山西省大同市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

山西省大同市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得y 关
于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆy
x a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）
A ．
2
5
B ．
35
C ．
34
D ．
12
【答案】A 【解析】
分析：求出样本点的中心，求出$a
的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（6283，），（，），共2个，求出概率即可． 详解：8 3.4x y ==Q ，，
故3.40.658ˆa
=⨯+，解得：ˆ 1.8a =-， 则
^
y 0.65x 1.8
=-
故5个点中落在回归直线下方的有6283，），（，），共2个， 故所求概率是2
5
p =， 故选A ．
点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．
2．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n （n *∈N ）个整点，则称函数f(x)为n 阶整点函数．有下列函数:
①1()(x 0)f x x x
=+
> ②3()g x x = ③ 1
()()3x h x = ④()ln x x φ=
其中是一阶整点的是（ ） A ．①②③④ B ．①③④
C ．④
D ．①④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可． 【详解】
对于函数()1
(0)f x x x x
=+
>，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数； 对于函数()3
g x x =，当x∈Z 时，一定有g （x ）=x 3∈Z，即函数g （x ）=x 3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数()13x
h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，当x=0，-1，-2，时，h （x ）都是整数，故函数h （x ）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数()ln x x φ=，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”． 3．
展开式中
的系数是（ ）
A ．7
B ．
C ．21
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用二项展开式的通项公式，求出对应的值，再代入通项求系数.
【详解】
，
当时，即时，，
的系数是.
【点睛】
二项展开式中项的系数与二项式系数要注意区别.
4．若直线l ：12x t y at =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)经过坐标原点，则直线l 的斜率是
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】 【分析】
先由参数方程消去参数，再由直线过原点，即可得出结果. 【详解】
直线方程消去参数t ,得：2y ax a =+－，经过原点00（，）
， 代入直线方程，解得：2a ＝，所以，直线方程为：2y x =，斜率为2. 故选D 【点睛】
本题主要考查直线的参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可，属于基础题型.
5．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x ',22(2)()x f x f x e
--=(e 为自然对数的底数),且当1x ≠时, [](1)()()0x f x f x -'->,则 ( )
A ．f(1)<f(0)
B ．f(2)>ef(0)
C ．f(3)>e 3f(0)
D ．f(4)<e 4f(0)
【答案】C 【解析】 【分析】
构造新函数()()
x
F x f x e -=，求导后结合题意()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦判断其单调性，然后比较大小
【详解】
令()()
x
F x f x e -=，()()()''x
F x e
f x f x -⎡⎤∴=-⎣⎦
()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦Q ，
1x ∴<时，10x -<，则()()'?0f x f x -< ()'0F x ∴<，()F x 在()1，-∞上单调递减 ()()()210F F F ∴->->
即()()()2
210f e f e f ->->
()()222x f x f x e --=Q ，
()()642f f e ∴=-，()()431f f e =- ()()440f f e ∴>，()()330f f e >，
故选C 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断
其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度
6．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48
C ．0.4
D ．0.32
【答案】B 【解析】 【分析】
事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】
设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为
()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .
【点睛】
本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.
7．已知函数()3,0
{1,0
2x
kx x f x x +≥=⎛⎫< ⎪⎝⎭
，若方程()()20f
f x -=恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是
（ ） A ．[)0,+∞ B ．[]1,3
C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦
D ．11,3⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】
当0k ≥时，画出函数图像如下图所示，由图可知，()()()2,1f
f x f x ==-无解，不符合题意，故排除
A,B 两个选项.
当1k =-时，画图函数图像如下图所示，由图可知()()2f
f x =，()1f x =-或()1f x =，解得
4,2x x ==不符合题意，故排除D 选项，选C .
点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当0x <时，图像是确定的，当0x ≥时，图像是含有参数k 的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕()()2f f x =的解的个数来进行.
8．己知复数z 满足(12)5i z -=，则z = A ．12i + B 5C ．5
D ．25
【答案】B 【解析】 【分析】
先计算复数z 再计算z . 【详解】
5
(12)51212i z z i i
-=⇒=
=+-
z ==
故答案选B 【点睛】
本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.
9．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生概率的取值范围是（ ） A ．[0.4,1) B ．(0,0.6]
C ．()0,0.4
D ．()0.4,1
【答案】D 【解析】 【分析】
设事件A 发生一次的概率为p ，根据二项分布求出随机事件A 恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立p 的不等式关系，求解即可. 【详解】
设事件A 发生一次的概率为p ，则事件A 的概率可以构成二项分布，
根据独立重复试验的概率公式可得241322
4(1)(1)C p p C p p -<-，
所以2
2(1)05p p p ⎛⎫
--
> ⎪⎝⎭
. 又01p <<，故0.41p <<. 故选:D. 【点睛】
本题考查独立重复试验、二项分布概率问题，属于基础题.
10．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程ˆ2y
x a =-+，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ） A ．68 B ．67
C ．65
D ．64
【答案】A 【解析】 【分析】
根据回归直线方程过样本中心点()
