单调递增区间为5πππ,π+1212k k ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，Z k ∈，当0k =时，单调递增区间为5ππ,1212⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故B 正确；
对于C ，函数2sin 2y x =的图象向左平移
π
3
个单位长度，所得到的函数解析式为：()π2ππ
2sin 2(2sin(2)2cos(2)336
y x x x f x =+=+=+≠，故C 不正确；
对于D ，())πππ2cos 2sin 2cos sin 4sin cos 22464x F x f f x x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-+-=-+=++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
令πcos sin 4t x x x ⎛
⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝
⎭，所以())()
2
2229cos sin 4sin cos 21222
44F x x x x x t t t ⎛⎫=++=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭，故最小值为9
4
-，D 正确，
故选：ABD
11.双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设O 为坐标原点，双
曲线22
2:1(0)20x y C b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点A 到一条渐近线的距离为2，右支上一动点P
处的切线记为l ，则（
）
A.双曲线C 的渐近线方程为12
y x =± B.双曲线C 的离心率为
305C .
当2PF x ⊥轴时，1952
PF =
D.过点1F 作1F K l ⊥，垂足为,K OK =【答案】ACD 【解析】
【分析】由题意求出b 的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A ；根据离心率定义，求出离心率，判断B ；利用双曲线定义可判断C ；由题意结合角平分线性质推出1||||PF PE =，K 为1F E 的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得OK ，判断D.
【详解】对于A ，由双曲线222:1(0)20x y C b b
-=>可知a =，右顶点A ，
其渐近线方程为
y x =，右顶点A 到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线0bx -=，则
2=，解得b =，
故双曲线C 的渐近线方程为
1
2x x y =±=，A 正确；
对于B ，由于5a b c ==∴==，
故双曲线C 的离心率为
5
2
c a ==
，B 错误；对于C ，2(5,0)F ，当2PF x ⊥轴时，将5x =代入22
1205
x y -=中，
得22555(
1),202y y =-∴=±
，即得25
2
PF =，
由于P 在双曲线右支上，故12222
PF PF a =+=+，C 正确；对于D ，连接2PF 并延长交1F K 的延长线于E ，
由题意知，PK 为1F PE ∠的角平分线，结合1F K l ⊥，可知1||||PF PE =，K 为1F E 的中点，而O 为12F F 的中点，
故()()
22121111
22222
OK F E PE PF PF PF a =
=-=-=⨯=，D 正确，故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D 的判断，解答时要结合题中所给性质，利用角平分线性质推出K 为1F E 的中点，即可结合双曲线定义求得答案.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若1i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程220x kx ++=的一个虚根，则实数k =__________.
【答案】-2【解析】
【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.
【详解】1i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程220x kx ++=的一个虚根，
1i -（i 为虚数单位）也是关于x 的实系数一元二次方程220x kx ++=的一个虚根，
()1i+1i =k +--，解得=2k -.
故答案为：-2.
13.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-，若()1
ln28
f =
，则=a __________.【答案】3
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，并结合指数以及对数的运算性质，代入求值，即可求得答案.【详解】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-，
故()11ln ln
22
11ln2(ln 2)(ln e
e
2
8
a
a f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=--=-===，则11
(,328
a
a =
∴=，故答案为：3
14.如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为
__________.
【答案】63
【解析】
【分析】先画出正四棱锥P ABCD -，设E 为AD 的中点，则,PE AD OE AD ⊥⊥，则OEP ∠即为所求角的平面角，不妨设题中所给正方形的边长为2a ，2AD x =，利用勾股定理求出OP ，再根据棱锥的体积公式求出体积，再结合基本不等式求出体积最大时x 的值，进而可得出答案.【详解】如图，正四棱锥为四棱锥P ABCD -，O 为底面对角线的交点，则OP ⊥平面ABCD ，
设E 为AD 的中点，则,PE AD OE AD ⊥⊥，则OEP ∠即为所求角的平面角，
不妨设题中所给正方形的边长为2a ，2AD x =，则,PE a AE OE x ===，故四棱锥P ABCD -
的高h OP ==
所以(
)
214233P ABCD
x V x -=⨯==
3
27≤=
，当且仅当222222x x a x ==
-，即x =时，取等号，此时，63
OE AE a ==
，在Rt POE 中，663cos 3
a OE OEP PE a ∠==
=
，
所以当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为
3
.故答案为：
3
.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x ，和i y ，分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
()
()()()20
20
20
2
2
1
1
1
80,9000,800i
i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑.
（1）求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y （单位：只）和植物覆盖面积x （单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X ，求随机变量X 的分布列.
附：相关系数()()
1.414
n
i
i
x x y y r --=
∑【答案】（1）0.94，相关性较强．（2）见解析【解析】
【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解，（2）根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.
