【CN109840387A】一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法【专利】

(19)中华人民共和国国家知识产权局
(12)发明专利申请
(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910166086.8
(22)申请日 2019.03.06
(71)申请人 浙江理工大学
地址 310018 浙江省杭州市杭州经济技术
开发区白杨街道2号大街928号
(72)发明人 柯俊　吴震宇　徐婷　张不扬　
(74)专利代理机构 绍兴市知衡专利代理事务所
(普通合伙) 33277
代理人 施春宜
(51)Int.Cl.
G06F 17/50(2006.01)
(54)发明名称
一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计
算方法
(57)摘要
本发明涉及一种主副簧式复合材料板弹簧
复合刚度计算方法。

该计算方法首先根据复合材
料力学计算复合材料主簧和副簧各横截面的弯
曲刚度，通过公式推导给出了复合材料主簧和副
簧各横截面弯曲刚度的计算公式。

然后，基于有
限差分理论，给出了复合材料主副簧共同工作后
复合刚度的计算步骤，并推导了主副簧式复合材
料板弹簧复合刚度的计算公式。

本发明提出的计
算方法不但为主副簧式复合材料板弹簧复合刚
度计算问题提供了理论依据，而且计算精度高，
适用于具有任意截面形状的主副簧式复合材料
板弹簧复合刚度计算问题。

此外，该计算方法也
适宜编程计算，计算速度远高于有限元分析等传
统计算方法，能显著缩短复合材料板簧的研发周
期，
降低研发成本。

权利要求书6页 说明书14页 附图2页CN 109840387 A 2019.06.04
C N 109840387
A
1.一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：包括如下步骤：
1)，计算计算复合材料主簧和副簧各横截面的弯曲刚度；
2)，计算复合材料主副簧共同工作后的复合刚度；具体为：假设主簧和副簧在主簧D点接触，作用力及反作用力分别为F D和F′D，主副簧总成在主簧接头中心O点受到竖直向下的载荷F O，则复合材料主副簧共同工作后的复合刚度通过以下方法来计算：
2-1，假设只有主簧受到力F O的作用，计算D点的挠度及O点的挠度；
2-2，假设主簧D点单独受到作力F D作用，计算末端O点的挠度；
2-3，对副簧GI段使用有限差分法，求得截面I的挠度；
2-4，求出F D的具体数值。

2-5，求出主副簧总成后半段的复合刚度；
2-6，计算出主副簧总成的复合刚度。

2.如权利要求1所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤1)具体为：对复合材料板弹簧的任意一小段，设复合材料板弹簧的纵向为x轴，厚度方向为z轴，且向上为正，该小段的弯曲中性轴为y轴；假定复合材料层合结构在弯曲变形时满足平面假设，即变形前相距dx的两个横截平面，弯曲变形后仍保持平面，仅相对旋转了一个角度dθ，
根据应变的定义，第i层单层沿x轴的应变为：
对复合材料板弹簧任意截面，设其第k层与该截面的几何中面的距离为
式(2)中，λ是中性层位移系数，λ＝d/t，d为中性层与几何中面之间的距离向量；t为层合结构在该截面的厚度；δ为单层厚度；
对复合材料层合结构的任意一个横截面，沿x轴方向的力可表示为：
式(3)中，A t为截面受拉区域面积，A c为截面受压区域面积；
不考虑各单层之间的层间应力，且假设各单层的宽度相等，沿z轴对层合结构分层积分，将式(3)化为：
其中，b为层合结构的宽度，n1为截面受拉区域层数；n2为截面受压区域层数，为截面中第k层沿x轴的应力；为截面受拉区域第k1层沿x轴的应力；为截面受压区域第k2层沿x轴的应力；
因弯曲半径ρ不随单层距中性层的距离而变化，且在各单层内模量保持不变，故将式(4)化为：
因复合材料层合结构受纯弯矩的作用，故有：
F N＝0 (6)
进而有：
联立式(2)和式(7)，即可解得中性层位移系数λ；
对于复合材料板弹簧任意一个纵向截面，其受到绕y轴的弯矩可表示为：
设截面抗弯刚度为K，则：
即有：
上式即为复合材料主簧和副簧变形部分各横截面弯曲刚度的计算公式。

