2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题14 导数法妙解极值、最值问题 含解析

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】
第14讲 导数法妙解极值、最值问题
考纲要求：
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超 过三次).
2。

会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）． 基础知识回顾： 1、求函数的极值 (1）设函数)(x f y =
在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值
比0
x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0
x f 是函数)
(x f y =的一个极大（小)值。

(2）求函数的极值的一般步骤 先求定义域D ,再求导，再解方程1
()0f x =（注意和D 求交
集），最后列表确定极值。

一般地，函数在()f x 点0
x 连续时，如果0
x 附近左侧1
()f
x >0，
右侧1
()f
x 〈0，那么)(0x f 是极大值.一般地，函数在()f x 点
0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x <0，右侧1()f x >0，那么)(0x f 是极小值.
（3）极值是一个局部概念。

由定义，极值只是某个点
的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

（5）一般地，连续函数()f x 在点0x 处有极值 是'
()f x =0
的充分非必要条件。

(6)求函数的极值一定要列表. 2、用导数求函数的最值 （1)设)(x f y =
是定义在闭区间[],a b 上的函数,)(x f y =在()
,a b 内有导数，可以这样求最值：
①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程0)(/
=x f 在()
,a b 内的根n
x x x ,,,2
1
);
②比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(2
1
n
x f x f x f ,其中最大的一
个为最大值，最小的一个为最小值.
(2）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导,求函数的单调区间，最后确定函数的最值。

应用举例
类型一、知图判断函数极值
【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x ),且函数y ＝(1－x ）f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ）
A．函数f（x）有极大值f（2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f（－2)和极小值f（1）C．函数f（x)有极大值f(2）和极小值f（－2) D．函数f(x)有极大值f(－2）和极小值f（2)
【答案】D
【例2】【2017北京市高三入学定位考试】已知函数f （x)的定义域为（a，b)，导函数f′(x）在（a，b）上的图象如图所示,则函数f(x）在（a,b）上的极大值点的个数为( ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x）在(a，b）上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f（x）的极值点,其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．
类型二、正向思维已知解析式求极值或最值
【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】设函数f(x）＝a ln x－bx2（x＞0)，若函数f（x)在x＝1处与直线y＝－错误!相切，(1）求实数a，b的值；(2)求函数f（x)在错误!上的最大值．
【答案】错误!;－错误!。

点评：求函数f(x)在上的最大值和最小值3步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f（b）；
（3）将函数f(x）的极值与f（a），f（b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．
【例4】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f（x）＝x－a ln x（a∈R)．
（1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A（1，f(1))处的切线方程；（2)求函数f（x)的极值．
【答案】x＋y－2＝0.；（2)见解析；
【解析】由题意知函数f(x)的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－错误!.
(1)当a＝2时,f（x)＝x－2ln x，f′（x)＝1－错误!(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f（x)在点A（1，f(1))处的切线方程为y－1＝－（x－1),即x＋y－2＝0。

(2）由f′（x）＝1－错误!＝错误!，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0,函数f（x）为(0，＋∞)上的增函数,函数f(x）无极值;
②当a＞0时，由f′(x）＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a）时，f′（x)＜0；当x∈(a,＋∞）时，f′（x）＞0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值,且极小值为f （a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时,函数f(x）无极值；当a＞0时，函数f(x）在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
类型三、逆向思维已知极值或最值求参数的值或范围【例5】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】已知f(x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1 时有极值0，则a－b＝________.
【答案】－7
【解析】由题意得f′（x)＝3x2＋6ax＋b，则错误!解得错误!或错误!经检验当a＝1，b＝3时，函数f（x）在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意,故a－b＝－7。

【例6】【2017河北省沧州市高三月考】若函数f（x)＝错误!x3＋x2－错误!在区间（a，a＋5）上存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A．上的最大值和最小值．
【答案】a ＝2，b ＝－4，c ＝5。

