数理方程与特殊函数部分课后习题

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数学物理方程第一章、第二章习题全解

数学物理方程第一章、第二章习题全解

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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x

数理方程与特殊函数数理方程复习

数理方程与特殊函数数理方程复习
r
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0

西安邮电大学期末数理方程试题+答案

西安邮电大学期末数理方程试题+答案

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设,代入原方程得,则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则,0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数,数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解:特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解:原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=,则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

特殊函数概论习题解答

特殊函数概论习题解答

m) + 1)
z 2
v −µ +m
Jµ+m
(
z)
此式的一个重要特例是
∑ J v − n
(z)
=
Γ(v
n
+ 1) Cnk
k =0
( −1)k Γ(v +1−
k )
z 2
−k
Jv+k
(z)
∑ 29.证明:J µ
(az ) Jv
(bz )
∫ = −zµ+1Zv '( z ) + µ zµ Zv ( z ) − µ 2 zµ−1Zv ( z ) dz
∫ =
z
Z µ +1 v +1
(
z
)

vz
µ
Zv
(
z
)
+

z
µ
Zv
(
z
)

µ
2
zµ−1Zv ( z ) dz
移项即得预证等式
∫ ( ) 16.证明:
k2
− l2
z

µ
2
− z
v2
Jµ+m
(
z)
z k
∑ ∑ 证:由级数定义式
Jv
(
z)
=
∞ n=0
( −1)n n!Γ(n + v
+
1)
z 2
2n+v

z 2
v
= Γ(v + 1) ∞ 2
k=0 k !
Jµ+k (z)
z k
∑ ∑ 知:
Jv

数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总

数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总

1.证明二维laplace 方程 在极坐标下 证:2.长为l 的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另一端有恒定热流q 进入(即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ), 杆的初始温度分布为x (l-x ) / 2 ,试写出相应的定解问题。

解:对于杆上的一个微元d x ,流入的热量为:温度变化所需的热量为:两式相等:定解问题为:02222=∂∂+∂∂y u x u 22,arctan y x x y+==ρθθρθρρθθρθθsin ,cos 221cos ,sin /1122222=∂∂=⋅+=∂∂=∂∂-=-⋅+=∂∂y x y x x y x y x y x 2222222222222sin cos cos 2sin sin ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u u u y u x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2222222222222sin sin sin 2sin cos ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u u u x u ρρθρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u u y u x u 11222222222ρθθθρθθρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y u y u y u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=θρρρρρu u ρθθθρsin cos ∂∂-∂∂=u u 02222=∂∂+∂∂y ux u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂θρρρρρu u3.设弦的两端固定于x=0及x=l,弦的初始位移如图所示,初速度为零,又没有外力作用,求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。