3.如权利要求1所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2-1)具体为：把BE段分成m+1段，则形成m个新截面，加上固定端面BG，共有(m+1)个截面；设每段长度为a，则有：
对BE段，根据有限差分理论，可得到由(m+1)个方程组成的方程组：
其中M i＝-F O x＝-F O(L r-S r-ia)(i＝0,1,2,...,m)；
在i＝0处，即BG截面的转角和挠度均为0，则由转角表达式得f-1＝f1又f0＝0，所以由方
程组的第一个方程可得代入第二个方程可得f2＝a2(M0/K0+M1/K1)，依次代入下去可得到第i个截面处的挠度表达式为：
当i取(m+1)时即可求得截面E的挠度
再根据式(13)计算出f m-1，然后把f E和f m-1代入式计算出θm；
则截面E的转角：
则F O单独作用下主簧末端的挠度为：
f O＝f O1+f E+f Eθ＝f E+θE×l1 (16)
其中，f O1为假设E处固定，O端作用载荷F O时，O端的挠度；由于EO段被金属接头覆盖，视为刚性体，因此f O1＝0
再求F O单独作用下主簧截面D的挠度：由S r+i a＝L r-l1-l2得当
时，对应i1截面的挠度即为截面D的挠度，则截面D 的挠度为：
其中i1为计算数值取整。

4.如权利要求3所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2-3)具体为：使用有限差分法，将BD段分成(n+1)段，就有n个新截面，则有：
加上固定端面，共有(n+1)个截面，这样就可以得到由(n+1)个方程组成的方程组：
其中M′i＝F D(L r-S r-l1-l2-ia′)(i＝0,1,2,...,n)；
在i＝0处，即B端面处转角和挠度为0，则由转角表达式得f-1＝f1又f0＝0，所以由方程组的第一个方程可以得到：代入第二个方程可以得到f′2＝a′2(M′0/K′0+M′1/K ′1)，依次代入下去可以得到第i截面处的挠度表达式为
当i取(n+1)时即可求得主簧D处只受到力F D作用时截面D的挠度
由式(20)计算出f′n-1，把f′D和f′n-1代入式计算出截面D的转角θ′D：
当主簧受到力F D作用时，DO段无外部集中载荷作用，且自身重力可忽略不计，因此当主簧只在D处受到力F D作用时，其末端O点的挠度为：
f′O＝f′D+f′Dθ＝f′D+θ′D×(l1+l2) (22)
其中，f′Dθ是D处弯曲转角使O端产生的位移。

5.如权利要求4所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2-3)具体为：把GI段分成(p+1)段，则形成p个新截面，加上固定端面BG，共有(p+1)个截面；设每段长度为a″，则有：
对GI段，根据有限差分理论，可得到由(p+1)个方程组成的方程组：
其中M″i＝-F′D x′＝-F D(L r-S r-l1-l2-ia″)(i＝0,1,2,...,p)
同理，可得到第i个截面处的挠度表达式为
当i取(p+1)时即可求得截面I的挠度
6.如权利要求5所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2-4)具体为：在主簧与副簧共同工作后，主簧D点的挠度为副簧末端对D点的集中力F D 与F O的共同作用产生的，即主簧D点的挠度为f″D＝f D+f′D；而主簧和副簧在接触点D处的挠度相同，因此f″D＝f I；根据该式可求出
其中，F O为已知量；m，n，p为程序中取的各截面数；K i，K′i和K″i分别是各板簧簧身的截面弯曲刚度。

