数理方程与特殊函数部分课后习题
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
特殊函数概论习题解答
m) + 1)
z 2
v −µ +m
Jµ+m
(
z)
此式的一个重要特例是
∑ J v − n
(z)
=
Γ(v
n
+ 1) Cnk
k =0
( −1)k Γ(v +1−
k )
z 2
−k
Jv+k
(z)
∑ 29.证明：J µ
(az ) Jv
(bz )
∫ = −zµ+1Zv '( z ) + µ zµ Zv ( z ) − µ 2 zµ−1Zv ( z ) dz
∫ =
z
Z µ +1 v +1
(
z
)
−
vz
µ
Zv
(
z
)
+
+µ
z
µ
Zv
(
z
)
−
µ
2
zµ−1Zv ( z ) dz
移项即得预证等式
∫ ( ) 16.证明：
k2
− l2
z
−
µ
2
− z
v2
Jµ+m
(
z)
z k
∑ ∑ 证：由级数定义式
Jv
(
z)
=
∞ n=0
( −1)n n!Γ(n + v
+
1)
z 2
2n+v
及
z 2
v
= Γ(v + 1) ∞ 2
k=0 k !
Jµ+k (z)
z k
∑ ∑ 知：
Jv
数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总
1.证明二维laplace 方程 在极坐标下 证：2.长为l 的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ）， 杆的初始温度分布为x (l-x ) / 2 ，试写出相应的定解问题。
解：对于杆上的一个微元d x ，流入的热量为：温度变化所需的热量为：两式相等：定解问题为：02222=∂∂+∂∂y u x u 22,arctan y x x y+==ρθθρθρρθθρθθsin ,cos 221cos ,sin /1122222=∂∂=⋅+=∂∂=∂∂-=-⋅+=∂∂y x y x x y x y x y x 2222222222222sin cos cos 2sin sin ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u u u y u x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2222222222222sin sin sin 2sin cos ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u u u x u ρρθρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u u y u x u 11222222222ρθθθρθθρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y u y u y u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=θρρρρρu u ρθθθρsin cos ∂∂-∂∂=u u 02222=∂∂+∂∂y ux u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂θρρρρρu u3.设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
解如果琴弦像上图的方法来放置，是不是边界条件将不再是齐次的。
4.解下列问题解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=∂∂=∂∂><<∂∂=∂∂lxxxutxt luxtut lxxuatu),()0,(,0),(,0),0(,,222ϕ)()(),(tTxXtxu=XTaXT''='2XXTaT''='22=+'=+''TaTXXλλ⎩⎨⎧='='<<=+'')(,0)0(lXXlxXXλ)()(),()()0(),0(='=∂∂='=∂∂tTlXxt lutTXxtu)(,0)0(='='lXX,3,2,1,22=⎪⎭⎫⎝⎛==nlnnnπβλsin)(=-='lBlXββ)0(=='βAXxlnBXnnπcos=lnnπβ=xBxAXββcossin+=2=+''XXβ2>=βλBX=BAxX+==''X=λ==BAll eBeAlXββββ--=')()0(=-='ββBAXxx BeAeXββ-+=2=-''XXβ2<-=βλ2=+'TaTλ=λ0='T00T A=>λ02222=+'nnTlnaTπtlnanneAT2222π-=nnnTXu=xlneC tlnanππcos2222-=CAB==∑∑∞=-∞=+==1cos2222ntlnannnxlneCCuuππTXu=xlneBA tlnannππcos2222-=001()d2l lC x xlϕ==⎰022()cos d2(1)1()lnnnC x x xl llnπϕπ=⎡⎤=--⎣⎦⎰xx=)(ϕ5.达朗贝尔公式推导 解：做如下代换得：所以 因为所以所以 又因为 因为 所以所以得：即因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂x x t x u x x u t x x u a t u ),()0,(),()0,(0,,22222ψϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=t a x 121⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂=t a x 121)()(21at x f at x f u -++=ηηη∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x ξξξ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x a t 2ηξ-=2ηξ+=x at x -=ηat x +=ξ)()(21ηξf f u +=)(ξξf u =∂∂02=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ηξηξu u t a x ∂∂⋅-∂∂=∂∂1ηt a x ∂∂⋅+∂∂=∂∂1ξ011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂u t a x t a x 0122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂u t a x 0122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂u t a x 0122222=∂∂⋅-∂∂t u a x u )()()()0,(21x x f x f x u ϕ=+=)()()()0,(21x x f a x f a t x u ψ='-'=∂∂C a x f x f x +=-⎰021d )(1)()(ξξψ2d )(21)(21)(01C a x x f x ++=⎰ξξψϕ2d )(21)(21)(02Ca x x f x --=⎰ξξψϕ2d )(21)(212d )(21)(2100C a at x C a at x u at x at x ---++++=⎰⎰-+ξξψϕξξψϕ[]11()()()d 22x atx at u x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰6.