解如果琴弦像上图的方法来放置,是不是边界条件将不再是齐次的。

4.解下列问题解:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=∂∂=∂∂><<∂∂=∂∂lxxxutxt luxtut lxxuatu),()0,(,0),(,0),0(,,222ϕ)()(),(tTxXtxu=XTaXT''='2XXTaT''='22=+'=+''TaTXXλλ⎩⎨⎧='='<<=+'')(,0)0(lXXlxXXλ)()(),()()0(),0(='=∂∂='=∂∂tTlXxt lutTXxtu)(,0)0(='='lXX,3,2,1,22=⎪⎭⎫⎝⎛==nlnnnπβλsin)(=-='lBlXββ)0(=='βAXxlnBXnnπcos=lnnπβ=xBxAXββcossin+=2=+''XXβ2>=βλBX=BAxX+==''X=λ==BAll eBeAlXββββ--=')()0(=-='ββBAXxx BeAeXββ-+=2=-''XXβ2<-=βλ2=+'TaTλ=λ0='T00T A=>λ02222=+'nnTlnaTπtlnanneAT2222π-=nnnTXu=xlneC tlnanππcos2222-=CAB==∑∑∞=-∞=+==1cos2222ntlnannnxlneCCuuππTXu=xlneBA tlnannππcos2222-=001()d2l lC x xlϕ==⎰022()cos d2(1)1()lnnnC x x xl llnπϕπ=⎡⎤=--⎣⎦⎰xx=)(ϕ5.达朗贝尔公式推导 解:做如下代换得:所以 因为所以所以 又因为 因为 所以所以得:即因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂x x t x u x x u t x x u a t u ),()0,(),()0,(0,,22222ψϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=t a x 121⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂=t a x 121)()(21at x f at x f u -++=ηηη∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x ξξξ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x a t 2ηξ-=2ηξ+=x at x -=ηat x +=ξ)()(21ηξf f u +=)(ξξf u =∂∂02=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ηξηξu u t a x ∂∂⋅-∂∂=∂∂1ηt a x ∂∂⋅+∂∂=∂∂1ξ011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂u t a x t a x 0122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂u t a x 0122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂u t a x 0122222=∂∂⋅-∂∂t u a x u )()()()0,(21x x f x f x u ϕ=+=)()()()0,(21x x f a x f a t x u ψ='-'=∂∂C a x f x f x +=-⎰021d )(1)()(ξξψ2d )(21)(21)(01C a x x f x ++=⎰ξξψϕ2d )(21)(21)(02Ca x x f x --=⎰ξξψϕ2d )(21)(212d )(21)(2100C a at x C a at x u at x at x ---++++=⎰⎰-+ξξψϕξξψϕ[]11()()()d 22x atx at u x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰6.解定解问题解:令所以因为 所以得7.P81T1求方程0,1,22>>=∂∂∂y x y x yx u满足边界条件y y u x x u cos ),1(,)0,(2==的解解:用积分法求解:对y 进行积分)(2122x g y x x u ==∂∂,再对x 积分)()(612123y f x f y x u ++=利用边界条件得 ,再用一次边界条件用积分变换法求解:对y 取拉普拉斯变换利用边界条件 得22d 2d d 3d y x y x --x y +=η2=∂∂∂ηξu )()3()0,(21x f x f x x u +-==)()3(0)0,(21x f x f y x u '+-'==∂∂Cx f x f =+--)()3(3121Cx x f 4343)3(1-=-C x x f 4341)(21-=C x x f 4343)(2+=()2222343)(4343341y x C y x C y x u +=+++--=(d 3d )(d d )0y x y x =-+=)()3(21x y f x y f ++-=x y 3-=ξ)()(21ηξf f u +=y y f f y y u x f x f x u cos )()1(61),1(,)0()()0,(212221=++=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂∂+∂∂x y x u x x u x y y u y x u x u ,0)0,(,)0,(,0,032222228.推导空间格林公式由高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ++=∂∂+∂∂+∂∂dS x n R y n Q x n P dV z R y Q x P )],cos(),cos(),cos([)(推导 证:设函数u(x,y,z)和υ(x,y,z)在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数,在Ω内具有连续的所有二阶偏导数。

数理方程第二版课后习题答案

数理方程第二版课后习题答案

第一章曲线论§ 1 向量函数1.证明本节命题3、命题5 中未加证明的结论略2.求证常向量的微商等于零向量。

证:设,为常向量,因为所以。

证毕3.证明证:证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。

证:设,为定义在区间上的向量函数,因为在区间上可导当且仅当数量函数,和在区间上可导。

所以,,根据数量函数的Lagrange 中值定理,有其中,,介于与之间。

从而上式为向量函数的0 阶Taylor 公式,其中。

如果在区间上处处有,则在区间上处处有,从而,于是。

证毕5.证明具有固定方向的充要条件是证:必要性:设具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,于是。

充分性:如果,可设,令,其中为某个数量函数,为单位向量,因为,于是为常向量,于是,,即具有固定方向证毕因为,故,从而6.证明平行于固定平面的充要条件是。

证:必要性:设平行于固定平面,则存在一个常向量,使得,对此式连续求导,依次可得和,从而,,和共面,因此充分性:设,即,其中,如果,根据第5 题的结论知, 具有固定方向, 则某个数量函数, 为单位常向量,任取一个与 垂直的单位常向量 ,于是作以 为法向量过原点的平面 ,则 平行于 。

如果 ,则 与 不共线, 又由 可知, , ,和 共面,于是 ,,那么 ,这说明 与共线,从而,根据第 5 题的结论知, 具有固定方向,则 可表 示为,其中 为某个数量函数, 为单位常向量,作以为法向 量,过原点的平面 ,则 平行于 §2 曲线的概念1. 求圆柱螺线 在点 的切线与法平面的方程。

解: ,点 对应于参数 ,于是当 时, ,,于是切线的方程为:法平面的方程为2. 求三次曲线 在点 处的切线和法平面的方程。

解: ,当 时, , , 于是切线的方程为:法平面的方程为3. 证明圆柱螺线 的切线和 轴成固定角 证:可表示为 ,其中 为其中 , 为数量函数, 令 证毕令为切线与轴之间的夹角,因为切线的方向向量为,轴的方向向量为,则证毕4.求悬链线从起计算的弧长解:5.求抛物线对应于的一段的弧长解:6. 求星形线,的全弧长。

数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解

数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解

sin sin
n1 (L)2 (na)2
L
L
原定解问题解为:
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
16
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关,则可以令:
u(x,t) V (x,t) W (x)
2 l
l 0
l2
32 2a2
sin
n
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l2
32 2a2
,
n
4
Dn
2
n a
l 0
sin
4
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l
4
a
,
n
4
27
所以,定解问题的解为:
V
(
x,
t
)
l2 32 2a
2
cos
4 l
a
t
l 4
a
sin
4 l
a
t
sin
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用,并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园 域上的周期性条件);
(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。
22
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表 达式最简单。若边界是圆、扇形,柱形,球形,要使用极坐标, 柱面坐标和球坐标表示定解问题;

