甘肃省临夏中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(理)试题

甘肃省临夏中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数'21(),()2f x f m x =
=-，则m =（ ） A ．4-
B ．4
C ．2±
D ．2- 2．“复数3i i
a z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +=( )
A ．2
B ．0
C ．1-
D ．2-
4．10)x dx ⎰=（ ）
A ．22π
+ B ．12π
+ C ．122π
- D ．142
π- 5．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是
( )
A ．2160
B ．720
C ．240
D ．120 6．若直线
1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则+a b 的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列，公差为2d ，类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列
的公比为（ ）
A ．2q
B ．2q
C
D 8．在不等边三角形中，a 为最大边，想要得到A ∠为钝角的结论，三边,,a b c 应满足的条件是（ ）
A ．222a b c ≥+
B ．222a b c =+
C ．222a b c >+
D ．222a b c ≤+
9．用反证法证明命题：“若,,a b N ab ∈能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）
A ．,a b 都能被3整除
B ．,a b 都不能被3整除
C ．,a b 不都能被3整除
D ．a 都能被3整除
10．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，
()()()()0f x g x f x g x ''+>且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解是（ ） A ．()3,3-
B ．()0,3
C ．(),3-∞-
D ．()(),30,3-∞-
二、填空题 11．若复数 z =
21i i
-,则3z i + =__________ 12．曲线()2x f x x =+，则()2
x f x x =+的导函数()f x '=________ 13．用数学归纳法证明1111(2321n n n N +++⋯+<∈-且1)n >，第一步要证的不等式是_________．
14．如图为()y f x =的导函数的图象，则下列判断正确的是________．(填序号)①()f x 在()3,1-内是增函数；②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在()2,4内是减函数，在()1,2-内是增函数；④1x =是()f x 的极大值点．
15．若函数f(x)=13x 3−12ax 2+(a −1)x +1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6,+∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．
三、解答题
16．（1）若,,x y z 均为实数，且2222,2,2236x a b y b c z c a π
π
π
=-+=-+=-+，求
证：,,x y z 中至少有一个大于0.
（2）计算13411i i i i
+++-+；
17．（1）设0,0,1a b a b >>+=，求证：1118a b ab
++. （2）已知函数(),()1x f x e g x x ==+且0x ≠，比较()f x 和()g x 的大小.
18．已知数列{}n a ，123111,,, (1447710)
a a a ===⨯⨯⨯且n S 为该数列的前n 项和. （1）写出数列{}n a 的通项公式；
（2）计算123,,S S S ，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）求数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围.
19．设函数()2ln x b f x ax x =-
+，若()f x 在11,2x x ==处取得极值. （1）求,a b 的值；
（2）若存在01[,1]4
x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
对函数()f x 求导，将m 代入有2212m -
=-，求解即可. 【详解】
对函数()f x 求导得到22()f x x '=-
， 将m 代入有2212
m -=-，解得2m =±， 所以本题答案选C.
【点睛】
本题主要考查了导数的运算，其中解答中利用导数的运算，准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.属于基础题.
2．A
【详解】 因为33ai z a i i
-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．
3．D
【分析】
先求出导函数()'f x ，求出(1)f '的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1
建立等式关系，解之即可求出a 的值，再根据切点在函数图象上求出b 的值，从而求出所求.
【详解】
1()f x a x
'=-，(1)1f a '=-， 即函数()ln f x x ax =-在点(1,)P b 处的切线的斜率是1a -，
直线320x y +-=的斜率是1
3
-， 所以1(1)13a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭
，解得2a =-.
点(1,)P b 在函数()ln 2f x x x =+的图象上，则(1)2f b ==，
22(2)22a b +=⨯-+=-，所以D 选项是正确的.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用导数求出切线斜率，根据垂直关系构造出方程以及注意到切点在曲线上的应用，属于基础题.
4．D
【分析】
函数1
0y dx =⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.
【详解】
由题意，)1
11
000()x dx dx x dx =+-⎰⎰⎰，如图：
1
0dx ⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14， 故其值为4
π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰，
所以，)1
110001()42
x dx dx x dx π=+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D.
【点睛】
本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都
涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，1
0dx ⎰和1
0()x dx -⎰. 5．B
【解析】
【分析】
按顺序分步骤确定每张门票的分法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.
【详解】
分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×
9×8＝720种分法．
本题答案为B.
【点睛】
本小题主要考查分步乘法计数原理，考查分析问题的能力，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：∵直线1x y a b +=（，）过点，∴．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝
⎭2224b a b a a b a b =++≥+⨯=，当且仅当时取等号．故答案为C ．
考点：基本不等式.
