2019高考二轮复习专题限时集训_第9讲等差数列与等比数列
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专题限时集训(九)
[第9讲 等差数列与等比数列]
(时间:10分钟+35分钟)
1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,有S 8-S 3=10,则S 11的值为( ) A .22 B .18 C .12 D .44
2.等差数列{a n }满足a 2+a 9=a 6,则S 9=( ) A .-2 B .0 C .1 D .2
3.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4
a 3
的值为( )
A.154
B.152
C.74
D.72
4.等比数列{a n }中,若log 2(a 2a 98)=4,则a 40a 60等于( ) A .-16 B .10 C .16 D .256
1.已知等差数列{a n }满足a 2=3,S n -S n -3=51(n>3),S n =100,则n 的值为( ) A .8 B .9 C .10 D .11
2.在正项等比数列{a n }中,a 1和a 19为方程x 2
-10x +16=0的两根,则a 8·a 10·a 12等于( )
A .16
B .32
C .64
D .256
3.等比数列的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为( )
A .4
B .6
C .8
D .10
4.若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ,已知S n T n =7n n +3,则a 5
b 5
=( )
A .7 B.2
3
C.278
D.214
5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1OA →+a 2018OB →+2OC →
=0,且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点),则S 2018=( )
A .2018
B .2018
C .-2018
D .-2018
6.在等比数列{a n }中,若a 7+a 8+a 9+a 10=158,a 8a 9=-98,则1a 7+1a 8+1a 9+1
a 10
=________.
7.设{a n }是公比为q 的等比数列,其前n 项积为T n ,并满足条件a 1>1,a 99a 100-1>0,
a 99-1
a 100-1
<0,给出下列结论:
(1)0<q<1;(2)T 198<1;(3)a 99a 101<1;(4)使T n <1成立的最小自然数n 等于199.其中正确的编号为____________.
8.已知数列{a n }是首项为1,公差为正数的等差数列,数列{b n }是首项为1的等比数列,
设c n =a n b n (n ∈N *
),且数列{c n }的前三项依次为1,4,12.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前n 项和T n .
9.已知数列{a n }(n ∈N *)的各项满足:a 1=1-3k ,a n =4n -1
-3a n -1(n≥2,k ∈R).
(1)判断数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a n -4n
7是否成等比数列;
(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)若数列{a n }为递增数列,求k 的取值范围.
专题限时集训(九)
【基础演练】
1.A 【解析】 S 8-S 3=10,即a 4+a 5+…+a 8=10,根据等差数列的性质得a 6=2.S 11=a 1+a 112
×11=11a 6=22.
2.B 【解析】 a 2+a 9=a 6得a 5+a 6=a 6,由此得a 5=0,故S 9=9a 5=0.
3.A 【解析】 S 4a 3=a 1-q
4
1-q a 1q 2=1-q 4
-2=
-15-4=15
4
. 4.C 【解析】 根据已知得a 2a 98=24
=16,所以a 40a 60=a 2a 98=16.本题考查等比数列的
性质a m a n =a p a q ⇔m +n =p +q.
【提升训练】
1.C 【解析】 已知S n -S n -3=51(n>3)=a n -2+a n -1+a n =3a n -1,由此得a n -1=17,这
样a 2+a n -1=a 1+a n =20,使用等差数列的求和公式S n =1+a n
2.由100=n×202
,解得n
=10.本题也可以根据已知的两个条件求出等差数列的首项和公差,再根据求和公式解n 值,但显然计算上繁琐,在解答等差数列、等比数列的题目时要注意使用其性质,选用合理的公式.
2.C 【解析】 根据韦达定理a 1a 19=16,由此得a 10=4,a 8a 12=16,故a 8·a 10·a 12=64.
3.C 【解析】 设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为
S 偶,则S 奇=85,S 偶=170,所以q =2,因此1-4
n
1-4
=85,解得n =4,故这个等比数列的项
数为8,选择C.