数理方程课后习题(带答案)

数理方程课后习题(带答案)

u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得:w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x

必修一函数与方程习题答案

必修一函数与方程习题答案

必修一函数与方程习题答案函数与方程是高中数学中的重要内容,它们是数学中的基础概念,也是解决实际问题的重要工具。

在学习过程中,我们常常会遇到一些习题,下面我将为大家提供一些必修一函数与方程习题的答案,希望能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。

1. 已知函数f(x) = 2x + 3,求f(4)的值。

解:将x = 4代入函数f(x)中,得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。

2. 已知函数g(x) = x^2 + 2x,求g(-3)的值。

解:将x = -3代入函数g(x)中,得到g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3。

3. 已知函数h(x) = 3x - 1,求解方程h(x) = 8的解。

解:将h(x) = 8转化为3x - 1 = 8,解得x = 3。

4. 解方程2x + 5 = 3x - 1。

解:将方程化简为2x - 3x = -1 - 5,得到-x = -6,解得x = 6。

5. 解方程3(x - 2) = 2x + 1。

解:将方程化简为3x - 6 = 2x + 1,再将2x移到一边,得到3x - 2x = 1 + 6,解得x = 7。

6. 解方程2(3x - 4) - 5(x + 1) = 3(2x - 1)。

解:将方程化简为6x - 8 - 5x - 5 = 6x - 3,将6x移到一边,得到6x - 6x = 8 + 5 - 3,解得x = 10。

通过以上几道习题的解答,我们可以看出,函数与方程的解题过程主要是根据已知条件进行计算和化简,最终求出未知数的值。

在解方程时,我们需要注意将方程化简为一元一次方程,然后通过移项和合并同类项等步骤得出最终的解。

除了以上习题的答案,还有一些其他类型的函数与方程的习题,如二次函数、指数函数、对数函数等。

这些习题需要我们掌握相应的函数性质和解题方法,才能够正确地求解。

总之,函数与方程是数学中的重要内容,它们在数学的学习和实际问题的解决中起着重要的作用。

(整理)数理方程第二版课后习题答案

(整理)数理方程第二版课后习题答案

第一章曲线论§ 1向量函数1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2 .求证常向量的微商等于零向量。

证:设31,回为常向量,因为r(t4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0it —AtAt —At所以E33 .证明⑹ p 2(t)则此向量在该区间上是常向量 证:设[=«r)=)⑴ 返 [回 回1为定义在区间口上的向量函数,因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅],EH3和EH3在区间 口上可导。

所 以,।° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理,有证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,x(t) - X(t o ) 4- %)y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力式 t) = z(M)+ /(%)《一其中 51,囹,因介于口与口之间。

从而* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明=『口 +年一%)上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式,其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。

如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)曰!,则在区间口上处处有适三从而F = (,©) y'(%) ,(1)] = o]于是E3。

证毕5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1证:必要性:设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数,目为单位常向量,于是f"=。

⑴P 住"X" Q] 充分性:如果区三可,可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数,回为单位向量,因为F=p 岸前⑴+。

("'⑴]于是r x ? = O-*p(t)2(t) x [p'(t)?(t) + p(t)e (t) - O^*p 2(f)[e(t) x e (t) - 0 因为回,故国亘1,从而F⑷x.(t)=。

高一数学上册第三章函数的应用之函数与方程知识点及练习题(含答案)

高一数学上册第三章函数的应用之函数与方程知识点及练习题(含答案)

3.1函数与方程1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:⑴方程0322=--x x 与函数322--=x x y⑵方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y⑶方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y推广到一般的一元二次方程02=++c bx ax 和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,使用判别式来把两者的关系联系起。

一、函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

⑴函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

⑵函数零点的求法:求函数)(x f y =的零点:①(代数法)求方程0)(=x f 的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。

⑶二次函数的零点: )0(2≠++=a c bx ax y .① △>0,方程02=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点。

② △=0,方程02=++c bx ax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。

③ △<0,方程02=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点。

1. 探索函数零点存在性定理⑴零点存在性的探索观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象:在区间]1,2[-上有___1个___零点;=-)2(f __5_____,=)1(f ___-4__,)2(-f ·)1(f __<___0(<或>)。