解定解问题解：令所以因为 所以得7.P81T1求方程0,1,22>>=∂∂∂y x y x yx u满足边界条件y y u x x u cos ),1(,)0,(2==的解解：用积分法求解：对y 进行积分)(2122x g y x x u ==∂∂，再对x 积分)()(612123y f x f y x u ++=利用边界条件得 ，再用一次边界条件用积分变换法求解：对y 取拉普拉斯变换利用边界条件 得22d 2d d 3d y x y x --x y +=η2=∂∂∂ηξu )()3()0,(21x f x f x x u +-==)()3(0)0,(21x f x f y x u '+-'==∂∂Cx f x f =+--)()3(3121Cx x f 4343)3(1-=-C x x f 4341)(21-=C x x f 4343)(2+=()2222343)(4343341y x C y x C y x u +=+++--=(d 3d )(d d )0y x y x =-+=)()3(21x y f x y f ++-=x y 3-=ξ)()(21ηξf f u +=y y f f y y u x f x f x u cos )()1(61),1(,)0()()0,(212221=++=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂∂+∂∂x y x u x x u x y y u y x u x u ,0)0,(,)0,(,0,032222228.推导空间格林公式由高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ++=∂∂+∂∂+∂∂dS x n R y n Q x n P dV z R y Q x P )],cos(),cos(),cos([)(推导 证：设函数u(x,y,z)和υ(x,y,z)在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数。
数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1 向量函数1.证明本节命题3、命题5 中未加证明的结论略2.求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3.证明证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange 中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0 阶Taylor 公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5.证明具有固定方向的充要条件是证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是为常向量，于是，，即具有固定方向证毕因为，故，从而6.证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此充分性：设，即，其中，如果，根据第5 题的结论知， 具有固定方向， 则某个数量函数， 为单位常向量，任取一个与 垂直的单位常向量 ，于是作以 为法向量过原点的平面 ，则 平行于 。
如果 ，则 与 不共线， 又由 可知， ， ，和 共面，于是 ，，那么 ，这说明 与共线，从而，根据第 5 题的结论知， 具有固定方向，则 可表 示为，其中 为某个数量函数， 为单位常向量，作以为法向 量，过原点的平面 ，则 平行于 §2 曲线的概念1. 求圆柱螺线 在点 的切线与法平面的方程。
解： ，点 对应于参数 ，于是当 时， ，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线 在点 处的切线和法平面的方程。
解： ，当 时， ， ， 于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线 的切线和 轴成固定角 证：可表示为 ，其中 为其中 ， 为数量函数， 令 证毕令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线从起计算的弧长解：5.求抛物线对应于的一段的弧长解：6. 求星形线，的全弧长。
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
sin sin
n1 (L)2 (na)2
L
L
原定解问题解为：
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
16
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
2 l
l 0
l2
32 2a2
sin
n
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l2
32 2a2
,
n
4
Dn
2
n a
l 0
sin
4
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l
4
a
,
n
4
27
所以，定解问题的解为：
V
(
x,
t
)
l2 32 2a
2
cos
4 l
a
t
l 4
a
sin
4 l
a
t
sin
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园 域上的周期性条件);
(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。
22
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表 达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标， 柱面坐标和球坐标表示定解问题；
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
必修一函数与方程习题答案
必修一函数与方程习题答案函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是数学中的基础概念，也是解决实际问题的重要工具。
在学习过程中，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些必修一函数与方程习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。
2. 已知函数g(x) = x^2 + 2x，求g(-3)的值。
解：将x = -3代入函数g(x)中，得到g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3。
3. 已知函数h(x) = 3x - 1，求解方程h(x) = 8的解。
解：将h(x) = 8转化为3x - 1 = 8，解得x = 3。
4. 解方程2x + 5 = 3x - 1。
解：将方程化简为2x - 3x = -1 - 5，得到-x = -6，解得x = 6。
5. 解方程3(x - 2) = 2x + 1。
解：将方程化简为3x - 6 = 2x + 1，再将2x移到一边，得到3x - 2x = 1 + 6，解得x = 7。
6. 解方程2(3x - 4) - 5(x + 1) = 3(2x - 1)。
解：将方程化简为6x - 8 - 5x - 5 = 6x - 3，将6x移到一边，得到6x - 6x = 8 + 5 - 3，解得x = 10。
通过以上几道习题的解答，我们可以看出，函数与方程的解题过程主要是根据已知条件进行计算和化简，最终求出未知数的值。