7．C
【解析】
∵在等差数列{}n a 中前n 项的和为n S 的通项,且写成了 n S n =a 1+(n −1)×2
d . 所以在等比数列{n b }中应研究前n 项的积为n T 的开n 方的形式。

b 1)n −1.故选：C.
8．C
【分析】
由A ∠为钝角，结合余弦定理可得222
cos 02b c a A bc
+-=<，化简即可. 【详解】 由222
cos 02b c a A bc
+-=<，知2220b c a +-<， 所以222a b c >+，故本题答案为C.
【点睛】
本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
9．B
【解析】
【分析】
根据反证法的步骤和命题的否定，直接对“,a b 中至少有一个能被3整除”的进行否定即可.
【详解】
因为“至少有n 个”的否定为“至多有n -1个”.
“,a b 中至少有一个能被3整除”的否定是：“,a b 都不能被3整除”，
故应假设,a b 都不能被3整除.
故本题答案为B.
【点睛】
反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立. 反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少.
10．D
【解析】
【分析】
构造函数()()()F x f x g x =，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集.
【详解】
设()()()F x f x g x =，由已知得，()()()()()F x f x g x f x g x ''=+．
当0,()0x F x '
<>，∴()F x 在(,0)-∞上为增函数．
又∵()f x 为奇函数，()g x 为偶函数．∴()()()F x f x g x -=-⋅- ()()()f x g x F x =-⋅=-，∴()F x 为奇函数．
∴()F x 在(0,)+∞上也为增函数．又(3)0g -=，∴(3)0F -=，(3)0F =.
∴()()0f x g x <的解集为(,3)
(0,3)-∞-． 所以本题答案为D.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，其中恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键.
11【解析】
分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2
z +-+====-+--+，
所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==
点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-
||z =12．2
2(2)x + 【解析】
【分析】
根据基本初等函数的导数，以及导数的四则运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由()2
x f x x =+可得()222(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x x x x x x f x x x x ''+-++-'===+++， 所以本题答案为2
2(2)x +. 【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的导数，以及导数的四则运算，其中解答中熟记基本函数的导数公式表，以及导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13．
【详解】
试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到221-，所以答案为111223
+
+<． 考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤．
点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心．
14．②③
【解析】
【分析】
根据导函数大于0，原函数单调递增，导函数小于0，原函数单调递减，由导函数的图象可判断①和③的正误；导函数图象与坐标轴的交点即为原函数可能的极值点，再根据 该点左右区间的单调性即可判断出其是极大值还是极小值，进而可判断①与④的正误.
【详解】
① 错，因(3,1)--上()0f x '<，在 (1,1)-上()0f x '>，
故()f x 在(3,1)--内是减函数，在(1,1)-内是增函数；
②正确，因()f x '在(3,1)--上为负，(1)0f -=，()f x '在(1,2)-上为正；
③正确，因在(2,4)内()0f x '<，故f (x )在(2,4)内是减函数；
在(1,2)-内()0f x '>，故()f x 在(1,2)-内为增函数，
④错，(1)0f '≠，故1x =不是极值点．
所以本题答案为答案 ②③
【点睛】
本题主要考查了学生对利用导数求解函数的单调性与极值的掌握情况，涉及到的知识点有导数与极值的关系，导数的符号与函数单调性的关系，在解题的过程中，判断()f x '的符号是解题的关键.
15．[5,7]
【解析】
试题分析：f′(x )=x 2−ax +a −1，函数f (x )在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)上为
增函数，设f′(x )=x 2−ax +a −1的两根为1,a −1，则4≤a −1≤6，即5≤a ≤7，
∴a 的取值范围为[5,7].
试题解析：函数求导得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以4≤a －1≤6，所以5≤a ≤7，即实数a 的取值范围为[5,7].
16．（1）证明见解析；（2）
732
i +. 【解析】
【分析】
（1）利用反证法，先假设原结论的否定成立，再通过对,,x y z 三个数求和化简得出结果，发现与假设的结论相矛盾，从而证明原结论.
（2）利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，化简式子即可.
【详解】
（1）证明：反证法，假设0x ≤，0y ，0z .由题设知： 222222236x y z a b b c c a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
()()()2222121213a a b b c c π=-++-++-++-
222(1)(1)(1)(3)a b c π=-+-+-+-
因为2(1)0a -， 2(1)0b -，2(1)0c -，30π->，
则0x y z ++>，由假设知0x y z ++≤，与0x y z ++>不符，
所以,,x y z 中至少有一个大于零.得证.
