初中数学九年级2 解直角三角形 应用举例课件
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C
≈80×0.91
=72.505
34°
在Rt△BPC中，∠B＝34°
Q sin B = PC
PB
\
PB
=
PC sin B
=
si7n23.540o 5
72.505 0.559
130
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形—应用举例
例题
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞
行器成功实现交会对接． ，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的
圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中
能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？
（分地析球：半从径组约为合6体40中0k能m，最π取远3.1直42，结果取整数） 接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是组合
F
P
Q
Oα·
体的位置，FQ是⊙O的切线，PQ切点Q
是从组P合Q 体观测地球时的最远
点．
的长就是地PQ面上P、Q
两点间的距离，为计算 的长需
解得x=6
tan 30 = 3x 12 + x
30°
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
解（：2（）1坝）顶在宽RtA△DA和F斜B中坡，AB∠的A长FB（=精90确°到A0.1m）D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
俯角
所以利用解直角三角形的知识求出
C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
Q tan a = BD , tan = CD
AD
AD
\ BD = AD tan a = 120 tan 30o
B
解触：礁由的点危A险作？BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x
60°
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF = AD2 DF 2 = 2x 2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中， tan ABF = AF BF
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化
整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小
段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这
段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度
h1=l1sina1.
lh
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,以h2上,…解,h决n相问加题，中于所是用得的到“山化高整h为. 零，积零为整”“化曲为直，以直代曲
的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
练习 1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航
行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测
得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有
tan = AF = i = 1： 1.5i=1:1.5
6m
i=1:3
BF
Bα
FE
β
C
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan = DE = i = 1: 3
CE
18.4
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里
的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东
34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果
取整数）？ 解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25°
65° A P
= 120 3 = 40 3 3
CD = AD tan = 120 tan 60o
αD Aβ
= 120 3 = 120 3
\ BC = BD + CD = 40 3 +120 3 C
= 160 3 277
答：这栋楼高约为277m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为
30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距
离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数） 仰角
水平线
分析：我们知道，在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此，
αD Aβ
在图中，a=30°,β=60°
先求出∠POQ（即a）
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
Q cos a
=
OQ OF
=6Leabharlann 00 6400 + 343
0.9491
\ a 18.o360
∴ PQ的长为
F
P
Q
O·α
1188.036´p6400
2051
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用
相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰
角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所
示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a
和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC =
AC
DC
\ AC = tan ADC DC
A B
60°45°
D 40m
C
=tan600×40=40 3 所以AB=AC－BC=29.2
答：棋杆的高度为29.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 150°，BD = 520m，∠D=60°，那
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线.
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
AB 150°
C
E
cos BDE = DE BD
\ DE = cos BDE BD
=cos600×520=260
60° D
答：开挖点E离点D 260m正好能使A，C，E成一直线.
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
≈80×0.91
=72.505
34°
在Rt△BPC中，∠B＝34°
Q sin B = PC
PB
\
PB
=
PC sin B
=
si7n23.540o 5
72.505 0.559
130
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形—应用举例
例题
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞
行器成功实现交会对接． ，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的
圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中
能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？
（分地析球：半从径组约为合6体40中0k能m，最π取远3.1直42，结果取整数） 接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是组合
F
P
Q
Oα·
体的位置，FQ是⊙O的切线，PQ切点Q
是从组P合Q 体观测地球时的最远
点．
的长就是地PQ面上P、Q
两点间的距离，为计算 的长需
解得x=6
tan 30 = 3x 12 + x
30°
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
解（：2（）1坝）顶在宽RtA△DA和F斜B中坡，AB∠的A长FB（=精90确°到A0.1m）D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
俯角
所以利用解直角三角形的知识求出
C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
Q tan a = BD , tan = CD
AD
AD
\ BD = AD tan a = 120 tan 30o
B
解触：礁由的点危A险作？BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x
60°
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF = AD2 DF 2 = 2x 2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中， tan ABF = AF BF
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化
整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小
段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这
段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度
h1=l1sina1.
lh
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,以h2上,…解,h决n相问加题，中于所是用得的到“山化高整h为. 零，积零为整”“化曲为直，以直代曲
的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
练习 1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航
行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测
得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有
tan = AF = i = 1： 1.5i=1:1.5
6m
i=1:3
BF
Bα
FE
β
C
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan = DE = i = 1: 3
CE
18.4
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里
的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东
34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果
取整数）？ 解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25°
65° A P
= 120 3 = 40 3 3
CD = AD tan = 120 tan 60o
αD Aβ
= 120 3 = 120 3
\ BC = BD + CD = 40 3 +120 3 C
= 160 3 277
答：这栋楼高约为277m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为
30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距
离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数） 仰角
水平线
分析：我们知道，在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此，
αD Aβ
在图中，a=30°,β=60°
先求出∠POQ（即a）
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
Q cos a
=
OQ OF
=6Leabharlann 00 6400 + 343
0.9491
\ a 18.o360
∴ PQ的长为
F
P
Q
O·α
1188.036´p6400
2051
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用
相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰
角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所
示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a
和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC =
AC
DC
\ AC = tan ADC DC
A B
60°45°
D 40m
C
=tan600×40=40 3 所以AB=AC－BC=29.2
答：棋杆的高度为29.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 150°，BD = 520m，∠D=60°，那
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线.
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
AB 150°
C
E
cos BDE = DE BD
\ DE = cos BDE BD
=cos600×520=260
60° D
答：开挖点E离点D 260m正好能使A，C，E成一直线.
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．