在解方程时，我们需要注意将方程化简为一元一次方程，然后通过移项和合并同类项等步骤得出最终的解。
除了以上习题的答案，还有一些其他类型的函数与方程的习题，如二次函数、指数函数、对数函数等。
这些习题需要我们掌握相应的函数性质和解题方法，才能够正确地求解。
总之，函数与方程是数学中的重要内容，它们在数学的学习和实际问题的解决中起着重要的作用。
(整理)数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1向量函数1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2 .求证常向量的微商等于零向量。
证：设31,回为常向量，因为r(t4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0it —AtAt —At所以E33 .证明⑹ p 2(t)则此向量在该区间上是常向量 证：设［=«r)=)⑴ 返 ［回 回1为定义在区间口上的向量函数，因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅］,EH3和EH3在区间 口上可导。
所 以，।° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理，有证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,x(t) - X(t o ) 4- %)y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力式 t) = z(M)+ /(%)《一其中 51,囹，因介于口与口之间。
从而* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明=『口 +年一%)上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式，其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。
如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)曰!,则在区间口上处处有适三从而F = (，©) y'(%) ，(1)] = o]于是E3。
证毕5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1证：必要性：设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数，目为单位常向量，于是f"=。
⑴P 住"X" Q] 充分性：如果区三可，可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数，回为单位向量，因为F=p 岸前⑴+。
("'⑴]于是r x ? = O-*p(t)2(t) x [p'(t)?(t) + p(t)e (t) - O^*p 2(f)[e(t) x e (t) - 0 因为回，故国亘1,从而F⑷x.(t)=。
高一数学上册第三章函数的应用之函数与方程知识点及练习题(含答案)
3.1函数与方程1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：⑴方程0322=--x x 与函数322--=x x y⑵方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y⑶方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y推广到一般的一元二次方程02=++c bx ax 和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，使用判别式来把两者的关系联系起。
一、函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
⑴函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
⑵函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
⑶二次函数的零点： )0(2≠++=a c bx ax y ．① △＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点。
② △＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。
③ △＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
1. 探索函数零点存在性定理⑴零点存在性的探索观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：在区间]1,2[-上有___1个___零点；=-)2(f __5_____，=)1(f ___-4__,)2(-f ·)1(f __＜___0（＜或＞）。
华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案
29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。
数学人教B版必修1课后训练：2-4 函数与方程 含解析 精
课后训练基础巩固1．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A ．{－2,6}B ．(－2,6)C ．[－2,6]D ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε的说法正确的是( )A ．ε越大，零点的精确度越高B ．ε越大，零点的精确度越低C ．重复计算次数就是εD ．重复计算次数与ε无关3．函数f (x )＝x 3＋3x －1在以下哪个区间内一定有零点( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )＜0时，－7＜x ＜－1，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．下图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1]6．用二分法求方程f (x )＝0在区间[1,2]内的唯一实数解x 0时，经计算得(1f ，f (2)＝－2，3=62f ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是( ) A ．x 0∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．03=2xC ．x 0∈3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．x 0∈31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦或x 0∈3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为__________．9．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．能力提升10．二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1＜m ＜0，那么p ，q 满足的条件为( )A ．p ＞0且q ＜0B ．p ＞0且q ＞0C ．