华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明: sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题得, 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程,得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此,所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题得, ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程,得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此,所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解:2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题得, 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程,得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此,所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得求解固有值问题得,()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得, 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此,所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题得, 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程,得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此,所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解:令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程,的通解:, ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件,得 , 方程的通解: 由有界性条件及边界条件,()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标,则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解:解:由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时, 当时, 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解:由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为: ,其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解:设问题的解为 将其代入上面的定解问题,得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题:(1) , 解得: (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得: 其中, ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此,原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解:当时,方程的通解为 由边界条件,有, ; 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时,方程的通解为 由边界条件,有 得当时,方程的通解为 由边界条件,有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于,则,得故,固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解:方程通过自变量代换 或 得: 当时,方程的通解为 由边界条件,有 , ; 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时,方程的通解为 由边界条件,有 得当时,方程的通解为 由边界条件,有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于,则,得 故,固有值 固有函数。

数学人教B版必修1课后训练:2-4 函数与方程 含解析 精

数学人教B版必修1课后训练:2-4 函数与方程 含解析 精

课后训练基础巩固1.如果二次函数y =x 2+mx +(m +3)有两个不同的零点,则m 的取值范围是( )A .{-2,6}B .(-2,6)C .[-2,6]D .(-∞,-2)∪(6,+∞)2.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε的说法正确的是( )A .ε越大,零点的精确度越高B .ε越大,零点的精确度越低C .重复计算次数就是εD .重复计算次数与ε无关3.函数f (x )=x 3+3x -1在以下哪个区间内一定有零点( )A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)4.若函数f (x )=mx 2+8mx +21,当f (x )<0时,-7<x <-1,则实数m 的值为( )A .1B .2C .3D .45.下图是函数f (x )的图象,它与x 轴有4个不同的公共点,给出下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是( )A .[-2.1,-1]B .[1.9,2.3]C .[4.1,5]D .[5,6.1]6.用二分法求方程f (x )=0在区间[1,2]内的唯一实数解x 0时,经计算得(1f ,f (2)=-2,3=62f ⎛⎫⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( ) A .x 0∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .03=2xC .x 0∈3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .x 0∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦或x 0∈3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.已知函数y =x 2+ax +3有一个零点为2,则a 的值为__________.9.求函数y =x 3-4x 的零点,并画出它的图象.能力提升10.二次函数f (x )=x 2+px +q 的零点为1和m ,且-1<m <0,那么p ,q 满足的条件为( )A .p >0且q <0B .p >0且q >0C .p <0且q >0D .p <0且q <011.已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )-g (x )=-x -3,根据所给数表,判断f (x )的A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,2] D.[2,3]12.若一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则a的取值范围是__________.13.设函数[)221,0,,()=4,(,0),x xf xx x⎧-∈+∞⎨-∈-∞⎩又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是__________.14.求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.15.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子呢!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?参考答案1.D点拨:因为二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,所以Δ=m2-4(m +3)>0,解得m<-2或m>6.2.B点拨:依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低.3.B点拨:∵f(-1)×f(0)=-5×(-1)=5>0;f(0)×f(1)=-1×3=-3<0;f(1)×f(2)=3×13=39>0;f(2)×f(3)=13×35=455>0.∴f(x)在(0,1)内一定有零点.4.C点拨:由题意可知,-1和-7分别是函数f(x)=mx2+8mx+21的两个零点,因此由根与系数的关系有21m=(-1)×(-7)=7,解得m=3.5.B点拨:由不变号零点的特征易判断该零点在区间[1.9,2.3]内.6.C点拨:∵3=6>02f⎛⎫⎪⎝⎭,f(2)=-2<0,又方程f(x)=0在区间[1,2]内有唯一实数解x0,∴x0∈3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.7.7 2-点拨:由题意x=2为方程x2+ax+3=0的根,即4+2a+3=0,解得7 =2 a-.8.1.4点拨:由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间[1.406 5,1.438]上,由精确度可知近似解为1.4.9.解:∵x3-4x=x(x2-4)=x(x-2)(x+2),∴函数y=x3-4x的零点为0,-2,2,这三个零点把x轴分成4个区间:(-∞,-2],(-2,0],(0,2],(2,+∞),在这4个区间内,取x的一些值(包括零点).10.D点拨:由题意知,方程x2+px+q=0的两根为m和1,且-1<m<0.由根与系数的关系,得=10,=0,p mq m-+>⎧⎨<⎩即0,0.pq<⎧⎨<⎩11.C点拨:由列表可知f(1)=g(1)-1-3=2.72-4=-1.28,f(2)=g(2)-2-3=7.39-5=2.39,∴f(1)f(2)<0.∴f(x)的一个零点所在的区间为[1,2].12.(-∞,0)点拨:由题意知,两根之积x1·x2=1<0a,∴a<0.13.1,点拨:当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5,令g(x)=0,得=x正值舍去),则=x∴g(x)的零点为1和14.证明:设f(x)=5x-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.由于f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1在R上是连续的,∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.15.解:可以利用二分法的原理进行查找.如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50 m~100 m之间,即一二根电线杆附近.。