7.如权利要求6所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2-5)具体为：主簧O点的挠度f″O是集中力F D与F O的共同作用产生的，即f″O＝f O+f′O＝(f E+θE×l1)+[f′D+θ′D×(l1+l2)] (28)
其中，f E及θE与F D无关，f′D及θ′D与F D相关；将求出的F D代入上式即可求出主簧和副簧共同工作后主簧O点的挠度f″O，则主副簧总成后半段的复合刚度为：
8.如权利要求7所述的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其特征在于：所述步骤2-5)具体为：通过下式计算出主副簧总成的复合刚度：
其中，K f和K r分别为总成前半段和后半段的复合刚度，L f和L r分别为总
成前后半段半长。

一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法
【技术领域】
[0001]本发明涉及一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其应用于汽车悬架，属于板弹簧技术领域。

【背景技术】
[0002]板弹簧是汽车悬架中广泛应用的弹性元件，其重量占汽车非簧载质量的10％-20％。

复合材料板弹簧是一种采用纤维增强树脂基复合材料的板弹簧。

在功能相同的前提下，用复合材料板弹簧替换钢板弹簧可减重50％以上。

此外，复合材料板弹簧也具有比模量、比强度高，疲劳性能好，可设计性强，耐腐蚀，易于加工，安全冗余高等显著的优点。

因此，复合材料板弹簧的综合性能明显优于钢板弹簧，是汽车轻量化领域的研究热点。

目前，国内外已对单片复合材料板弹簧的接头可靠性，结构设计，铺层设计，刚度计算，性能优化及性能测试方面进行了深入研究。

然而，汽车主要分为满载和空载这两种状态，对应要求板簧提供数值差别较大的两级刚度，但现有的单片复合材料板簧在固化成型后刚度不可调，只能达到某种折衷下的较优减振效果，无法使悬架刚度最优。

因此，现有的单片复合材料板簧无法满足日益增长的汽车性能需求。

而采用与主副簧式钢板弹簧结构类似的主副簧式复合材料板弹簧，不但能起到显著的轻量化效果，而且能兼顾汽车性能需求，是实现复合材料板簧变刚度特性的有效途径之一。

[0003]目前，对多片复合材料板弹簧的研究主要集中于有限元仿真、接头设计及性能测试方面，现有设计理论仍然无法满足主簧-副簧式复合材料板弹簧的应用需要。

刚度特性是主副簧式复合材料板弹簧的核心性能参数，不但直接决定了汽车的操纵稳定性及平顺性，也是其区别于单片复合材料板簧的重要结构特征，进而决定了其应用价值。

准确的刚度计算，不但能有效预测样件刚度，而且能缩短产品开发的周期，进而压缩复合材料板弹簧的产品开发成本。

然而，由于复合材料具有各向异性，复合材料板弹簧也具有变截面几何特征，且主副簧共同工作后的接触边界有非线性因素，这都导致主副簧式复合材料板弹簧的复合刚度计算变得非常棘手和复杂。

[0004]因此，为解决上述技术问题，确有必要提供一种创新的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，以克服现有技术中的所述缺陷。

【发明内容】
[0005]为解决上述问题，本发明的目的在于提供一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法。

[0006]为实现上述目的，本发明采取的技术方案为：一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其包括如下步骤：
[0007]1)，计算复合材料主簧和副簧各横截面的弯曲刚度；
[0008]2)，计算复合材料主副簧共同工作后的复合刚度；具体为：假设主簧和副簧在主簧D点接触，作用力及反作用力分别为F D和F D′，主副簧总成在主簧接头中心O点受到竖直向下
的载荷F O，则复合材料主副簧共同工作后的复合刚度通过以下方法来计算：
[0009]2-1，假设只有主簧受到力F O的作用，计算D点的挠度及O点的挠度；
[0010]2-2，假设主簧D点单独受到作力F D作用，计算末端O点的挠度；
[0011]2-3，对副簧GI段使用有限差分法，求得截面I的挠度；
[0012]2-4，求出F D的具体数值。