p ＜0且q ＞0D ．p ＜0且q ＜011．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的A．[－1,0] B．[0,1]C．[1,2] D．[2,3]12．若一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则a的取值范围是__________．13．设函数[)221,0,,()=4,(,0),x xf xx x⎧-∈+∞⎨-∈-∞⎩又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．14．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．15．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？参考答案1．D点拨：因为二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，所以Δ＝m2－4(m ＋3)＞0，解得m＜－2或m＞6.2．B点拨：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．3．B点拨：∵f(－1)×f(0)＝－5×(－1)＝5＞0；f(0)×f(1)＝－1×3＝－3＜0；f(1)×f(2)＝3×13＝39＞0；f(2)×f(3)＝13×35＝455＞0.∴f(x)在(0,1)内一定有零点．4．C点拨：由题意可知，－1和－7分别是函数f(x)＝mx2＋8mx＋21的两个零点，因此由根与系数的关系有21m＝(－1)×(－7)＝7，解得m＝3.5．B点拨：由不变号零点的特征易判断该零点在区间[1.9，2.3]内．6．C点拨：∵3=6>02f⎛⎫⎪⎝⎭，f(2)＝－2＜0，又方程f(x)＝0在区间[1,2]内有唯一实数解x0，∴x0∈3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.7．7 2-点拨：由题意x＝2为方程x2＋ax＋3＝0的根，即4＋2a＋3＝0，解得7 =2 a-.8．1.4点拨：由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间[1.406 5,1.438]上，由精确度可知近似解为1.4.9．解：∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)．10．D点拨：由题意知，方程x2＋px＋q＝0的两根为m和1，且－1＜m＜0.由根与系数的关系，得=10,=0,p mq m-+>⎧⎨<⎩即0,0.pq<⎧⎨<⎩11．C点拨：由列表可知f(1)＝g(1)－1－3＝2.72－4＝－1.28，f(2)＝g(2)－2－3＝7.39－5＝2.39，∴f(1)f(2)＜0.∴f(x)的一个零点所在的区间为[1,2]．12．(－∞，0)点拨：由题意知，两根之积x1·x2＝1<0a，∴a＜0.13．1，点拨：当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0，得x＝1；当x＜0时，g(x)＝x2－4－1＝x2－5，令g(x)＝0，得=x正值舍去)，则=x∴g(x)的零点为1和14．证明：设f(x)＝5x－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.由于f(－1)·f(0)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝－15＜0，且f(x)＝5x2－7x－1在R上是连续的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．15．解：可以利用二分法的原理进行查找．如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一二根电线杆附近．。
高考数学总复习 29函数与方程课后作业 北师大版
一、选择题1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( )A．a<－1 B．a>1C．－1<a<1 D．0≤a<1[答案] B[解析] f(x)＝2ax2－x－1∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a－2∴由f(1)>0得a>1.故选B.2．(2012·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(2,4)[答案] B[解析] ∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．3．关于方程3x＋x2＋2x－1＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两不相等的负实根B．方程有两个不相等的正实根C．方程有一正实根，一零根D．方程有一负实根，一零根[答案] D[解析] 令f1(x)＝3xf2(x)＝－x2－2x＋1＝2－(x＋1)2则方程的根即为两函数图像交点横坐标由图像知方程有一负根，一零根．4．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x)的零点，且m<n，则实数a，b，m，n的大小关系是( )A ．m <a <b <nB ．a <m <n <bC ．a <m <b <nD ．m <a <n <b[答案] A[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如下图，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，结合图形知，选A.5．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)[答案] A[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f (x )是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．6．(2011·新课标文，10)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)[答案] C[解析] 本题考查了函数零点的判断．y ＝f (x )在(a ，b )上单调且有零点时有f (a )f (b )<0.依次验证选项．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1e 4－4<0，f (0)＝－2<0，A 错，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，B 错．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，选C.二、填空题7．已知方程f (x )＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________．[答案] 4[解析] 每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的12，设n次后达到精确度，则只需12n<0.1，即n≥4.8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．