安徽省桐城市第八中学2015-2016学年高一下学期第二次月考数学试题 含答案
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桐城八中2015-2016学年度高一数学第二学期第二次月考试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( )
A.18 B.20 C.22 D.24 2.设数列{a n}是等比数列,前n项和为S n,若S3=3a3,则公比q为( )
A.-错误!B.1 C.-错误!或 1 D.错误!
3.已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,则a12+a14等于()
A.16 B.8 C.4 D.不确定4.数列1错误!,3错误!,5错误!,7错误!,…,(2n-1)+错误!,…的前n项和S n 的值等于()
A.n2+1-错误!B.2n2-n+1-错误!
C.n2+1-错误!D.n2-n+1-错误!
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△
ABC是()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
6.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视
图.在正视
图右侧,按
照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()
7.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB =3,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为()
A。
错误!B.3错误!C.2错误!
D.6错误!
8.如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D′C′上,则三棱锥A′-EFQ的体积()
A.与点E,F位置有关
B.与点Q位置有关
C.与点E,F,Q位置都有关
D.与点E,F,Q位置均无关,是定值
9.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4
10.在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.错误!B.错误!C.错误!
D.错误!
11.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( )
A.不存在B.只有1个
C.恰有4个D.有无数多个
12.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都
有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=1
2
,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的
前n项和S n的取值范围是( )
A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!
二、本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卷上13.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则等比数列{a n}的公比为:_ _ .
14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米.
15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为.
16.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17。
(10分)一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形.
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;
(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(3)求该多面体的表面积.
解:
18。
(12分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在,求点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:
19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点.
(1)求证:DE∥平面PBC;
(2)求三棱锥A-PBC的体积.
解:
20.(12分)已知递增的等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=a n log错误!a n,S n=b1+b2+…+b n,求S n.
解:
21。
(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,其中a n≠0,a1为常数,且-a1,S n,a n+1成等差数列.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=1-S n,问:是否存在a1,使数列{b n}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
解:
22。
(12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道"的申请、受理、审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收
入50万美元,设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额)
(1)从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案较合算?
解:
2015—2016学年度桐城八中高一数学第二学期第二次月考试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( B )
A.18 B.20 C.22 D.24
2.设数列{a n}是等比数列,前n项和为S n,若S3=3a3,则公比q为( C ) A.-错误!B.1 C.-错误!或 1 D.错误!
3.已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,
则a12+a14等于( B )
A.16 B.8 C.4 D.不确定4.数列1错误!,3错误!,5错误!,7错误!,…,(2n-1)+错误!,…的前n项和S n 的值等于( A )
A.n2+1-错误!B.2n2-n+1-错误!
C.n2+1-错误!D.n2-n+1-错误!
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC是( B )A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
6.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视
图.在正视
图右侧,按
照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( B )
7.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB =3,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为( A )
A。
错误!B.3错误!C.2错误!
D.651
8.如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D′C′上,则三棱锥A′-EFQ的体积( D )
A.与点E,F位置有关
B.与点Q位置有关
C.与点E,F,Q位置都有关
D.与点E,F,Q位置均无关,是定值9.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为( C )A.1 B.2 C.3 D.4
10.在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为( D )
A.错误!B.错误!C.错误! D.错误!
11.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( D )
A.不存在B.只有1个
C.恰有4个D.有无数多个
12.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=错误!,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是( C )
A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!
二、本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卷上
13.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则等比数列{a n}的公比为:_错误!_ .
14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为_2000_米.
15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为_错误!π_.
16.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为__43π__.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17。
(10分)一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形.
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;
(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(3)求该多面体的表面积.
解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:
(2)证明:如图,连接AC,BD,交于O点,连接OE.
∵E为AA1的中点,O为AC的中点,
∴在△AA1C中,OE为△AA1C的中位线.
∴OE∥A1C.
∵OE⊄平面A1C1C,A1C⊂平面A1C1C,
∴OE∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面,S ABCD=a2,S A1B1C1D1=错误!,
S△ABA1=S△B1BC=S△C1DC=S△ADD1=错误!,
S△AA1D1=S△B1A1B=S△C1B1C=S△DC1D1=错误!×错误!×错误!=错误!,
∴该多面体的表面积S=a2+错误!+4×错误!+4×错误!=5a2。
18。
(12分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在,求点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:存在这样的点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1,此时点F为AB 的中点,证明如下:
∵AB∥CD,AB=2CD,
∴AF綊CD,∴四边形AFCD是平行四边形,
∴AD∥CF。
又AD⊂平面ADD1A1,CF⊄平面ADD1A1.
∴CF∥平面ADD1A1。
又CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,
DD1⊂平面ADD1A1,
∴CC1∥平面ADD1A1,
又CC1,CF⊂平面C1CF,CC1∩CF=C,
∴平面C1CF∥平面ADD1A1。
19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;
(2)求三棱锥A-PBC的体积.
解:(1)证明:如图,取AB的中点F,连接DF,EF。
在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2,所以BF綊CD。
所以四边形BCDF为平行四边形.
所以DF∥BC。
在△PAB中,PE=EA,AF=FB,
所以EF∥PB。
又因为DF∩EF=F,PB∩BC=B,
所以平面DEF∥平面PBC。
因为DE⊂平面DEF,
所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O,连接PO.
在△PAD中,PA=PD=AD=2,
所以PO⊥AD,PO=错误!。
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,AD=2,AB⊥AD,所以S△ABC=错误!×AB×AD=错误!×4×2=4。
故三棱锥A-PBC的体积V A-PBC=V P-ABC=错误!×S△ABC×PO=
错误!×4×错误!=错误!。
20.(12分)已知递增的等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=a n log错误!a n,S n=b1+b2+…+b n,求S n。
解:(1)设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a3+
2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28,得a3=8。
∴a2+a4=20.
∴错误!解得错误!或错误!
又{a n}为递增数列,
∴错误!∴a n=2n。
(2)∵b n=2n·log错误!2n=-n·2n,
∴-S n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n。
①
∴-2S n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1。
②
①-②得S n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=错误!-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2.
∴S n=2n+1-n·2n+1-2.
21.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,其中a n≠0,a1为常数,且-a1,S n,a n+1成等差数列.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=1-S n,问:是否存在a1,使数列{b n}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)依题意,得2S n=a n+1-a1.
当n≥2时,有错误!两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1,a n≠0,
所以数列{a n}是首项为a1,公比为3的等比数列.
因此,a n=a1·3n-1(n∈N*).
(2)因为S n=错误!=错误!a1·3n-错误!a1,b n=1-S n=1+错误!a1-错误! a1·3n.
要使{b n}为等比数列,当且仅当1+错误!a1=0,即a1=-2.
所以存在a1=-2,使数列{b n}为等比数列.
22.(12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额)
(1)从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案较合算?
解:由题意知,每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列.则f(n)=50n-错误!-72=-2n2+40n-72。
(1)获取纯利润就是要求f(n)〉0,故有-2n2+40n-72>0,解得2<n〈18。
又n∈N*,故从第三年开始获利.
(2)①平均利润为错误!=40-2错误!≤16,当且仅当n=6时取等号.故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6。
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,当n=10时,f(n)max=128。
故此方案共获利128+16=144万美元.
比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需6年,第②种方案需要10年,故选择第①种方案.。