高考数学总复习 29函数与方程课后作业 北师大版

高考数学总复习 29函数与方程课后作业 北师大版

一、选择题1.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围为( )A.a<-1 B.a>1C.-1<a<1 D.0≤a<1[答案] B[解析] f(x)=2ax2-x-1∵f(0)=-1<0 f(1)=2a-2∴由f(1)>0得a>1.故选B.2.(2012·山东临沂)已知函数f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4,其中g(x)是定义域为R的函数,则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实数根( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)[答案] B[解析] ∵f(1)=0×g(x)-1<0,f(2)=0×g(x)+2>0,故在(1,2)上必有实根.3.关于方程3x+x2+2x-1=0,下列说法正确的是( )A.方程有两不相等的负实根B.方程有两个不相等的正实根C.方程有一正实根,一零根D.方程有一负实根,一零根[答案] D[解析] 令f1(x)=3xf2(x)=-x2-2x+1=2-(x+1)2则方程的根即为两函数图像交点横坐标由图像知方程有一负根,一零根.4.已知f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n是f(x)的零点,且m<n,则实数a,b,m,n的大小关系是( )A .m <a <b <nB .a <m <n <bC .a <m <b <nD .m <a <n <b[答案] A[解析] 本题考查函数性质,主要是函数的零点、单调性.如下图,f (a )=f (b )=1,f (m )=f (n )=0,结合图形知,选A.5.若函数f (x )=x 3-3x +a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .(-2,2) B .[-2,2] C .(-∞,-1) D .(1,+∞)[答案] A[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系.由于函数f (x )是连续的,故只需两个极值异号即可.f ′(x )=3x 2-3,令3x 2-3=0,则x =±1,只需f (-1)f (1)<0,即(a +2)(a -2)<0,故a ∈(-2,2).6.(2011·新课标文,10)在下列区间中,函数f (x )=e x+4x -3的零点所在的区间为( ) A .(-14,0)B .(0,14)C .(14,12)D .(12,34)[答案] C[解析] 本题考查了函数零点的判断.y =f (x )在(a ,b )上单调且有零点时有f (a )f (b )<0.依次验证选项.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=1e 4-4<0,f (0)=-2<0,A 错,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=e 14-2<0,B 错.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=e 12-1>0,选C.二、填空题7.已知方程f (x )=0在(1,2)内有唯一解,用二分法求方程的近似解时,若要使精确度为0.1,则使用二分法的最多次数为________.[答案] 4[解析] 每一次使用二分法,区间长度为原区间长度的12,设n次后达到精确度,则只需12n<0.1,即n≥4.8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________.[答案]⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|-32<x<1[解析] 由于函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧-2+3=-a,-2·3=b,解得a=-1,b=-6,故f(x)=x2-x-6.所以不等式af(-2x)>0,即-(4x2+2x-6)>0,解得-32<x<1.三、解答题9.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间 [0,2]上有解,求实数m的取值范围.[解析] 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,∵f(0)=1>0,则应有f(2)≤0,又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m≤-32.②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00≤-m-12≤2f2≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧m-12-4≥0-3≤m≤14+m-1×2+1≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧m≥3或m≤-1-3≤m≤1m≥-32,∴-32≤m≤-1,由①②可知m≤-1.一、选择题1.设函数f (x )=4sin(2x +1)-x ,则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A .[-4,-2] B .[-2,0] C .[0,2] D .[2,4][答案] A[解析] 本题判断f (x)=0在区间内是否成立,即4sin(2x +1)=x 是否有解.如上图:显然在[2,4]内曲线y =4sin(2x +1),当x =54π-12时,y =4,而曲线y =x ,当x =54π-12<4,有交点,故选A.2.(2012·山东济南)若方程x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x=x13的解为x 0,则x 0属于以下区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1 D .