[答案]⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－32<x<1[解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a，－2·3＝b，解得a＝－1，b＝－6，故f(x)＝x2－x－6.所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0，解得－32<x<1.三、解答题9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m的取值范围．[解析] 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)≤0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－32.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00≤－m－12≤2f2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m－12－4≥0－3≤m≤14＋m－1×2＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m≥3或m≤－1－3≤m≤1m≥－32，∴－32≤m≤－1，由①②可知m≤－1.一、选择题1．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4][答案] A[解析] 本题判断f (x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如上图：显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A.2．(2012·山东济南)若方程x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x13的解为x 0，则x 0属于以下区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2) [答案] B[解析] 构造函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x13，易知该函数是R 上的减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 －⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0. ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.二、填空题3．(2011·辽宁文，16)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，2ln2－2][解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力． 函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，即方程 也就是a ＝－e x ＋2x 有解 令g (x )＝－e x ＋2xg (x )的值域就是a 的取值范围∵g ′(x )＝－e x＋2＝0的根为x ＝ln2且当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数 当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数 ∴g (x )max ＝g (ln2)＝2ln2－2 ∴a 的取值范围是(－∞，2ln2－2]．4．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上无实根，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －15(x 3－3x ＋4)的单调递减区间是________．[答案] (－∞，－1)，(1，＋∞)[解析] f (x )在[－1,1]上的图像是线段，若方程f (x )＝0在[－1,1]上无实根， 则f (－1)f (1)>0，即(－5a ＋1)(a ＋1)>0， 解得－1<a <15，∴a －15<0.由g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －15(3x 2－3)<0，即3x 2－3>0得x <－1或x >1. 三、解答题5．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝x 2－x －3，因为x 0为不动点， 因此有f (x 0)＝x 20－x 0－3＝x 0，所以x 0＝－1或x 0＝3. 所以3和－1为f (x )的不动点． (2)因为f (x )恒有两个不动点，f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)＝x ， ax 2＋bx ＋(b －1)＝0，由题设知b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0.所以0<a<1.6．(2012·广州模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．[解析] ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，f(x)有两个零点或无零点不合题意．∴这种情况不可能．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.7．(文)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．[解析] ∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65，令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－1 5 .综上所述，a<－15或a>1.(理)定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5个不同的实数解．(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；(2)求实数a的取值范围．[解析] (1)设x<0，则－x>0，∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．(2)∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝0的根关于x＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x轴恰有两个不同的交点．下面就x>0时的情况讨论．∵f′(x)＝1x－a，∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝ln x－ax在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．a>0时，令f′(x)＝0，x＝1 a .当0<x<1a时，f′(x)>0，f(x)递增，当x>1a时，f′(x)<0，f(x)递减，∴f(x)在x＝1a处取得极大值－ln a－1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．∴只要：－ln a－1>0，即ln a<－1，得：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .。