[0013]2-5，求出主副簧总成后半段的复合刚度；
[0014]2-6，计算出主副簧总成的复合刚度。

[0015]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法进一步为：所述步骤1)具体为：对复合材料板弹簧的任意一小段，设复合材料板弹簧的纵向为x轴，厚度方向为z轴，且向上为正，该小段的弯曲中性轴为y轴；假定复合材料层合结构在弯曲变形时满足平面假设，即变形前相距dx的两个横截平面，弯曲变形后仍保持平面，仅相对旋转了一个角度dθ，[0016]根据应变的定义，第i层单层沿x轴的应变为：
[0017]
[0018]对复合材料板弹簧任意截面，设其第k层与该截面的几何中面的距离为
[0019]
[0020]式(2)中，λ是中性层位移系数，λ＝d/t，d为中性层与几何中面之间的距离向量；t 为层合结构在该截面的厚度；δ为单层厚度；
[0021]对复合材料层合结构的任意一个横截面，沿x轴方向的力可表示为：
[0022]
[0023]式(3)中，A t为截面受拉区域面积，A c为截面受压区域面积；
[0024]不考虑各单层之间的层间应力，且假设各单层的宽度相等，沿z轴对层合结构分层积分，将式(3)化为：
[0025]
[0026]其中，b为层合结构的宽度，n1为截面受拉区域层数；n2为截面受压区域层数，
为截面中第k层沿x轴的应力；为截面受拉区域第k1层沿x轴的应力；为截面受压区域第k2层沿x轴的应力；
[0027]因弯曲半径ρ不随单层距中性层的距离而变化，且在各单层内模量保持不变，故将式(4)化为：
[0028]
[0029]因复合材料层合结构受纯弯矩的作用，故有：
[0030]F N＝0 (6)
[0031]进而有：
[0032]
[0033]联立式(2)和式(7)，即可解得中性层位移系数λ；
[0034]对于复合材料板弹簧任意一个纵向截面，其受到绕y轴的弯矩可表示为：[0035]
[0036]设截面抗弯刚度为K，则：
[0037]
[0038]即有：
[0039]
[0040]上式即为复合材料主簧和副簧变形部分各横截面弯曲刚度的计算公式。

[0041]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法进一步为：所述步骤2-1)具
体为：把BE段分成m+1段，则形成m个新截面，加上固定端面BG，共有(m+1)个截面；设每段长度为a，则有：
[0042]
[0043]对BE段，根据有限差分理论，可得到由(m+1)个方程组成的方程组：
[0044]
[0045]其中M i＝-F O x＝-F O(L r-S r-ia)(i＝0,1,2,...,m)；
[0046]在i＝0处，即BG截面的转角和挠度均为0，则由转角表达式得f-1＝f1又f0＝0，所以
由方程组的第一个方程可得代入第二个方程可得f2＝a2(M0/K0+M1/K1)，依次
代入下去可得到第i个截面处的挠度表达式为：
[0047]
[0048]当i取(m+1)时即可求得截面E的挠度
[0049]
[0050]再根据式(13)计算出f m-1，然后把f E和f m-1代入式计算出
θm；
[0051]则截面E的转角：
[0052]
[0053]则F O单独作用下主簧末端的挠度为：
[0054]f O＝f O1+f E+f Eθ＝f E+θE×l1 (16)
[0055]其中，f O1为假设E处固定，O端作用载荷F O时，O端的挠度；由于EO段被金属接头覆盖，视为刚性体，因此f O1＝0
[0056]再求F O单独作用下主簧截面D的挠度：由S r+i a＝L r-l1-l2得当
时，对应i1截面的挠度即为截面D的挠度，[0057]则截面D的挠度为：
[0058]
[0059]其中i1为计算数值取整。