(1,2) [答案] B[解析] 构造函数f (x )=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-x13,易知该函数是R 上的减函数.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 -⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 -⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0. ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13,12.二、填空题3.(2011·辽宁文,16)已知函数f (x )=e x-2x +a 有零点,则a 的取值范围是________. [答案] (-∞,2ln2-2][解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力. 函数f (x )=e x-2x +a 有零点,即方程 也就是a =-e x +2x 有解 令g (x )=-e x +2xg (x )的值域就是a 的取值范围∵g ′(x )=-e x+2=0的根为x =ln2且当x ∈(-∞,ln2)时,g ′(x )>0,g (x )是增函数 当x ∈(ln2,+∞)时,g ′(x )<0,g (x )是减函数 ∴g (x )max =g (ln2)=2ln2-2 ∴a 的取值范围是(-∞,2ln2-2].4.若函数f (x )=3ax -2a +1在区间[-1,1]上无实根,则函数g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -15(x 3-3x +4)的单调递减区间是________.[答案] (-∞,-1),(1,+∞)[解析] f (x )在[-1,1]上的图像是线段,若方程f (x )=0在[-1,1]上无实根, 则f (-1)f (1)>0,即(-5a +1)(a +1)>0, 解得-1<a <15,∴a -15<0.由g ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -15(3x 2-3)<0,即3x 2-3>0得x <-1或x >1. 三、解答题5.对于函数f (x ),若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b -1)(a ≠0).(1)当a =1,b =-2时,求函数f (x )的不动点;(2)若对任意实数b ,函数f (x )恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围. [解析] (1)f (x )=x 2-x -3,因为x 0为不动点, 因此有f (x 0)=x 20-x 0-3=x 0,所以x 0=-1或x 0=3. 所以3和-1为f (x )的不动点. (2)因为f (x )恒有两个不动点,f (x )=ax 2+(b +1)x +(b -1)=x , ax 2+bx +(b -1)=0,由题设知b 2-4a (b -1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0.所以0<a<1.6.(2012·广州模拟)已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.[解析] ∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1不合题意,舍去,∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,f(x)有两个零点或无零点不合题意.∴这种情况不可能.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.7.(文)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.[解析] ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0,∴若存在实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤-15或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-15,此时f(x)=x2-135x-65,令f(x)=0,即x2-135x-65=0,解之得x=-25或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-1 5 .综上所述,a<-15或a>1.(理)定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=ln x-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解.(1)求x<0时,函数f(x)的解析式;(2)求实数a的取值范围.[解析] (1)设x<0,则-x>0,∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax(x<0).(2)∵f(x)是偶函数,∴f(x)=0的根关于x=0对称,又f(x)=0恰有5个实数根,则5个根有两正根,两负根,一零根,且两正根与两负根互为相反数,∴原命题可转化为:当x>0时,f(x)的图像与x轴恰有两个不同的交点.下面就x>0时的情况讨论.∵f′(x)=1x-a,∴当a≤0,f′(x)>0,f(x)=ln x-ax在(0,+∞)上为增函数,故f(x)=0在(0,+∞)上不可能有两个实根.a>0时,令f′(x)=0,x=1 a .当0<x<1a时,f′(x)>0,f(x)递增,当x>1a时,f′(x)<0,f(x)递减,∴f(x)在x=1a处取得极大值-ln a-1,则要使f(x)在(0,+∞)有两个相异零点,如图.∴只要:-ln a-1>0,即ln a<-1,得:a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e .。

