安徽省桐城市第八中学2015-2016学年高一下学期第二次月考数学试题 含答案

桐城八中2015-2016学年度高一数学第二学期第二次月考试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题,每小题5分，共60分
1．{a n｝为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11,则a1＝( ）
A．18 B．20 C．22 D．24 2．设数列｛a n}是等比数列,前n项和为S n，若S3＝3a3,则公比q为( ）
A．－错误!B．1 C．－错误!或 1 D．错误!
3．已知数列｛a n}的前n项和S n＝an2＋bn（a、b∈R),且S25＝100,则a12＋a14等于（)
A．16 B．8 C．4 D．不确定4．数列1错误!,3错误!，5错误!,7错误!,…,（2n－1）＋错误!，…的前n项和S n 的值等于（）
A．n2＋1－错误!B．2n2－n＋1－错误!
C．n2＋1－错误!D．n2－n＋1－错误!
5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△
ABC是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视
图．在正视
图右侧，按
照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（)
7．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB ＝3，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为（)
A。

错误!B．3错误!C．2错误!
D．6错误!
8．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上,且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积（)
A．与点E，F位置有关
B．与点Q位置有关
C．与点E,F，Q位置都有关
D．与点E，F，Q位置均无关,是定值
9．如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4
10．在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（）A．错误!B．错误!C．错误!
D．错误!
11．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图）,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( )
A．不存在B．只有1个
C．恰有4个D．有无数多个
12．设f(x）是定义在R上恒不为零的函数,对任意实数x，y∈R，都
有f（x）f(y）＝f(x＋y)，若a1＝1
2
,a n＝f（n)(n∈N＊），则数列｛a n}的
前n项和S n的取值范围是( )
A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!
二、本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卷上13．等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列｛a n｝的公比为：_ _ ．
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵,相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米．
15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．
16．在三棱锥A－BCD中,AB＝CD＝6,AC＝BD＝AD＝BC＝5,则该三棱锥的外接球的表面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17。

(10分）一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
（1）请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;
（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C；
（3）求该多面体的表面积．
解：
18。

(12分）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD,在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在,求点F的位置；若不存在,请说明理由．
解：
19.（12分）如图,在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1）求证:DE∥平面PBC；
(2）求三棱锥A－PBC的体积．
解：
20.(12分）已知递增的等比数列{a n｝满足:a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列｛a n｝的通项公式；
(2）若b n＝a n log错误!a n，S n＝b1＋b2＋…＋b n,求S n.
解：
21。

(12分）设数列｛a n}的前n项和为S n,其中a n≠0,a1为常数，且－a1，S n，a n＋1成等差数列．
(1）求｛a n}的通项公式；
（2)设b n＝1－S n，问：是否存在a1，使数列｛b n}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
解：
22。

(12分）祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道"的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收
入50万美元，设f（n)表示前n年的纯收入．（f(n）＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额）
（1）从第几年开始获取纯利润？
（2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？
解:
2015—2016学年度桐城八中高一数学第二学期第二次月考试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

本大题共12小题,每小题5分，共60分
1．{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11,则a1＝（ B ）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．设数列｛a n｝是等比数列,前n项和为S n,若S3＝3a3,则公比q为( C ) A．－错误!B．1 C．－错误!或 1 D．错误!
3．已知数列｛a n｝的前n项和S n＝an2＋bn（a、b∈R），且S25＝100，
则a12＋a14等于( B ）
A．16 B．8 C．4 D．不确定4．数列1错误!，3错误!，5错误!，7错误!,…，(2n－1)＋错误!,…的前n项和S n 的值等于（ A ）
A．n2＋1－错误!B．2n2－n＋1－错误!
C．n2＋1－错误!D．n2－n＋1－错误!
5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( B ）A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视
图．在正视
图右侧，按
照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( B ）
7．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB ＝3，BC＝2,则棱锥O－ABCD的体积为( A ）
A。