[0060]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法进一步为：所述步骤2-3)具体为：使用有限差分法，将BD段分成(n+1)段，就有n个新截面，则有：
[0061]
[0062]加上固定端面，共有(n+1)个截面，这样就可以得到由(n+1)个方程组成的方程组：
[0063]
[0064]其中M i′＝F D(L r-S r-l1-l2-ia′)(i＝0,1,2,...,n)；
[0065]在i＝0处，即B端面处转角和挠度为0，则由转角表达式得f-1＝f1又f0＝0，所以由方程组的第一个方程可以得到：代入第二个方程可以得到f2′＝a′2(M0′/K0′+ M1′/K1′)，依次代入下去可以得到第i截面处的挠度表达式为
[0066]
[0067]当i取(n+1)时即可求得主簧D处只受到力F D作用时截面D的挠度
[0068]
[0069]由式(20)计算出f n′-1，把f D′和f n′-1代入式计算出截面D的
转角θ′D：
[0070]
[0071]当主簧受到力F D作用时，DO段无外部集中载荷作用，且自身重力可忽略不计，因此当主簧只在D处受到力F D作用时，其末端O点的挠度为：
[0072]f O′＝f D′+f D′θ＝f D′+θ′D×(l1+l2) (22)
[0073]其中，f D′θ是D处弯曲转角使O端产生的位移。

[0074]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法进一步为：所述步骤2-3)具体为：把GI段分成(p+1)段，则形成p个新截面，加上固定端面BG，共有(p+1)个截面；设每段长度为a″，则有：
[0075]
[0076]对GI段，根据有限差分理论，可得到由(p+1)个方程组成的方程组：
[0077]
[0078]其中M i″＝-F D′x′＝-F D(L r-S r-l1-l2-ia″)(i＝0,1,2,...,p)
[0079]同理，可得到第i个截面处的挠度表达式为
[0080]
[0081]当i取(p+1)时即可求得截面I的挠度
[0082]
[0083]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法进一步为：所述步骤2-4)具体为：在主簧与副簧共同工作后，主簧D点的挠度为副簧末端对D点的集中力F D与F O的共同作用产生的，即主簧D点的挠度为f D″＝f D+f D′；而主簧和副簧在接触点D处的挠度相同，因此f D″＝f I；根据该式可求出
[0084]
[0085]其中，F O为已知量；m，n，p为程序中取的各截面数；K i，K i′和K i″分别是各板簧簧身的截面弯曲刚度。

[0086]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法进一步为：所述步骤2-5)具体为：主簧O点的挠度f O″是集中力F D与F O的共同作用产生的，即
[0087]f O″＝f O+f O′＝(f E+θE×l1)+[f D′+θ′D×(l1+l2)] (28)
[0088]其中，f E及θE与F D无关，f D′及θ′D与F D相关；将求出的F D代入上式即可求出主簧和副簧共同工作后主簧O点的挠度f O″，则主副簧总成后半段的复合刚度为：
[0089]
[0090]本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法还为：所述步骤2-5)具体为：通过下式计算出主副簧总成的复合刚度：
[0091]
[0092]其中，K f和K r分别为总成前半段和后半段的复合刚度，L f和L r分别
为总成前后半段半长。

[0093]与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：
[0094](1)本发明的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法不但为主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算问题提供了理论依据，而且其正确性已经通过了仿真及试验验证，计算误差在3％以内，因此具有较高的计算精度，完全满足工程应用的要求。

[0095](2)由于该计算方法引入了微积分思想，因此适用于具有任意截面形状的主副簧式复合材料板弹簧复合刚度的计算，具有普遍性适用性。

[0096](3)由于该计算方法适宜编程计算，因此计算速度远高于有限元分析等传统计算方法，这将显著缩短复合材料板簧的研发周期，降低研发成本。

【附图说明】
[0097]图1为复合材料层合板发生纯弯曲变形前后的状态示意图。

[0098]图2为某主副簧式复合材料板弹簧后半段的结构及相关几何尺寸示意图。

【具体实施方式】
[0099]本发明为一种主副簧式复合材料板弹簧复合刚度计算方法，其包括如下步骤：[0100] 1.计算复合材料主簧和副簧各横截面的弯曲刚度
[0101]复合材料主簧和副簧本质上是具有一定结构特征的层合结构。

复合材料层合结构在弯曲变形时，由于各单层的拉伸模量E t与压缩模量E c不等，将导致弯曲中性层在层合结构
厚度方向上偏离几何中面一定距离，这对复合材料板弹簧刚度计算精度有很大影响。