北师大版高中数学必修一学函数与方程课后训练

北师大版高中数学必修一学函数与方程课后训练

2013-2014学年高中数学 4.1函数与方程课后训练 北师大版必修1 "基础巩固.函数f (x )的图像与x 轴有3个交点,则方程f (x )=0的实数解的个数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3 2.函数y =x 的零点是( ).A .0B .(0,0)C .(1,0)D .1 3.函数f (x )=2ln x x-的零点一定位于区间( ). A .1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,2)C .(2,e)D .(e,3) 4.下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( ).5.下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( ). A .f (x )=3x 2-4x +5 B .f (x )=x 3-5x -5 C .f (x )=ln x -3x +6 D .f (x )=e x +3x -66.已知函数y =x 2+(1-k )x -k 的一个零点在(2,3)内,则实数k 的范围是( ). A .(-3,-2) B .(2,3) C .(3,4) D .(0,1)7.若方程x 2+(m -2)x +(5-m )=0的两根都大于2,则m 的取值范围是( ). A .(-5,-4] B .(-∞,-4]C .(-∞,-2)D .(-∞,-5)∪(-5,-4] 8.方程log 3x +x =3的解所在的区间为( ).A .(0,2)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)9.定义在R 上的函数f (x )的图像是连续不断的曲线,已知函数f (x )在区间(a ,b )上有一个零点x 0,且f (a )·f (b )<0,用二分法求x 0,当02a b f +⎛⎫=⎪⎝⎭时,则函数f (x )的零点是( ).A .(a ,b )外的点B .2a b x +⎛⎫=⎪⎝⎭C .区间,2a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭或,2a b b +⎛⎫⎪⎝⎭内的任意一个实数 D .a 或b10.设f (x )=3x +3x -8,用二分法求方程3x +3x -8=0在(1,2)内近似解的过程中,计算得到f (1)<0,f (1.5)>0,f (1.25)<0,则方程的根落在区间( ).A .(1,1.25)B .(1.25,1.5)C .(1.5,2)D .不能确定11.方程(x +1)(x -2)(x +3)+x =0的一个实数解所在的大致区间不可能...是( ). A .[-3,-2] B .[-2,-1] C .[0,2] D .[2,4] 能力提升12.已知函数f (x )=21,0,log ,0,x x x x +≤⎧⎨>⎩则函数y =f [f (x )]+1的零点个数是( ).A .4B .3C .2D .113.若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭存在零点,则m 的取值范围是________. 14.求方程ln x +x -3=0在(2,3)内的近似解.(精确到0.1) 15.求证:方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数解.参考答案1.D 点拨:因为函数f (x )的图像与x 轴有3个交点,所以函数f (x )有3个零点,即方程f (x )=0有3个实数解.2.A 点拨:函数y =x 的零点是其图像与横轴交点的横坐标0,它是一个实数,而不是点,故选A.3.C 点拨:∵112ln1e e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-1-2e <0, f (1)=ln 1-21=-2<0, f (2)=ln 2-22=ln 2-1=ln 2-ln e =2ln e <0,f (e)=2lne e -=21e->0,∴函数f (x )=2ln x x-的零点一定位于区间(2,e)内.4.C 点拨:在选项A ,B ,D 中,找不到闭区间[a ,b ],使得函数在区间[a ,b ]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,故选C.5.D 点拨:对于A ,f (1)=4,f (2)=9,f (1)·f (2)>0,无法判断f (x )在[1,2]上是否有零点;对于B ,f (1)=-9,f (2)=-7,f (1)·f (2)>0,同选项A 一样,无法判断;对于C ,f (1)=3,f (2)=ln 2,f (1)·f (2)>0,同选项A ,B 一样,无法判断;对于D ,f (1)=e -3,f (2)=e 2,f (1)·f (2)<0,所以f (x )在[1,2]上有零点.6.B 点拨:Δ=(1-k )2-4×(-k )=(1+k )2.当Δ=0时,k =-1,二次函数y =x 2+2x +1在区间(2,3)内无零点; 当Δ>0时,若函数y =x 2+(1-k )x -k 的一个零点在(2,3)内,则f (2)·f (3)<0,即(6-3k )·(12-4k )<0,所以(k -2)·(k -3)<0,解得2<k <3,因此,实数k 的取值范围是(2,3).7.A 点拨:考察函数f (x )=x 2+(m -2)x +(5-m ),由条件知它的两个零点都大于2,其图像如图所示.由图可知,222,2(2)50,(2)4(5)0,m f m m m -⎧->⎪⎪=+>⎨⎪---≥⎪⎩即2,5,44,m m m m <-⎧⎪>-⎨⎪≥≤-⎩或 ∴-5<m ≤-4.故选A.8.C 点拨:考察函数f (x )=log 3x +x -3,其图像是连续曲线,且f (2)=log 32+2-3=32log 3<0,f (3)=log 33+3-3=1>0,所以,方程log 3x +x =3的解所在的区间为(2,3). 9.B10.B 点拨:∵f (1.25)<0,f (1.5)>0, ∴方程的根落在(1.25,1.5)内.11.D 点拨:设f (x )=(x +1)(x -2)(x +3)+x ,则其图像是连续曲线,又知f (-3)=-3<0,f (-2)=2>0,所以f (x )在[-3,-2]内有零点,即原方程在[-3,-2]内有实数解.同理原方程在[-2,-1],[0,2]内也必有实数解,而在[2,4]上恒有f (x )>0,所以f (x )在[2,4]内没有实数解.12.A 点拨:由f [f (x )]+1=0可得f [f (x )]=-1,又由f (-2)=12f ⎛⎫⎪⎝⎭=-1可得f (x )=-2或f (x )=12.若f (x )=-2,则x =-3或14x =;若f (x )=12,则12x =-或x =.综上可得y =f [f (x )]+1有4个零点.13.[-1,0) 点拨:(方法1)函数|1|12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-的图像可以看作1|1|12,1,112,12x x x x y x ---⎧≤⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭>⎪ ⎪⎝⎭⎩的图像向上或向下平移|m |个单位长度得到的.若函数|1|12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-存在零点,则m 的取值范围是[-1,0).(方法2)若函数|1|12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-存在零点,则方程|1|102x m -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即|1|12x m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭有实数解.∵|1-x |≥0,∴|1|1012x -⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭,∴-1≤m <0.14.解:令f (x )=ln x +x -3, f (2)=ln 2-1=2lne<0,f (3)=ln 3>0,因为区间数都可以作为方程ln x+x-3=0的近似解,如2.2.15.证明:考察函数f(x)=231xxx--+,即f(x)=3311xx-++,易知函数f(x)在[0,1]上是增函数.∵f(0)=30-21=-1<0,f(1)=121530112--=>+,即f(0)·f(1)<0,∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点,即方程231xxx-=+在(0,1)内必有一个实数解.。