【小问1详解】
样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，20)的相关系数为
()(
)
20
0.943
i
i
x x y y r --=
∑．由于相关系数||[0.75r ∈,1]，则相关性很强，||r 的值越大，相关性越强．故[]
0.940.75,1r =∈，故相关性越强．【小问2详解】
由题意得：X 的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以2
12220C 6633
(0)C 19095
P X ===
=，11812
220C C 9648(1)C 19095
P X ====，
28220C 2814
(2)C 19095
P X ====，
所以X 的分布列为：
X
012P
3393
4893
1493
16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC
A 是菱形，且与平面1A BC 垂直，BC AC ⊥，
11
4,2AA AC BC ===.（1）证明：BC
⊥平面11ACC A ；
（2）棱1CC 上是否存在一点D ，使得直线1A D 与平面11ABB A 所成角为30 ？若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在D ，且D 在1CC 的中点.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接1CA 与1C A ，
由于四边形11ACC A 为菱形，故11
C A CA ⊥由于侧面11ACC A 与平面1A BC 垂直，且两平面的交线是1CA ，1AC ⊂侧面11ACC A ，故1AC ⊥平面1A BC ,BC ⊂平面1A BC ,故1AC ⊥BC ,又BC AC ⊥，11AC AC A AC AC ⋂⊂=,,平面11ACC A ，
故BC
⊥平面11
ACC A 【小问2详解】由（1）知BC
⊥平面11ACC A ，BC ⊂平面ABC ,
所以平面ABC ⊥平面11ACC A ，且交线为AC ,
由于114,AA A C AC ===故三角形1
AAC 为等边三角形，取AC 中点为O ，则1AO AC ⊥,1AO ⊂平面11ACC A ，所以1
AO ⊥平面ABC ，故建立如图所示的空间直角坐标系，其中y 轴与BC 平行，
()(
)((
)(112,0,0,2,0,0,,2,2,0,A C A B C ---,(
)(
(114,2,0,,AB AA CC =-=-=-
,
设平面11ABB A 的法向量为(),,m x y z =
，
则142020AB m x y AA m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取3x =
，则(m = ，
设()12CD mCC m ==-
，其中[]0,1m ∈，,
故()
22,0,D m --
，
(12A D m ---
故
11111cos ,22
m A D m A D m A D ⋅==⇒
，化简得()
2
210m -=，解得1
2
m =，故1
12CD CC =故存在D ，且D 在1CC 的中点.
17.已知数列{}n a 中，()
*11231111
1,1N 23n n a a a a a a n n
+=++++=-Î .（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2n
n n b a =，记n T 为{}n b 的前n 项和，证明：3n ≥时，(
)
1
2
4n n T n +<-.
【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）利用递推关系，把n 换成1n +，得到两式相减，得到
121
=2
n n a n n a ++++，再累乘后可得到通项；（2）用错位相减法求出n T ，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.【小问1详解】
因为1231111
123n n a a a a a n
+++++=-L ，
所以1231211111231
n n n a a a a a a n n +++++++=-+ ，作差可得
1211
1n n n a a a n ++++=-，变形为()()12111n n n a n a n a +++=+-+，即12
1=2n n a n n a ++++，即312342231342n n a a a n a a a n +++×=×+，化简为222
2
n a a n +=+，因为112221
1,122
a a a a a =+
=-Þ=，所以22n a n +=+，因为
122122
n n
n n n a n a n
a n a n n ++++=Þ=Þ=++，
所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.【小问2详解】因为22n
n
n n b a n =⋅=，
所以212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ，231
212222n n T n +=×+×+× ，
作差可得(
)21121222222
12
n n n n n T n n ++--=+++-⋅=-⋅- ，
所以()1
12
2n n T n +=-+，
()()()
11112412224242n n n n n T n n n n ++++--=-+--=-++，
设()2242,3x
f x x x =-⨯++≥，则()22ln 24x
f x '=-⨯+在给定区间上递减，又
()316ln 240
f =-⨯+<'故()f x 在[
)3,+∞是减函数，()()4max 3243220f x f ==-+⨯+=-<，所以当3n ≥时，()12
4n n T n +<-.18.已知直线1222:,:22
l y x l y x ==-，动点,A B 分别在直线12,l l
上，AB =，M 是线段AB 的中点，记点M 的轨迹为曲线Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）已知点()2,1P -，过点P 作直线l 与曲线Γ交于不同的两点,C D ，线段CD 上一点Q 满足PC QC PD QD
=，求OQ 的最小值.