（2）134(1)(1)(34)(1)2773=11(1)(1)(1)(1)222
i i i i i i i i i i i i i i i +++++-++++=+=-+-+-+， 所以本小题答案为
732i +. 【点睛】
（1）反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立.
（2）本题考查两个复数代数形式的混合运算，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，注意运算符号.
17．（1）证明见详解；（2）()()f x g x >.
【解析】
【分析】
（1）化简11112a b a b ab ab ab ab +++=+=，利用22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
即可证明； （2）构造函数()()()h x f x g x =-，然后求导，研究()h x 的范围，从而比较()f x 和()g x 的大小.
【详解】
（1）证明：因为0,0,1a b a b >>+=， 所以211112282a b a b ab
ab ab ab a b +++=+==+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==
时取等号.
（2）构造函数()()()1x h x f x g x e x =-=--，
则()1x h x e '=-，令()0h x '>，有0x >，令()0h x '<，有0x <，
所以min ()(0)0h x h ==，则当0x ≠时，()(0)0h x h >=，
所以()()f x g x >.
【点睛】
（1）本题考查了利用基本不等式证明不等式的问题，证明问题的关键是能够将所证不等式通过变形，构造出符合基本不等式的形式，属于基础题.
（2）本题考查利用导数比较大小和研究函数的性质，能否根据不等式的特点构造出合适的函数是解决本题的关键，是中档题.
18．（1）1(32)(31)n a n n =
-+；（2）31n n S n =+，证明见详解；（3）11,4[3)n S ∈. 【解析】
【分析】
（1）根据题意直接写出{}n a 的通项公式；（2）11S a =，由212S a a =+求得2S ，同理求得3S .接着猜想,N 31
n n S n n +=∈+，用数学归纳法证明，检验n =1时，猜想成立；假设31
k k S k =+，则当n =k +1时，由条件可得当n =k +1时，也成立，从而猜想仍然成立.（3）对n S 的表达式进行变形化简，利用求函数值域的方法即可求得.
【详解】
（1）根据题意可得1(32)(31)n a n n =
-+； （2）111144
S ==⨯； 21124477
S =+=⨯； 3213771010
S =-+=⨯； 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为31n +.于是可以猜想31n n S n =
+. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
①当1n =时，左边114
S ==
， 右边11313114n n ===+⨯+，猜想成立. ②假设当()*n k k N =∈时猜想成立，即
11111447710(32)(31)31
k k k k +++⋯+=⨯⨯⨯-++ 11111447710(32)(31)k k +++⋯+⨯⨯⨯-+1[3(1)2][3(1)1]
k k ++-++ 131(31)(34)
k k k k =++++ 2341(31)(34)
k k k k ++=++ (31)(1)(31)(34)
k k k k ++=++ 13(1)1k k +=
++. 所以，当1n k =+时猜想也成立.
根据（1）和（2），可知猜想对任何*n N ∈都成立.
（3）由（2）知11313n n S n n
=
=++，因为*n N ∈，所以101n <≤， 则133+4n <≤，即1111433+n
≤<， 所以11,4[3)n S ∈. 【点睛】
本题考查了数列知识与数学归纳法的应用，用数学归纳法证明数列有关问题是很常见的题型，关键是假设当n = k 时，命题成立，来证明当n = k+1命题也成立，对于本题来说，计算化简是本题的关键.
19．（1）1
1,33--；（2）1ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（1）由真数大于零求出函数的定义域，再求出函数的导数，由取得极值的必要条件得
1(1)0,02f f ''⎛⎫== ⎪⎝⎭
，列出方程组进行求解； （2）由()0o f x c -≤成立，转化为()min c f x ，再由导数的符号确定函数在已知区间上的单调性，进而求出函数的极值，再求出区间端点处的函数值进行比较，求出函数的最小值.
【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()2ln b f x ax x x =-
+，所以21()2b f x a x x '=++. 因为()f x 在11,2x x ==处取得极值，所以1(1)0,02f f ''⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得131
3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以所求a ，b 的值分别为11,33--. （2）在1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上存在x 0使得不等式()0o f x c -≤成立，只需()min c f x ， 由2211()33f x x x '
=--+222231(21)(1)33x x x x x x -+--=-=-. 所以当11,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 是减函数； 当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数；所以12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是f （x ）在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值.而1111ln ln 223
23f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以1ln 23c -. 所以c 的取值范围为1
ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及恒成立转化问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，恒成立问题中结合具体问题实现正确转换为最大值和最小值是关键.。