；最大值为13，最小值为错误!。

（2)由（1)可得f （x ）＝x3＋2x2－4x ＋5,f′（x ）＝3x2＋4x －4。

令f′（x)＝0，解得x1＝－2，x2＝错误!.
当x 变化时,f′（x)，f(x ）的取值及变化情况如下表所示:
x －3
(－3，－2） －2 错误! 错误! 错误!
1
f′(x)
＋
0 －
＋
f （x ） 8
13
错误!
4
所以y ＝f （x)在上的最大值为13，最小值为错误!.
类型五、构造函数把不等式恒成立问题转化为求最值问题
【例9】【2017广西南宁高三模拟】已知函数
2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．
（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ； （2）令1
1
2
2
()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-1
2()x
x ≠是函数()h x 图
象上任意两点，且满足1
2
12
()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值
范围；
（3）若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x
-≥成立，求实数a 的最大值．
【答案】（1）当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-。

（2)2
22a ≤-（3）1。

（2）
2()(1)ln h x x a x x =-++，对于任意的12,(0,)x x ∈+∞,不妨取12x x <，则120x x -<,
则由1212()()
1,h x h x x x ->-可得1212()()h x h x x x -<-，
变形得
1122()()h x x h x x -<-恒成立，
令2
()()(2)ln F x h x x x
a x x =-=-++，则2()(2)ln F x x a x x =-++在(0,)
+∞上单调递增，
故1
()2(2)0F x x a x '=-++≥在(0,)+∞恒成立， 1
2(2)x a x ∴+≥+在
(0,)+∞恒成立。

1
22x x +
≥22x =时取""=，222a ∴≤.
（3）
()
()a g x f x x
-≥
, 2(1)2ln a x x x x ∴+≤-。

(0,1]x ∈，1(1,2]x ∴+∈,(0,1]x ∴∃∈使得22ln 1x x x
a x -≤+成立.
令22ln ()1
x x x
t x x -=+，则22
23ln 1
()(1)x x x t x x +--'=+,
令2
23ln 1y x
x x =+--，则由(1)(41)
0x x y x
+-'=
= 可得1
4x =或
1x =-（舍）
当1(0,)4x ∈时0y '<，则223ln 1y x x x =+--在1(0,)4上单调递减； 当1(,)4x ∈+∞时0y '>，则223ln 1y x x x =+--在1(,)4+∞上单调递
增.
1
ln 408
y ∴>->()0t x '∴>在(0,1]x ∈上恒成立。

()t x ∴在(0,1]上单调递增。

(1)a t ∴≤，即1a ≤.
∴实数a 的最大值为1。

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法:将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围。

一般地,f(x ）≥a 恒成立，只需f （x)min≥a 即可;f(x ）≤a 恒成立,只需f(x ）max≤a 即可。

（2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.
方法、规律归纳：
1、判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值
点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．
2、求解函数的最值时,要先求函数y ＝f(x)在内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
实战演练：
1．【2017江苏泰兴中学高三月考】若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
2
2
D ．
3
【答案】B
2．【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】若函数
在上有最大值
3，则该函数在上的最小值是
（ ）
a x x y +-
=2
323
A ．
B ．0
C ．
D ．1 【答案】C
【解析】
，解得或，，解得，所以当时，函数增，函数减，所以当时，函数取得最大值，，所以最小值是
．选C 。

3．设为函数的导函数，已知则下列结论正确的是 ( )
(A)在单调递增 （B ）在单调递减
（C ）在上有极大值 （D ）在上有极小值 【答案】D
4. 【2017广东省惠州市高三第一次调研考试】函数
]1,0[,43)(3∈-=x x x x f 的最大值是（
）
12
2
-(0,)+∞()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞()f x 21
()()ln ,()x f x xf x x f e e '+==
()f x ()f x '()211=-f ()25
1=
f ()211=
-f 3232
3+-
=x x y ()30==a f 0=x []1,0[]0,1-[]1,1-∈x 10<<x 0<'y 0<x 1>x ()013332
>-=-='x x x x y
A．B．—1 C．0 D．1
【答案】D
【解析】,时；
时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
5．【2017山东莱芜高三阶段测试】已知定义在R上的奇函数f（x)，设其导函数为f′(x），当x∈(－∞，0]时,恒有xf′(x）〈f（－x)，令F（x)＝xf(x),则满足F（3)>F （2x－1）的实数x的取值范围是（)
A．(－1，2）B。

