2019高考二轮复习专题限时集训_第9讲等差数列与等比数列

专题限时集训(九)
[第9讲 等差数列与等比数列]
(时间：10分钟＋35分钟)
1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，有S 8－S 3＝10，则S 11的值为( ) A ．22 B ．18 C ．12 D ．44
2．等差数列{a n }满足a 2＋a 9＝a 6，则S 9＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2
3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 3
的值为( )
A.154
B.152
C.74
D.72
4．等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于( ) A ．－16 B ．10 C ．16 D ．256
1．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n>3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
2．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2
－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )
A ．16
B ．32
C ．64
D ．256
3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
4．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5
b 5
＝( )
A ．7 B.2
3
C.278
D.214
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1OA →＋a 2018OB →＋2OC →
＝0，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点)，则S 2018＝( )
A ．2018
B ．2018
C ．－2018
D ．－2018
6．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1
a 10
＝________.
7．设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，
a 99－1
a 100－1
<0，给出下列结论：
(1)0<q<1；(2)T 198<1；(3)a 99a 101<1；(4)使T n <1成立的最小自然数n 等于199.其中正确的编号为____________．
8.已知数列{a n }是首项为1，公差为正数的等差数列，数列{b n }是首项为1的等比数列，
设c n ＝a n b n (n ∈N *
)，且数列{c n }的前三项依次为1,4,12.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前n 项和T n .
9．已知数列{a n }(n ∈N *)的各项满足：a 1＝1－3k ，a n ＝4n －1
－3a n －1(n≥2，k ∈R)．
(1)判断数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a n －4n
7是否成等比数列；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若数列{a n }为递增数列，求k 的取值范围．
专题限时集训(九)
【基础演练】
1．A 【解析】 S 8－S 3＝10，即a 4＋a 5＋…＋a 8＝10，根据等差数列的性质得a 6＝2.S 11＝a 1＋a 112
×11＝11a 6＝22.
2．B 【解析】 a 2＋a 9＝a 6得a 5＋a 6＝a 6，由此得a 5＝0，故S 9＝9a 5＝0.
3．A 【解析】 S 4a 3＝a 1－q
4
1－q a 1q 2＝1－q 4
－2＝
－15－4＝15
4
. 4．C 【解析】 根据已知得a 2a 98＝24
＝16，所以a 40a 60＝a 2a 98＝16.本题考查等比数列的
性质a m a n ＝a p a q ⇔m ＋n ＝p ＋q.
【提升训练】
1．C 【解析】 已知S n －S n －3＝51(n>3)＝a n －2＋a n －1＋a n ＝3a n －1，由此得a n －1＝17，这
样a 2＋a n －1＝a 1＋a n ＝20，使用等差数列的求和公式S n ＝1＋a n
2.由100＝n×202
，解得n
＝10.本题也可以根据已知的两个条件求出等差数列的首项和公差，再根据求和公式解n 值，但显然计算上繁琐，在解答等差数列、等比数列的题目时要注意使用其性质，选用合理的公式．
2．C 【解析】 根据韦达定理a 1a 19＝16，由此得a 10＝4，a 8a 12＝16，故a 8·a 10·a 12＝64.
3．C 【解析】 设等比数列项数为2n 项，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为
S 偶，则S 奇＝85，S 偶＝170，所以q ＝2，因此1－4
n
1－4
＝85，解得n ＝4，故这个等比数列的项
数为8，选择C.
4．D 【解析】 根据等差数列的性质，a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝1＋a
921＋b 9
2
＝S 9T 9＝21
4.如果两
个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，仿照本题解析的方法一定有关系式a n
b n
＝
S 2n －1
T 2n －1
. 5．C 【解析】 依题意得a 1＋a 2018＋2＝0，故a 1＋a 2018＝－2，得S 2018＝a 1＋a 2011
2
×2018
＝－2018.
6．－53 【解析】 1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 7＋1a 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝
a 7＋a 8＋a 9＋a 10
a 8a 9
＝－53
.
7．(1)(3)(4) 【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，其连续
两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1
a 100－1
<0可
知，a 99，a 100一个大于1，一个小于1，而a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，
所以0<q<1，而且a 99>1，a 100<1，故a 99a 101＝a 2
100<1，(1)(3)正确；T 198＝
a 1a 2·…·a 99a 100·…·a 197a 198＝(a 99a 100)99
>1，(2)不正确；T 199＝a 1a 2·…·a 100·…·a 198a 199＝
(a 100)199
<1，故(4)正确．本题设置开放性的结论，综合考查等比数列的性质以及分析问题的能力，试题比较符合高考
8．【解答】 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由题意知
⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1
b 1＝1，1＋1
＝4，
1＋
1
q
2
＝12.
因为数列{a n }各项为正数，所以d>0，
所以把a 1＝1，b 1＝1代入方程组解得⎩⎪⎨
⎪⎧
d ＝1，q ＝2.
所以a n ＝n(n ∈N *)，b n ＝2n －1(n ∈N *
)．
(2)由(1)知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋－
2
d.
所以S n n ＝a 1＋(n －1)d 2
，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是首项是1，公差为1
2的等差数列，
所以T n ＝n ＋－4＝n 2
＋3n
4
.
9．【解答】 (1)a n ＋1－4n ＋17＝4n －3a n －4n ＋1
7＝－3a n ＋37×4n
＝－3⎝
⎛⎭⎪⎫a n －4n 7，
a 1－47＝1－3k －47＝3
7
－3k.
当k ＝17时，a 1－4
7＝0，则数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n －4n
7不是等比数列；
当k≠17时，a 1－4
7≠0，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －4n
7是公比为－3的等比数列．
(2)由(1)可知当k≠17时，a n －4n 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37－3k ·(－3)n －1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37－3k ·(－3)n －1
＋4n
7.
当k ＝17时，a n ＝4
n
7
，也符合上式．
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫37－3k ·(－3)n －1
＋4n
7.
(3)a n ＋1－a n ＝4n ＋17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫37－3k (－3)n －4n
7－⎝ ⎛⎭⎪⎫37－3k (－3)n －1
＝3×4n 7－－n －1
7
＋12×(－3)n －1k.
因为{a n }为递增数列，
所以3×4n 7－－n －1
7
＋12×(－3)n －1
k>0恒成立．
①当n 为奇数时，有3×4n 7－12×3n －1
7
＋12×3n －1
k>0，
即k>17⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1恒成立，
由1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1≤1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫431－1
＝0得k>0.
②当n 为偶数时，有3×4n 7＋12×3n －1
7
－12×3n －1
k>0，
即k<17⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1恒成立，
由1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1≥1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432－1＝7
3，得k<13.
故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13.。