因此，应首先确定复合材料主簧和副簧中的弯曲中性层的位置。

对复合材料板弹簧的任意一小段，设复合材料板弹簧的纵向为x轴，厚度方向为z轴，且向上为正，该小段的弯曲中性轴为y 轴。

当复合材料板弹簧发生垂向变形时，该小段近似受到纯弯矩作用。

假定复合材料层合结构在弯曲变形时满足平面假设，即变形前相距dx的两个横截平面，弯曲变形后仍保持平面，仅相对旋转了一个角度dθ，如图1所示。

[0102]在图1中，根据应变的定义，第i层单层沿x轴的应变为：
[0103]
[0104]根据式(1)，复合材料层合结构各单层沿x轴的应变大小与单层距中性层的距离z i成正比。

[0105]对复合材料板弹簧任意截面，设其第k层与该截面的几何中面的距离为
[0106]
[0107]式(2)中，λ是中性层位移系数，λ＝d/t，d为中性层与几何中面之间的距离向量；t 为层合结构在该截面的厚度；δ为单层厚度。

[0108]对于复合材料板簧这一纵向维度远大于横向维度的部件，各单层横向应变εy及剪切应变γxy相对于纵向应变εx来说可忽略不计，因此忽略纵向应变与其它各向的泊松耦合效应。

因复合材料的拉伸模量E t与压缩模量E c不等，因此对截面内受拉区域和受压区域分别积分，
[0109]对复合材料层合结构的任意一个横截面，沿x轴方向的力可表示为：
[0110]
[0111]式(3)中，A t为截面受拉区域面积，A c为截面受压区域面积，且有
[0112]不考虑各单层之间的层间应力，且假设各单层的宽度相等，沿z轴对层合结构分层积分，将式(3)化为：
[0113]
[0114]其中，b为层合结构的宽度，n1为截面受拉区域层数；n2为截面受压区域层数，
为截面中第k层沿x轴的应力；为截面受拉区域第k1层沿x轴的应力；为截面受压区域第k2层沿x轴的应力。

[0115]因弯曲半径ρ不随单层距中性层的距离而变化，且在各单层内模量保持不变，故将式(4)化为：
[0116]
[0117]因复合材料层合结构受纯弯矩的作用，故有：
[0118]F N＝0 (6)
[0119]进而有：
[0120]
[0121]联立式(2)和式(7)，即可解得中性层位移系数λ。

[0122]对于复合材料板弹簧任意一个纵向截面，其受到绕y轴的弯矩可表示为：
[0123]
[0124]设截面抗弯刚度为K，则：
[0125]
[0126]即有：
[0127]
[0128]上式即为复合材料主簧和副簧变形部分各横截面弯曲刚度的计算公式，将在后面的计算过程中调用。

[0129] 2.计算复合材料主副簧共同工作后的复合刚度
[0130]在完成复合材料主副簧横截面弯曲刚度的计算后，主副簧各横截面的弯曲刚度K i 已知。

以复合材料主副簧后半段为例，主副簧的结构及相关参数如图2所示。

板簧宽度特征
既可以是等宽的，也可以是任意形式的。

其中，主簧和副簧在主簧D点接触，作用力及反作用力分别为F D和F D′，主副簧总成在主簧接头中心O点受到竖直向下的载荷F O。

则复合材料主副簧共同工作后的复合刚度通过以下方法来计算：
[0131](2-1)假设只有主簧受到力F O的作用(即忽略F D对主簧变形的影响)，计算D点的挠度及O点的挠度
[0132]在该状态下，AB段实际上受到悬架骑马螺栓的固定，其挠度及转角忽略不计，因此将BG截面视为主副簧的固定端。