错误!B．3错误!C．2错误!
D．651
8．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4,动点E，F在棱AB上,且EF＝2，动点Q在棱D′C′上,则三棱锥A′－EFQ的体积( D )
A．与点E，F位置有关
B．与点Q位置有关
C．与点E，F,Q位置都有关
D．与点E，F，Q位置均无关，是定值9．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF,GH在原正方体中互为异面的对数为（ C ）A．1 B．2 C．3 D．4
10．在正四棱锥V－ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ D )
A．错误!B．错误!C．错误! D．错误!
11．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥（如图),使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ D )
A．不存在B．只有1个
C．恰有4个D．有无数多个
12．设f(x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R，都有f（x)f(y）＝f（x＋y)，若a1＝错误!，a n＝f(n）(n∈N＊）,则数列｛a n}的前n项和S n的取值范围是（ C ）
A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!
二、本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上
13．等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S1,2S2，3S3成等差数列，则等比数列{a n｝的公比为:_错误!_ ．
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_2000_米．
15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_错误!π_．
16．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5,则该三棱锥的外接球的表面积为__43π__．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17。

（10分）一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
（1）请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点，求证:OE∥平面A1C1C;
（3）求该多面体的表面积．
解:（1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
（2)证明:如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.
∵E为AA1的中点,O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．
∴OE∥A1C.
∵OE⊄平面A1C1C,A1C⊂平面A1C1C,
∴OE∥平面A1C1C.
（3）多面体表面共包括10个面,S ABCD＝a2,S A1B1C1D1＝错误!，
S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝错误!，
S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1＝错误!×错误!×错误!＝错误!，
∴该多面体的表面积S＝a2＋错误!＋4×错误!＋4×错误!＝5a2。

18。

(12分）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在，求点F的位置；若不存在,请说明理由．
解：存在这样的点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB 的中点，证明如下：
∵AB∥CD,AB＝2CD，
∴AF綊CD,∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD∥CF。

又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1.
∴CF∥平面ADD1A1。

又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1,
DD1⊂平面ADD1A1，
∴CC1∥平面ADD1A1,
又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C,
∴平面C1CF∥平面ADD1A1。

19.(12分）如图,在四棱锥P－ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2,侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直,E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A－PBC的体积．
解：（1）证明:如图,取AB的中点F，连接DF，EF。

在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB＝4,CD＝2,所以BF綊CD。

所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC。

在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，
所以EF∥PB。

又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC。

因为DE⊂平面DEF，
所以DE∥平面PBC.
（2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中,PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝错误!。

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2,AB⊥AD,所以S△ABC＝错误!×AB×AD＝错误!×4×2＝4。

故三棱锥A－PBC的体积V A－PBC＝V P－ABC＝错误!×S△ABC×PO＝
错误!×4×错误!＝错误!。

20.(12分)已知递增的等比数列｛a n｝满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列｛a n｝的通项公式；
（2）若b n＝a n log错误!a n，S n＝b1＋b2＋…＋b n，求S n。

解：(1）设等比数列｛a n｝的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋
2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8。

∴a2＋a4＝20.
∴错误!解得错误!或错误!
又{a n}为递增数列,
∴错误!∴a n＝2n。

（2）∵b n＝2n·log错误!2n＝－n·2n，
∴－S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n。

①
∴－2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1)×2n＋n×2n＋1。

②
①－②得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝错误!－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.
∴S n＝2n＋1－n·2n＋1－2.
21.（12分）设数列{a n｝的前n项和为S n，其中a n≠0，a1为常数，且－a1,S n，a n＋1成等差数列．
（1）求｛a n｝的通项公式;
（2）设b n＝1－S n，问：是否存在a1，使数列｛b n}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在,请说明理由．
解:(1）依题意，得2S n＝a n＋1－a1.
当n≥2时，有错误!两式相减，得a n＋1＝3a n（n≥2）．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1,a n≠0,
所以数列｛a n｝是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此,a n＝a1·3n－1（n∈N＊）．
(2）因为S n＝错误!＝错误!a1·3n－错误!a1，b n＝1－S n＝1＋错误!a1－错误! a1·3n.
要使{b n｝为等比数列，当且仅当1＋错误!a1＝0，即a1＝－2.
所以存在a1＝－2,使数列｛b n}为等比数列．
22.（12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元，设f（n)表示前n年的纯收入．（f(n）＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
（1）从第几年开始获取纯利润？
(2）若干年后，该台商为开发新项目,有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f（n）＝50n－错误!－72＝－2n2＋40n－72。

（1）获取纯利润就是要求f（n)〉0,故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n〈18。

又n∈N＊,故从第三年开始获利．
(2）①平均利润为错误!＝40－2错误!≤16，当且仅当n＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n＝6。

②f(n）＝－2n2＋40n－72＝－2（n－10）2＋128，当n＝10时，f(n）max＝128。

故此方案共获利128＋16＝144万美元．
比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年,故选择第①种方案．。