,x y ，计算出,x y 并代入回归直线方程，求得a 的值，然后将4x =-代入回归直线方程，求得预测的用电量度数. 【详解】 解：()
1813101104
x +++-=
=，24343864
404
y +++=
=，
2402060a y x =+=+=，
线性回归方程为：260y x =-+$
， 当4x =-时，86068y =+=$
， 当气温为4C -o 时，用电量度数为68， 故选A ． 【点睛】
本小题主要考查回归直线方程过样本中心点()
,x y ，考查方程的思想，属于基础题. 11．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．98
【答案】A 【解析】
∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12
＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A
12．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12
C ．13
D ．14
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴101109
1021002
S a ⨯=+⨯= ∴11a =
∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数(
)2
()lg 76f x x x =+-的定义域是_____.
【答案】(1,7)- 【解析】 【分析】
对数函数的定义域满足真数要大于零 【详解】
由2760x x +->，解得17x -<<，故定义域为(1,7)-. 【点睛】
本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单 14．在
中，内角
所对的边分别为
，是
的中点，若
且
，则
面积的最大值是___
【答案】
【解析】 【分析】
由题意及正弦定理得到
，于是可得
，
；然后在
和
中分别由
余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等
式得到，于是可得三角形面积的最大值．
【详解】 如图，设
，则
,
在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，
∴．①
由
及正弦定理得
，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，
又，当且仅当
时等号成立， 所以
，故得
．
所以．
即面积的最大值是．
故答案为．
【点睛】
本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
15．已知x y R +∈，，且41x y +=，则
11
x y
+的最小值是______．
【答案】1 【解析】 【分析】
直接将代数式4x+y 与11x y +相乘，利用基本不等式可求出11x y
+的最小值． 【详解】 由基本不等式可得
(
)11114=4559.x y x y x y x y y x ⎛⎫+++=++≥= ⎪⎝⎭
，当且仅当14=61413x y x y x y x y ⎧⎧=⎪⎪⎪⇒⎨⎨
⎪⎪=
+=⎩⎪⎩
，等号成立，因此11x y +的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16．关于x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】
利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围． 【详解】
关于x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为
()-6,6.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17
．已知二项式n
的展开式的第7项为常数项 （1）求n 的值；
（2）求()
1
23
24...2n n
n n n
n C C C --+++-的值 【答案】 (1) 10n =.
【分析】 【详解】
分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为零，即可求出n 的值；（2）结
合（1）()
1
2324...2n n
n n n
n C C C --+++-化为()()()()()12310
10
012310
1010101010222 (21)
121
=
02
2
C C C C C +-+-+-++----=--.
详解：（1）二项式通式
1r
n r
r r n
T C -+⎛= ⎝
()5262n r r r n C x
-=- 因为第7项为常数项， 所以
56
026
n ⨯-=， 解得10n = （2）因为10n =，
所以()
1
22
2
24...2n n n n
n C C C --+++- ()92310101010
1024...2C C C =-+++- ()()()()1
2310
12310
10101010
222 (22)
C C C C -+-+-++-=
-
()()()()1
2
3
10
012310
1010101010222 (21)
2
C C C C C +-+-+-++--=
-
当1x =时，()()()10
1
2
2121010101222C C C -=+-+- ()()3
10
310
1010
2...2C C +-++- 所以原式()10
121
=
02
--=-
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及二项式的应用，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二
项展开式的通项公式1r n r r
r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和
和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18．已知函数f （x ）＝xe x （1）求函数f （x ）的极值．
（2）若f （x ）﹣lnx ﹣mx ≥1恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）极小值1e
-.无极大值；（2）(,1]m ∈-∞
（1）利用导数可得函数()x
f x xe =在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，即可得到函数的极
值；
（2）由题意得ln 1x xe x mx --≥恒成立，即ln 1x
x m e x x ≤-
-恒成立，设()ln 1
x x g x e x x
=--，求得函数()g x 的导数，得到函数()g x 在1
(,1)e
有唯一零点0x ，进而得到函数()g x 最小值，得到m 的取值范围．
【详解】
(1)由题意，函数()e x
f x x =的定义域为(),-∞+∞，则()()e e 1e x x x
f x x x =+=+'
因为()(),1,0x f x '∈-∞-<,()()1,,0x f x ∈-+∞>'
所以，函数()e x
f x x =在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；
函数()f x 在1x =-处取得极小值1
e
-.无极大值
(2)由题意知e ln 1x x x mx --≥恒成立 即ln 1
e x
x m x x
≤-
-（0x >）恒成立 设()g x =ln 1e x x x x --，则22
ln ()x x e x
g x x '+= 设2()ln x
h x x e x =+，易知()h x 在()0,+∞单调递增，
又1
()h e =1
21e e --<0, ()h 1>0,所以()h x 在1⎛⎫
⎪⎝⎭
1，
e 有唯一零点0x ， 即02
00ln x
x e x +=0，且0(0,),()0x x g x ∈<'，()g x 单调递减；
0(+),()0x x g x '∈∞>，，()g x 单调递增，
所以min
0()()g x g x ==0000
ln 1
e x
x x x -
-， 由0200ln x
x e x +=0得00
00
ln =
x x x e x -=0ln 0(ln )x
x e --，即00()(ln )f x f x =- ()001,ln 0,1x x ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭
1，e ，由（1）的单调性知，00ln =x x -，001=e x
x ，
所以min ()g x =0
000
ln 1
e x x x x -
-=1， 即实数m 的取值范围为(,1]m ∈-∞
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
19．完成下列证明：
（Ⅰ）求证：2x y -≥
；
（Ⅱ）若12
m >
，求证：211342412m m m ++≥+-.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）运用分析法，两边平方，化简配方即可得证；（Ⅱ）运用变形和基本不等式，即可得证。

