【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：选修4选4-4-2-

其次节 参数方程
时间：45分钟 分值：100分 一、填空题
1．直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2－2t ，
y ＝3＋2t
(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标
是________．
解析 由题意知(－2t )2
＋(2t )2
＝(2)2
，所以t 2
＝12，t ＝±2
2，代入
⎩⎨
⎧
x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t
(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋cos θ
y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则
实数k ＝________.
解析 曲线C 化为一般方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝
|2k |
1＋k 2
＝1⇒k ＝±3
3.
答案 ±3
3
3．已知椭圆的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．
解析 当t ＝π
3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3. 答案 2 3
4．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝s ，
y ＝1－2s
(s 为参数)，若l 1∥
l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.
解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k
1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.
答案 4 －1
5．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α
(α为参数)的交点个数为__________．
解析 将直线化为一般方程为x ＋y －1＝0，曲线转化为一般方程为x 2＋y 2＝9，
圆心(0,0)到直线的距离d ＝12
＝2
2＜r ＝3，故直线与曲线的交点个数为2.
答案 2
6．(2022·皖北联考)直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2－t ，
y ＝2＋t (t 为参数)交极坐标方程为ρ＝4cos θ的曲
线于A 、B 两点，则|AB |等于__________．
解析 由题意得直线方程为x ＋y －4＝0，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线的距离为d ＝2，弦|AB |＝2
r 2－d 2＝2
4－2＝2 2.
答案 2 2
7．(2021·安徽模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos θ－1，
y ＝5sin θ＋2(θ
为参数)和直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4t ＋6，
y ＝－3t －2(t 为参数)，则直线l 与圆C 相交所得的弦长等于
__________．
解析 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，直线l 的方程为3x ＋4y －10＝0，圆心到直线的距离为d ＝|－3＋8－10|
5
＝1，弦长为225－1＝4 6. 答案 4 6
8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2，y ＝t 3
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
解析
ρcos θ＝4化为一般方程x ＝4，⎩⎨
⎧
x ＝t 2
y ＝t 3
化为一般方程y 2＝x 3，联立解得
A (4,8)，
B (4，－8)，故|AB |＝16.
答案 16
9．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |
的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2
＋y 2
＝1，表示以(3,0)
为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.
答案 1 二、解答题
10．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半
轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝5＋32t ，
y ＝1
2t
(t 为参数)．
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的一般方程；
(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；
由⎩⎨⎧
x ＝5＋3
2t ，
y ＝12t
(t 为参数)，得y ＝1
3
(x －5)，即直线l 的一般方程为x －3
y －5＝0.
(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝
|2－3×0－5|
1＋3
＝3
2，弦长|PQ |＝2 22
－(32)2
＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积
S ＝2d ·|PQ |＝37.
11．(2022·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解 (1)C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆，由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π
3.
故D 的直角坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
，32.
12．长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2P A →，点P 的轨迹为曲线C .
(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值． 解 (1)设P (x ，y )，由题设可知， x ＝2
3|AB |cos(π－α)＝－2cos α， y ＝1
3|AB |sin(π－α)＝sin α，
所以曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－2cos α，
y ＝sin α
(α为参数，90°<α<180°)．
(2)由(1)得
|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2
α＋4sin α＋8＝－3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫sin α－232＋283. 当sin α＝23时，|PD |取最大值221
3.。