4.D 【解析】 根据等差数列的性质,a 5b 5=2a 52b 5=a 1+a 9b 1+b 9=1+a
921+b 9
2
=S 9T 9=21
4.如果两
个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ,仿照本题解析的方法一定有关系式a n
b n
=
S 2n -1
T 2n -1
. 5.C 【解析】 依题意得a 1+a 2018+2=0,故a 1+a 2018=-2,得S 2018=a 1+a 2011
2
×2018
=-2018.
6.-53 【解析】 1a 7+1a 8+1a 9+1a 10=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 7+1a 10+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 8+1a 9=a 7+a 10a 7a 10+a 8+a 9a 8a 9=
a 7+a 8+a 9+a 10
a 8a 9
=-53
.
7.(1)(3)(4) 【解析】 根据等比数列的性质,如果等比数列的公比是负值,其连续
两项的乘积是负值,根据a 99a 100-1>0,可知该等比数列的公比是正值,再根据a 99-1
a 100-1
<0可
知,a 99,a 100一个大于1,一个小于1,而a 1>1,所以数列不会是单调递增的,只能单调递减,
所以0<q<1,而且a 99>1,a 100<1,故a 99a 101=a 2
100<1,(1)(3)正确;T 198=
a 1a 2·…·a 99a 100·…·a 197a 198=(a 99a 100)99
>1,(2)不正确;T 199=a 1a 2·…·a 100·…·a 198a 199=
(a 100)199
<1,故(4)正确.本题设置开放性的结论,综合考查等比数列的性质以及分析问题的能力,试题比较符合高考
8.【解答】 (1)设数列{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则由题意知
⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1
b 1=1,1+1
=4,
1+
1
q
2
=12.
因为数列{a n }各项为正数,所以d>0,
所以把a 1=1,b 1=1代入方程组解得⎩⎪⎨
⎪⎧
d =1,q =2.
所以a n =n(n ∈N *),b n =2n -1(n ∈N *
).
(2)由(1)知等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+-
2
d.
所以S n n =a 1+(n -1)d 2
,
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是首项是1,公差为1
2的等差数列,
所以T n =n +-4=n 2
+3n
4
.
9.【解答】 (1)a n +1-4n +17=4n -3a n -4n +1
7=-3a n +37×4n
=-3⎝
⎛⎭⎪⎫a n -4n 7,
a 1-47=1-3k -47=3
7
-3k.
当k =17时,a 1-4
7=0,则数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n -4n
7不是等比数列;
当k≠17时,a 1-4
7≠0,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n -4n
7是公比为-3的等比数列.
(2)由(1)可知当k≠17时,a n -4n 7=⎝ ⎛⎭⎪⎫37-3k ·(-3)n -1,a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫37-3k ·(-3)n -1
+4n
7.
当k =17时,a n =4
n
7
,也符合上式.
所以数列{a n }的通项公式为a n =⎝ ⎛⎭
⎪⎫37-3k ·(-3)n -1
+4n
7.
(3)a n +1-a n =4n +17+⎝ ⎛⎭⎪⎫37-3k (-3)n -4n
7-⎝ ⎛⎭⎪⎫37-3k (-3)n -1
=3×4n 7--n -1
7
+12×(-3)n -1k.
因为{a n }为递增数列,
所以3×4n 7--n -1
7
+12×(-3)n -1
k>0恒成立.
①当n 为奇数时,有3×4n 7-12×3n -1
7
+12×3n -1
k>0,
即k>17⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1-⎝ ⎛⎭⎪⎫43n -1恒成立,
由1-⎝ ⎛⎭⎪⎫43n -1≤1-⎝ ⎛⎭
⎪⎫431-1
=0得k>0.
②当n 为偶数时,有3×4n 7+12×3n -1
7
-12×3n -1
k>0,
即k<17⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1+⎝ ⎛⎭⎪⎫43n -1恒成立,
由1+⎝ ⎛⎭⎪⎫43n -1≥1+⎝ ⎛⎭⎪⎫432-1=7
3,得k<13.
故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0,13.。