【详解】
（I ）要证：2x y -
只需证：2x y -，
即证：()()2
4285x y x y x -≥-，
即证：222
4161685x xy y xy x --＋
…, 即证：2
2
924160x xy y -＋…，即证：()2
340x y -…，
这显然成立，故2x y -（II ）依题意，2111
424142
m m m m m -＋
＋＝＋＋＋＋ 11112212142m m m m ⎛⎫- ⎪
--⎝⎭＝＋＋ ()111
424422
m m ⋅--＝＋＋ 因为1
2
m ＞，故420m -＞，
故
()1111342442222
m m ⋅--＋＋＝… 当且仅当
()1142442
m m --＝
，即()2
424m -＝， 即1m ＝时等号成立.
本题主要考查不等式的证明的方法——分析法和综合法，意在考查学生运用分析法和使用基本不等式时涉及到的变形能力，化简能力以及推理能力。

20．某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：
（1）设改造前、后手机产量相互独立，记A 表示事件：“改造前手机产量低于5000部，改造后手机产量不低于5000部”，视频率为概率，求事件A 的概率；
（2）填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关： 手机产量5000<部 手机产量5000≥部 改造前 改造后
（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.
参考公式：随机变量2K 的观测值计算公式：2
2
()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
临界值表：
20()P K k ≥
0.100 0.050 0.010 0.001
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.4092（2）有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）52.35（百部） 【解析】 【分析】
（1）计算出事件“改造前手机产量低于5000部”的频率，以及事件“改造后手机产量不低于5000部”
的频率，再利用独立事件的概率公式可计算出事件A 的概率；
（2）补充22⨯列联表，计算2K 的观测值，再根据临界值表找出犯错误的概率，即可对问题下结论； （3）利用频率分布直方图左右两边面积均为0.5计算出中位数的值。

【详解】
（1）记B 表示事件“改造前手机产量低于5000部” ，
C 表示事件“改造后手机产量不低于5000部”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==．
改造前手机产量低于5000部的频率(0.0400.0340.0240.0140.012)50.62++++⨯=， 故()P B 的估计值为0.1．
改造后手机产量不低于5000部的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66+++⨯=， 故()P C 的估计值为0.66， 因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=． （2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：
()2
22006266343815.70510010096104
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关； （3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，
手机产量低于5000部的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<， 手机产量低于5500部的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>， 故改造后手机产量的中位数的估计值为0.50.34
50+52.350.068
-≈（百部）．
【点睛】
本题考查独立事件概率的计算、独立性检验以及频率分布直方图中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平和分析推理能力，属于中等题。

21．已知3sin 25α=
，53,42αππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求cos2α及cos α的值.
【答案】4cos 25α=-
，cos α=.
【解析】 【分析】
计算出2α的取值范围，判断出cos2α的符号，利用同角三角函数的平方关系计算出cos2α的值，然后利用半角公式计算出cos α的值. 【详解】
53
42παπ<<Q ，所以5232παπ<<，cos20α∴<，且4cos 25α==-，
53
42
παπ<<Q ，cos 0α∴<，
由2cos 22cos 1αα=-，得cos α==. 【点睛】
本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，以及利用半角公式求值，在计算时，首先要考查角的象限，确定所求函数值的符号，再利用相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 22．已知函数2()6f x x x =--. （1）求不等式()0f x <的解集；
（2）若对于一切1x >，均有()(3)10f x m x m ≥+--成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）(,0]-∞. 【解析】
分析：（1）直接解一元二次不等式即可；
（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到m 的取值范围.
详解：（1）∵()0f x <，∴260x x --<，∴()()230x x +-<，∴()0f x <的解集为{|23}x x -<<； （2）∵()2
6f x x x =--，
∴当1x >时，()2
6310x x m x m --≥+--恒成立，∴()2
441x x m x -+≥-，
∴对一切1x >均有244
1x x m x -+≤-成立，
又2441122011
x x x x x -+=-+-≥=--，
当且仅当2x =时，等号成立. ∴实数m 的取值范围为(]
,0-∞.
点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应
用.。