北师大版高中数学必修一学函数与方程课后训练
2013-2014学年高中数学 4.1函数与方程课后训练 北师大版必修1 "基础巩固．函数f (x )的图像与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数解的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．函数y ＝x 的零点是( )．A ．0B ．(0,0)C ．(1,0)D ．1 3．函数f (x )＝2ln x x-的零点一定位于区间( )． A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3) 4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )．5．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( )． A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －66．已知函数y ＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的范围是( )． A ．(－3，－2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(0,1)7．若方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m )＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )． A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] 8．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )．A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)9．定义在R 上的函数f (x )的图像是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0，当02a b f +⎛⎫=⎪⎝⎭时，则函数f (x )的零点是( )．A ．(a ，b )外的点B ．2a b x +⎛⎫=⎪⎝⎭C ．区间,2a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭或,2a b b +⎛⎫⎪⎝⎭内的任意一个实数 D ．a 或b10．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1,2)内近似解的过程中，计算得到f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间( )．A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定11．方程(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＋x ＝0的一个实数解所在的大致区间不可能．．．是( )． A ．[－3，－2] B ．[－2，－1] C ．[0,2] D ．[2,4] 能力提升12．已知函数f (x )＝21,0,log ,0,x x x x +≤⎧⎨>⎩则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．113．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭存在零点，则m 的取值范围是________． 14．求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解．(精确到0.1) 15．求证：方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数解．参考答案1．D 点拨：因为函数f (x )的图像与x 轴有3个交点，所以函数f (x )有3个零点，即方程f (x )＝0有3个实数解．2．A 点拨：函数y ＝x 的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A.3．C 点拨：∵112ln1e e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝－1－2e ＜0， f (1)＝ln 1－21＝－2＜0， f (2)＝ln 2－22＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝2ln e ＜0，f (e)＝2lne e -＝21e-＞0，∴函数f (x )＝2ln x x-的零点一定位于区间(2，e)内．4．C 点拨：在选项A ，B ，D 中，找不到闭区间[a ，b ]，使得函数在区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，故选C.5．D 点拨：对于A ，f (1)＝4，f (2)＝9，f (1)·f (2)＞0，无法判断f (x )在[1,2]上是否有零点；对于B ，f (1)＝－9，f (2)＝－7，f (1)·f (2)＞0，同选项A 一样，无法判断；对于C ，f (1)＝3，f (2)＝ln 2，f (1)·f (2)＞0，同选项A ，B 一样，无法判断；对于D ，f (1)＝e －3，f (2)＝e 2，f (1)·f (2)＜0，所以f (x )在[1,2]上有零点．6．B 点拨：Δ＝(1－k )2－4×(－k )＝(1＋k )2.当Δ＝0时，k ＝－1，二次函数y ＝x 2＋2x ＋1在区间(2,3)内无零点； 当Δ＞0时，若函数y ＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则f (2)·f (3)＜0，即(6－3k )·(12－4k )＜0，所以(k －2)·(k －3)＜0，解得2＜k ＜3，因此，实数k 的取值范围是(2,3)．7．A 点拨：考察函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．由图可知，222,2(2)50,(2)4(5)0,m f m m m -⎧->⎪⎪=+>⎨⎪---≥⎪⎩即2,5,44,m m m m <-⎧⎪>-⎨⎪≥≤-⎩或 ∴－5＜m ≤－4.故选A.8．C 点拨：考察函数f (x )＝log 3x ＋x －3，其图像是连续曲线，且f (2)＝log 32＋2－3＝32log 3＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，所以，方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)． 9．B10．B 点拨：∵f (1.25)＜0，f (1.5)＞0， ∴方程的根落在(1.25,1.5)内．11．D 点拨：设f (x )＝(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＋x ，则其图像是连续曲线，又知f (－3)＝－3＜0，f (－2)＝2＞0，所以f (x )在[－3，－2]内有零点，即原方程在[－3，－2]内有实数解．同理原方程在[－2，－1]，[0,2]内也必有实数解，而在[2,4]上恒有f (x )＞0，所以f (x )在[2,4]内没有实数解．12．