初中数学九年级2 解直角三角形 应用举例课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
C
≈80×0.91
=72.505
34°
在Rt△BPC中,∠B=34°
Q sin B = PC
PB
\
PB
=
PC sin B
=
si7n23.540o 5
72.505 0.559
130
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130海里.
化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形—应用举例
例题
例3: 2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞
行器成功实现交会对接. ,“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的
圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时,从中
能直接看到地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?
(分地析球:半从径组约为合6体40中0k能m,最π取远3.1直42,结果取整数) 接看到的地球上的点,应是 视线与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球,点F是组合
F
P
Q
Oα·
体的位置,FQ是⊙O的切线,PQ切点Q
是从组P合Q 体观测地球时的最远
点.
的长就是地PQ面上P、Q
两点间的距离,为计算 的长需
解得x=6
tan 30 = 3x 12 + x
30°
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β;
解(:2()1坝)顶在宽RtA△DA和F斜B中坡,AB∠的A长FB(=精90确°到A0.1m)D
Rt△ABC中,a =30°,AD=120,
俯角
所以利用解直角三角形的知识求出
C
BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.
解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120.
Q tan a = BD , tan = CD
AD
AD
\ BD = AD tan a = 120 tan 30o
B
解触:礁由的点危A险作?BD的垂线
交BD的延长线于点F,垂足为F,∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x
60°
则在Rt△ADF中,根据勾股定理
AF = AD2 DF 2 = 2x 2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中, tan ABF = AF BF
我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化
整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小
段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这
段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度
h1=l1sina1.
lh
α
在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把 h1,以h2上,…解,h决n相问加题,中于所是用得的到“山化高整h为. 零,积零为整”“化曲为直,以直代曲
的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.
练习 1. 海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向到航
行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测
得小岛A在北偏到30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有
tan = AF = i = 1: 1.5i=1:1.5
6m
i=1:3
BF
Bα
FE
β
C
33.7
在Rt△CDE中,∠CED=90°
tan = DE = i = 1: 3
CE
18.4
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题);
例5 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里
的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东
34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果
取整数)? 解:如图 ,在Rt△APC中,
PC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25°
65° A P
= 120 3 = 40 3 3
CD = AD tan = 120 tan 60o
αD Aβ
= 120 3 = 120 3
\ BC = BD + CD = 40 3 +120 3 C
= 160 3 277
答:这栋楼高约为277m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角60°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m).
例4: 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为
30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平距
离为120m,这栋高楼有多高(结果取整数) 仰角
水平线
分析:我们知道,在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角,
视线在水平线下方的是俯角,因此,
αD Aβ
在图中,a=30°,β=60°
先求出∠POQ(即a)
解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形.
Q cos a
=
OQ OF
=6Leabharlann 00 6400 + 343
0.9491
\ a 18.o360
∴ PQ的长为
F
P
Q
O·α
1188.036´p6400
2051
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用
相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰
角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所
示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a
和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?
解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC =
AC
DC
\ AC = tan ADC DC
A B
60°45°
D 40m
C
=tan600×40=40 3 所以AB=AC-BC=29.2
答:棋杆的高度为29.2m.
2. 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 150°,BD = 520m,∠D=60°,那
么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线.
解:要使A、C、E在同一直线上, 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°
AB 150°
C
E
cos BDE = DE BD
\ DE = cos BDE BD
=cos600×520=260
60° D
答:开挖点E离点D 260m正好能使A,C,E成一直线.
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
≈80×0.91
=72.505
34°
在Rt△BPC中,∠B=34°
Q sin B = PC
PB
\
PB
=
PC sin B
=
si7n23.540o 5
72.505 0.559
130
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130海里.
化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形—应用举例
例题
例3: 2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞
行器成功实现交会对接. ,“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的
圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时,从中
能直接看到地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?
(分地析球:半从径组约为合6体40中0k能m,最π取远3.1直42,结果取整数) 接看到的地球上的点,应是 视线与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球,点F是组合
F
P
Q
Oα·
体的位置,FQ是⊙O的切线,PQ切点Q
是从组P合Q 体观测地球时的最远
点.
的长就是地PQ面上P、Q
两点间的距离,为计算 的长需
解得x=6
tan 30 = 3x 12 + x
30°
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β;
解(:2()1坝)顶在宽RtA△DA和F斜B中坡,AB∠的A长FB(=精90确°到A0.1m)D
Rt△ABC中,a =30°,AD=120,
俯角
所以利用解直角三角形的知识求出
C
BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.
解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120.
Q tan a = BD , tan = CD
AD
AD
\ BD = AD tan a = 120 tan 30o
B
解触:礁由的点危A险作?BD的垂线
交BD的延长线于点F,垂足为F,∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
A
设DF= x , AD=2x
60°
则在Rt△ADF中,根据勾股定理
AF = AD2 DF 2 = 2x 2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中, tan ABF = AF BF
我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化
整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小
段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这
段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度
h1=l1sina1.
lh
α
在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把 h1,以h2上,…解,h决n相问加题,中于所是用得的到“山化高整h为. 零,积零为整”“化曲为直,以直代曲
的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.
练习 1. 海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向到航
行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测
得小岛A在北偏到30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有
tan = AF = i = 1: 1.5i=1:1.5
6m
i=1:3
BF
Bα
FE
β
C
33.7
在Rt△CDE中,∠CED=90°
tan = DE = i = 1: 3
CE
18.4
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题);
例5 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里
的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东
34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果
取整数)? 解:如图 ,在Rt△APC中,
PC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25°
65° A P
= 120 3 = 40 3 3
CD = AD tan = 120 tan 60o
αD Aβ
= 120 3 = 120 3
\ BC = BD + CD = 40 3 +120 3 C
= 160 3 277
答:这栋楼高约为277m
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角60°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m).
例4: 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为
30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平距
离为120m,这栋高楼有多高(结果取整数) 仰角
水平线
分析:我们知道,在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角,
视线在水平线下方的是俯角,因此,
αD Aβ
在图中,a=30°,β=60°
先求出∠POQ(即a)
解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形.
Q cos a
=
OQ OF
=6Leabharlann 00 6400 + 343
0.9491
\ a 18.o360
∴ PQ的长为
F
P
Q
O·α
1188.036´p6400
2051
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用
相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰
角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所
示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a
和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?
解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC =
AC
DC
\ AC = tan ADC DC
A B
60°45°
D 40m
C
=tan600×40=40 3 所以AB=AC-BC=29.2
答:棋杆的高度为29.2m.
2. 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 150°,BD = 520m,∠D=60°,那
么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线.
解:要使A、C、E在同一直线上, 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°
AB 150°
C
E
cos BDE = DE BD
\ DE = cos BDE BD
=cos600×520=260
60° D
答:开挖点E离点D 260m正好能使A,C,E成一直线.
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.