把BE段(包括抛物线段BC及等厚段CE)分成m+1段，则形成m 个新截面，加上固定端面BG，共有(m+1)个截面。

设每段长度为a，则有：
[0133]
[0134]对BE段，根据有限差分理论，可得到由(m+1)个方程组成的方程组：
[0135]
[0136]其中M i＝-F O x＝-F O(L r-S r-ia)(i＝0,1,2,...,m)(注意此式的x原点为O) [0137]在i＝0处，即BG截面的转角和挠度均为0，则由转角表达式得f-1＝f1又f0＝0，所以
由方程组的第一个方程可得代入第二个方程可得f2＝a2(M0/K0+M1/K1)，依次
代入下去可得到第i个截面处的挠度表达式为：
[0138]
[0139]当i取(m+1)时即可求得截面E的挠度
[0140]
[0141]再根据式(13)计算出f m-1，然后把f E和f m-1代入式计算出
θm。

则截面E的转角：
[0142]
[0143]则F O单独作用下主簧末端的挠度为：
[0144]f O＝f O1+f E+f Eθ＝f E+θE×l1 (16)
[0145]其中，f O1为假设E处固定，O端作用载荷F O时，O端的挠度。

由于EO段被金属接头覆盖，视为刚性体，因此f O1＝0。

f Eθ是E处的弯曲转角使O端产生的位移。

[0146]则可根据式(16)求出f O。

下面求F O单独作用下主簧截面D的挠度：由于m趋于无穷大，因此可将主簧截面D的挠度看作取在D附近最近截面对应的挠度。

由S r+ia＝L r-l1-l2得
当时，对应i1(将求得的i数值取整)截面的挠度即
为截面D的挠度，则截面D的挠度为：
[0147]
[0148]其中i1为计算数值取整(最接近的整数)。

[0149](2-2)假设主簧D点单独受到作力F D作用，则对BD段，再次使用有限差分法，将BD段(包括BC段变厚度段和CD段等厚段)分成(n+1)段，就有n个新截面，则有：
[0150]
[0151]加上固定端面，共有(n+1)个截面，这样就可以得到由(n+1)个方程组成的方程组：
[0152]
[0153]其中M i′＝F D(L r-S r-l1-l2-ia′)(i＝0,1,2,...,n)。

[0154]在i＝0处，即B端面处转角和挠度为0，则由转角表达式得f-1＝f1又f0＝0，所以由
方程组的第一个方程可以得到：代入第二个方程可以得到f2′＝a′2(M0′/K0′+
M1′/K1′)，依次代入下去可以得到第i截面处的挠度表达式为
[0155]
[0156]当i取(n+1)时即可求得主簧D处只受到力F D作用时截面D的挠度
[0157]
[0158]由式(20)计算出f n′-1，把f D′和f n′-1代入式计算出截面D的转角θ′D：
[0159]
[0160]当主簧受到力F D作用时，DO段无外部集中载荷作用，且自身重力可忽略不计，因此当主簧只在D处受到力F D作用时，其末端O点的挠度为：
[0161]f O′＝f D′+f D′θ＝f D′+θ′D×(l1+l2) (22)
[0162]其中，f D′θ是D处弯曲转角使O端产生的位移。

[0163](2-3)对副簧GI段再次使用有限差分法。

把GI段(包括抛物线段GH及等厚段HI，I为副簧片段降噪垫块的对称中心)分成(p+1)段，则形成p个新截面，加上固定端面BG，共有(p+ 1)个截面。

设每段长度为a″，则有：
[0164]
[0165]对GI段，根据有限差分理论，可得到由(p+1)个方程组成的方程组：
[0166]
[0167]其中M i″＝-F D′x′＝-F D(L r-S r-l1-l2-ia″)(i＝0,1,2,...,p)
[0168]同理，可得到第i个截面处的挠度表达式为
[0169]
[0170]当i取(p+1)时即可求得截面I的挠度
[0171]
[0172](2-4)实际上在主簧与副簧共同工作后，主簧D点的挠度为副簧末端对D点的集中力F D与F O的共同作用产生的，即主簧D点的挠度为f D″＝f D+f D′。

而主簧和副簧在接触点D处的。