错误!C。

错误!D。

（－2,1)
【答案】A
【解析】由F（x)＝xf（x），得F′（x)＝f(x)＋xf′(x）＝xf′(x）－f（－x）<0，所以F(x）在（－∞，0］上单调递减，又可证F（x)为偶函数，从而F(x）在上的任意x1,x2,都有|f（x1)－f(x2)｜≤t，则实数t的最小值是()
f x
()
'0
f x<
()
'0
f x>
()()()
2
'31231214
f x x x x
=-=-+
（ )
A ．20
B.18
C ．3 D.0 【答案】A
7．【2017江苏泰兴中学高三月考】已知函数
时函数 ．
【答案】5
3
【
解
析
】
8．已知点在曲线上，点在直线上，
则的最小值为 。

【答案】
【解析】要求的最小值，即求直线上的点到曲线
的距离的最小值.令，则
，解得，而，所以
1)1(-=f 23
-=x 1=x 132)('=+
-=x x x f x x x f ln 3)(2+-=0ln 32=-+x x y 02=+-y x MN 22MN 20x y -+=N 2
3ln y x x =-M ()321115()123423f x x x x f ∴=
+--∴=1
b ∴=-()()()3
22'22'11
7()21013
2
12
f x x a x ax b f x x a x a f a f =
+++∴=++-=∴=-
-=-
(2)f =7
12
-()f x 1x =-3221()3f x x a x ax b =
+++
点到直线的距离为直线
上的点到曲线的最小值,
9．【2017新疆兵团农二师华山中学高三试题】已知函数f（x）＝
x－(a＋1)ln x－错误!（a∈R）,g（x)＝错误!x2＋e x－x e x。

（1）当x∈时，求f（x)的最小值；
（2)当a<1时，若存在x1∈，使得对任意的x2∈，f （x1)<g(x2）恒成立，求a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）f（x)的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝
错误!.
①当a≤1时，x∈，f′（x)≥0,f（x)为增函数，f(x)min ＝f(1）＝1－a。

②当1<a<e时，x∈时,f′(x)≤0，f(x）为减函数；x ∈时，f′(x）≥0，f(x）为增函数．
所以f(x)min＝f(a）＝a－（a＋1）ln a－1。

③当a≥e时，x∈时,f′(x)≤0，f（x)在上为减函数．
ln
3
2=
-
+x
x
y
2=
+
-y
x
2=
+
-y
x
)1
,1(-
f （x ）min ＝f （e)＝e －(a ＋1)－错误!。

综上，a ≤1时，f （x )min ＝1－a ；当1〈a <e 时,f (x )min
＝a －（a ＋1）ln a －1；
当a ≥e 时，f （x )min ＝e －（a ＋1)－错误!.
(2)由题意知:f (x ）（x ∈)的最小值小于g (x )（x ∈）的最小值．
由（1）知f (x ）在上单调递增,f (x ）min ＝f (e ）＝e －(a ＋1）－a
e。

g ′(x ）＝(1－e x ）x .当x ∈时g ′(x )≤0,g （x )为减函数，g (x ）min ＝g （0）＝1，所以e －（a ＋1)－错误!〈1,即
a >错误!,所以a 的取值范围为错误!.
10。

【2017青岛一中高三质检】设函数f （x )＝错误!－
k )ln 2(x x
（k 为常数，e ＝2。

718 28…是自然对数的底数）． (1）当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间;
(2）若函数f （x ）在（0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．
【答案】单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为（2，
＋∞）．2
(,)2e e
（2）由（1)知，k ≤0时,函数f （x ）在（0,2）内单调递减,故f （x ）在(0，2）内不存在极值点;
当k >0时,设函数g （x )＝e x －kx ,k ∈（0，＋∞)．因为
g ′(x ）＝e x －k ＝e x －e ln k ，
当0<k ≤1时，当x ∈(0，2）时,g ′（x )＝e x －k >0，y ＝g （x ）单调递增．
故f （x )在(0,2)内不存在两个极值点；
当k >1时，得x ∈(0,ln k ）时，g ′（k ）<0,函数y ＝g （x ）单调递减．x ∈（ln k ,＋∞）时,g ′(x ）>0，函数y ＝g (x ）单调递增．所以函数y ＝g （x ）的最小值为g （ln k )＝k （l －ln k )．
函数f （x ）在(0，2)内存在两个极值点当且仅当
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧<<><>2
ln 00)2(0)(ln 0)0(k g k g g ，解得e<k 〈e 2
2
，
综上所述，函数f （x ）在（0，2)内存在两个极值点
时,k
的取值范围为)2
,(2
e e .。