教学课件_ 勾股定理

AB C
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的边长为单位1)：
C A
B
C A
B
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）：
为c的正方形？
b
a
a2+b2 = c2
a
c
a
b
c
b
a
合作探究
cb a b-a
赵爽弦图
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
在直角三角形中
注意
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
课后作业
1.知识性作业(必做)
(1)整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法; (2)完成课本24页练习题
2.技能型作业(选做)
上网查阅了解有关勾股定理的史料，趣事及其他 证明方法
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
讲授新课 探究一 ：勾股定理的认识
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的
数量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
问题2 图中正 方形A、B、C 所围成的等腰 直角三角形三 边之间有什么 特殊关系？
A
B
ab
c
C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
C A
B
C A
B
左图： 右图：
SC
55
4
1 2
2 3
13
SC
7
7
4
1 2
4
3
25
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）：
C A
B
C A
B
左图：
SC
4
1 2
2 3
11 13
右图：
SC
4
1 2
4 3
11
25
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
c
b 下面动图形象的说明明这一猜想.
探究二：勾股定理的验证（小组合作）
让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形
证明命题吧.温馨提示:1怎样才能分割出4个直角边长为a,b,斜边
为c的直角三角形和一个边长为b-a的小正方形? b
c
2.如何用你分割的图形拼成一个边长
c a2 b2
作用: 知道直角三角形的任意两边长，求第三边的长
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图验证勾股定理的思路是:
1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不 会改变
2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理。
小贴士 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”， 下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角 边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
归纳总结 勾股定理 文字语言: 在直角三角形中，两条直角边
B
的平方和等于斜边的平方。
a
c
几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°， a2+b2=c2. (或AC2+BC2=AB2 )
C
b
A
公式变形：
a2= c2 - b2
b2= c2 - a2
c2= a2+b2
a c2 - b2 ,
b c2 - a2 , (a、b、c为正数)
中国: 勾股定理，商高定理
西方(古希腊): 毕达哥拉斯定理，百牛定理
勾
股
比利时，法国: 驴桥定理
埃及: 埃及三角形 ·······
勾2+股2=弦2
学以致用 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
由勾股定理得
C
A
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90° 由勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式拓展】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的
长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
C A
B
C A
B
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想：
命题：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边
的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，
斜边长为c,那么a2+b2=c2. a
解：在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理可得
A
AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5.
D 3
根据三角形面积公式，
∴ ∴
C12DA=C1×2 B. C=
1 2
AB×CD.
C
4
B
5
归纳 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直
角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理
联合使用．
当堂检测
2023年度信息技术与课程融合 优质课评选活动
教材版本：人教版 学科：数学 年级：八年级 学期：第二学期 课名：17.1勾股定理第1课时
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，
世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、 音乐、各种图形等.
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）
8 cm
10 cm
当堂检测
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=3，b=4，则c=
5.
（2）若c=13，b=12，则a= 5
.
4.若直角三角形中，有两边长是5和3，则第三边长
的平方为__1_6_或__3_4__.
课堂小结
内容 勾股定理
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b
为直角边，c为斜边，则有 a2+b2=c2.
1.下列说法中,正确的是
（C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 36 cm².