数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案

数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案

10---11-2 数学物理方程与特殊函数(A 卷)参考答案一.填空题1,自由项,齐次方程,非齐次方程,初值条件,(第三类)边界条件,初边值(混合)问题; 2,函数()t z y x u u ,,,= 1),具有二阶连续偏导函数;2),满足方程; 3,()xt t x w =,;4,)cos(t x π-;5,[]1,1-,t x t ≤≤-;6,4122≤+<y x ;122<+y x ; 7,()x x 35213-;()32331481-x dxd ;无界的; 8,⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二.解:相应方程的特征方程为:0)(2)(322=-+dt dxdt dx ,即:31=dt dx ,1-=dtdx。

由此得积分曲线:13C t x =-,2C t x =+。

作特征变换:t x -=3ξ,t x +=η,则:ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ,ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3;22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u , 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ,222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。

代入原方程,整理得:02=∂∂∂ηξu,则通解为:()()ηξ21f f u +=,其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。

因此原方程通解为: ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。

由初值条件有: ()()22133x x f x f =+,()()0321='+'-x f x f 。

由微分方程有:()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=,()44121C x x f +=,()44322C x x f -=。

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第3章行波法与积分变换法
2u u(t02,
t)
a
2
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0, u(l , t )
0,
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h x, c
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0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
0 X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
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l
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x
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l
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na t) sin
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n
l
x
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u u(t02,
t)
a
2 2u , x 2
0, u(l , t )
0,
u(x,0) 0,
t
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na n
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t Dn sin
l
t) sin l
x
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t
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n
n
l
n
2 n
n
l
2
, n
1,2,3,
Xn
Bn
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l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
0 X B0
n
n
l
2
, n
1,2,3,
n
X n Bn cos l x
T a2T 0
0
T0 0 T0 B0t A0 A0
u0 X 0T0 B0 A0 C0
0
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C ea2nFra bibliotek l22
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1
1
2
0
1
1
2
2 0 0
(0)() ()() 0 (0) ( ) 0
0, 0 (0) () 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
0 , a
a
0
d pU (x, p)1 1
dx
p
数学物理方程与特殊函数
2u
xy
1,
u(0, y) y 1,
第3章行波法与积分变换法
x 0, y 0
y0
u(x,0) 1,
x0
u
y
f
(x)
x
u xy f1(x) f2 ( y)
u(0, y) f1(0) f2( y) y 1
u(x,0) f1(x) f2 (0) 1
1
G()
t
0
(t
) sin d
1
F() sin t
1
2
G()
t (t )dcos 1 F () sin t
0
1
2
G() (t )cos
|t0
t 0
cos
d
1
F () sin t
1
2
G()
t
1
sin
t
1
F
() sin
t
t G() 1 F () sin t 1 1 G() sin t
1 F()sin t 1 arctan(x t) arctan(x t)
2
1 G() sin t 1 G() ejt e-jt 1 arctanx t arctanx t
2
2
2j
4j
1 1 G()sin t j 1
2
4j
x
arctan
t
arctan
t
d
arctan
x dx
x arctan
n
u
un
n1
n1
En
sin
n
n
u(a, )
f
( )
n 1
En
sin
n
n
a
f ( )sin n d
En 0
an /
sin2 n d
0
f ( ) sin n d
0
an /
2
u 2
n1
0
f
(
)
sin
n
d
a
n
/
sin
n
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
p2
其中
x G(), 1 F()
(1 x2 )2
1 x2
U (,
p)
G()
p2
F
()
p2 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
U (,
p)
G()
p2 p2
F () 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
U (,t) 1 G()t F () sin t 1 G() t sin t 1 F () (t) sin t
X X 0 T a2T 0
X X 0 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
X X 0 0 x l
C e
a
2
n2 l2
2
t
n
n1
cos n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0
u C0
n1
a2n2
Cne l2
2
t
cos
n l
x
0 xl
u ( x,0)
x
C0
Cn
n1
cos n
f2 ( y) y 1 f1(0)
f1(x) 1 f2 (0)
u xy 1 f2 (0) y 1 f1(0) xy y 2 f2 (0) f1(0)
u(0,0) 2 f2(0) f1(0) 1
u xy y 1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例7 解定解问题
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l,弦的初始位移如图所示,初速度为 零,又没有外力作用,求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
u(x,t) X (x)T (t)
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0
T a2T 0
na sin
l
n
l
x
0
Dn 0
n
u(x,0) Cn sin
n1
l
x
Cn
2 l
l
n
u( x,0) sin
0
l
xdx
2hl 2 2c(l c)n2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2第6题:解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为
u(x,0) x, u(0,t) 0, u(l,t) 0
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
2
n
0 a 0
0
n
,
a
2n
n
n
n
n
n
Bn s
2
in
, n 1,2,3,
n
n
2
0
n Cn Dn Cn
un
nn
Bn
sin
n
n
Cn
En
sin
n
2 0
X 2 X 0 X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
n n / l, n 1,2,3, n n2 n / l2
X n (x)
Bn
sin
n
l
x
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第3章行波法与积分变换法
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