A 点拨：由f [f (x )]＋1＝0可得f [f (x )]＝－1，又由f (－2)＝12f ⎛⎫⎪⎝⎭＝－1可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或14x =；若f (x )＝12，则12x =-或x =.综上可得y ＝f [f (x )]＋1有4个零点．13．[－1,0) 点拨：(方法1)函数|1|12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭－的图像可以看作1|1|12,1,112,12x x x x y x ---⎧≤⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭>⎪ ⎪⎝⎭⎩的图像向上或向下平移|m |个单位长度得到的．若函数|1|12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭－存在零点，则m 的取值范围是[－1,0)．(方法2)若函数|1|12x y m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭－存在零点，则方程|1|102x m -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即|1|12x m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭有实数解．∵|1－x |≥0，∴|1|1012x -⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，∴－1≤m ＜0.14．解：令f (x )＝ln x ＋x －3， f (2)＝ln 2－1＝2lne＜0，f (3)＝ln 3＞0，因为区间数都可以作为方程ln x＋x－3＝0的近似解，如2.2.15．证明：考察函数f(x)＝231xxx--+，即f(x)＝3311xx-++，易知函数f(x)在[0,1]上是增函数．∵f(0)＝30－21＝－1＜0，f(1)＝121530112--=>+，即f(0)·f(1)＜0，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，即方程231xxx-=+在(0,1)内必有一个实数解．。
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
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第3章行波法与积分变换法
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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
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0, 0 (0) () 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
0 , a
a
0
d pU (x, p)1 1
dx
p
数学物理方程与特殊函数
2u
xy
1,
u(0, y) y 1,
第3章行波法与积分变换法
x 0, y 0
y0
u(x,0) 1,
x0
u
y
f
(x)
x
u xy f1(x) f2 ( y)
u(0, y) f1(0) f2( y) y 1
u(x,0) f1(x) f2 (0) 1
1
G()
t
0
(t
) sin d
1
F() sin t
1
2
G()
t (t )dcos 1 F () sin t
0
1
2
G() (t )cos
|t0
t 0
cos
d
1
F () sin t
1
2
G()
t
1
sin
t
1
F
() sin
t
t G() 1 F () sin t 1 1 G() sin t
1 F()sin t 1 arctan(x t) arctan(x t)
2
1 G() sin t 1 G() ejt e-jt 1 arctanx t arctanx t
2
2
2j
4j
1 1 G()sin t j 1
2
4j
x
arctan
t
arctan
t
d
arctan
x dx
x arctan
n
u
un
n1
n1
En
sin
n
n
u(a, )
f
( )
n 1
En
sin
n
n
a
f ( )sin n d
En 0
an /
sin2 n d
0
f ( ) sin n d
0
an /
2
u 2
n1
0
f
(
)
sin
n
d
a
n
/
sin
n
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
p2
其中
x G(), 1 F()
(1 x2 )2
1 x2
U (,
p)
G()
p2
F
()
p2 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
U (,
p)
G()
p2 p2
F () 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
U (,t) 1 G()t F () sin t 1 G() t sin t 1 F () (t) sin t
X X 0 T a2T 0
X X 0 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
X X 0 0 x l
C e
a
2
n2 l2
2
t
n
n1
cos n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0
u C0
n1
a2n2
Cne l2
2
t
cos
n l
x
0 xl
u ( x,0)
x
C0
Cn
n1
cos n
f2 ( y) y 1 f1(0)
f1(x) 1 f2 (0)
u xy 1 f2 (0) y 1 f1(0) xy y 2 f2 (0) f1(0)
u(0,0) 2 f2(0) f1(0) 1
u xy y 1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例7 解定解问题
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
u(x,t) X (x)T (t)
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0
T a2T 0
na sin
l
n
l
x
0
Dn 0
n
u(x,0) Cn sin
n1
l
x
Cn
2 l
l
n
u( x,0) sin
0
l
xdx
2hl 2 2c(l c)n2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为
u(x,0) x, u(0,t) 0, u(l,t) 0
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
2
n
0 a 0
0
n
,
a
2n
n
n
n
n
n
Bn s
2
in
, n 1,2,3,
n
n
2
0
n Cn Dn Cn
un
nn
Bn
sin
n
n
Cn
En
sin
n
2 0
X 2 X 0 X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
n n / l, n 1,2,3, n n2 n / l2
X n (x)
Bn
sin
n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法