【答案】（1）2
214
x y +=（2
【解析】
【分析】
（1）由已知设
)()
,,,A t B n ，可得()()2228t n t n ++-=，设,()M x y ，利用中点坐标
公式计算可得2t n t n y
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，代入化简即可得出结果.（2）设PC QC
PD QD λ==，则PC PD λ= ,CQ QD λ= ,设11(,)C x y ,22(,)D x y ,利用向量的坐标计算化简可得12122111x x y y λλλλ-⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩①.设(),Q x y ，由CQ QD λ= 可得121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
②，结合,C D 在曲线Γ上，可得Q 的轨迹方程220x y -+=，利用点到直线的距离公式计算即可.
【小问1详解】
根据条件可设
)(),,,A t B n ，
∵AB =，∴()()2228t n t n ++-=（*），
设,()M x y
，由题意知)22t n x t n y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，∴2t n t n y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，代入（*）式得2214x y +=，故曲线Γ的方程为2214
x y +=.【小问2详解】设PC QC
PD QD λ==，则PC PD λ= ,CQ QD λ= ,设11(,)C x y ,22(,)D x y ,
由PC PD λ=
，可知()()11222,12,1x y x y λ+-=+-，∴()()12122211x x y y λλ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，∴1212
2111x x y y λλλλ-⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
①.∵CQ QD λ= ，设(),Q x y ∴121211x x x y y y λλλλ
+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩②.①⨯②可得222122
222122211x x x y y y λλλλ⎧--=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
（**），∵,C D 在曲线Γ上，∴2
2112222222144
x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2222222121214x x y y λλλ-+-=-，化简得：()
2222221212221141x x y y λλλλ--+=--，（**）式代入可得214
x y -+=，即220x y -+=.∴Q 的轨迹方程为：220x y -+=.∴OQ 的最小值为O 到直线220x y -+=的距离.
∴min 255
OQ ==.
19.已知函数()ln 2(2)f x x x b b =+->.
（1）证明：()f x 恰有一个零点a ，且()1,a b ∈；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取()11,x a ∈，实施如下步骤：在点()()11,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ：在点()()22,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；一直继续下去，可以得到一个数列{}n x ，它的各项是()f x 不同精确度的零点近似值.
（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式；
（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<.
【答案】（1）证明见解析
（2）ln (1)()12n n n n n x x b x g x x -++=
+，证明见解析【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i ）由导数的几何意义得曲线()f x 在(),()n n x f x 处的切线方程为12ln 1n n n
x y x x b x +=+--，进而得ln (1)()12n n n n n
x x b x g x x -++=+；（ii ）令12()ln 1n n n x h x x x b x +=+--，进而构造函数1()()()ln ln 1n n
F x f x h x x x x x =-=--+，结合函数单调性证明1n x a +<，再根据()0n f x '>，()()0n f x f a <=证明1()()n n n n n f x x x x f x +=-
>'即可得答案．【小问1详解】
()ln 2(2)f x x x b b =+->，定义域为(0,)+∞，所以，1()20f x x
'=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，
因为()1ln1220(2)f b b b =+-=-<>，()ln 2ln 0(2)f b b b b b b b =+-=+>>，所以，存在唯一(1,)a b ∈，使得()0f a =，即：()f x 有唯一零点a ，且(1,)a b ∈；
【小问2详解】
（i ）由（1）知1()2f x x '=
+，所以，曲线()f x 在(),()n n x f x 处的切线斜率为12n n
k x =+，所以，曲线()f x 在(),()n n x f x 处的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-，即12ln 1n n n x y x x b x +=
+--，令0y =得ln (1)12n n n n
x x b x x x -++=+，所以，切线与x 轴的交点ln (1)(
,0)12n n n n x x b x x -+++，即1ln (1)12n n n n n x x b x x x +-++=+，所以，ln (1)()12n n n n n
x x b x g x x -++=+；证明：（ii ）对任意的(0,)n x ∈+∞，由（i ）知，曲线()f x 在(n x ,())n f x 处的切线方程为：12ln 1n n n x y x x b x +=
+--，故令12()ln 1n n n
x h x y x x b x +==+--，令1()()()ln ln 1n n F x f x h x x x x x =-=-
-+，所以，11()n n n x x F x x x x x
-'=-=，所以，当(0,)n x x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，当(n x x ∈,)∞+时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以，恒有()()0n F x F x ≤=，即()()f x h x ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（i ）知，1()()
n n n n f x x x f x +'=-，且当n x a ≠时，1n n x x +≠，（若n x a =，则()()0n f x f a ==，故任意11n n x x x a +==== ，显然矛盾），因为1n x +是()h x 的零点，
所以()11()()0n n f x h x f a ++<==，
因为()f x 为单调递增函数，
所以，对任意的n x a ≠时，总有1n x a +<，
又因为1x a <，
所以，对于任意*N n ∈，均有n x a <，
所以，()0n f x '>，()()0n f x f a <=，所以1()()
n n n n n f x x x x f x +'=->，综上，当1(1,)x a ∈，总有1n n x x a +<<．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值）
，从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。