苏科版八年级上册数学期末易错试题汇总(含答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
苏科版八年级上册数学期末易错试题汇总(含答案)
一、选择题
1.低碳环保理念深入人心,共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中,是轴对称图形的是( )
A .
B .
C .
D .
2.如图,直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ,点C 在第二象限,过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ,BE OC ⊥于E ,且8BE BO +=,4=AD ,则ED 的长为( )
A .2
B .32
C .
52
D .1 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A 8
B 36
C .a b
(a >0,b >0) D 7 4.在下列分解因式的过程中,分解因式正确的是( )
A .-xz +yz =-z(x +y)
B .3a 2b -2ab 2+ab =ab(3a -2b)
C .6xy 2-8y 3=2y 2(3x -4y)
D .x 2+3x -4=(x +2)(x -2)+3x 5.估计(130246的值应在( ) A .1和2之间
B .2和3之间
C .3和4之间
D .4和5之间 6.已知点M (1,a )和点N (2,b )是一次函数y =-2x +1图象上的两点,则a 与b 的大小关系是( )
A .a >b
B .a =b
C .a <b
D .以上都不对
7.如图(1),在四边形ABCD 中,AB CD ∥,90ABC ∠=︒,动点P 从点B 出发,沿BC ,CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为x ,ABP ∆的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示,则BCD ∆的面积是( )
A .6
B .5
C .4
D .3
8.如图,直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ,点C 在第二象限,过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ,BE OC ⊥于E ,且8BE BO +=,4=AD ,则ED 的长为( )
A .2
B .32
C .52
D .1
9.已知:如图,在△AOB 中,∠AOB =90°,AO =3cm ,BO =4cm ,将△AOB 绕顶点O ,按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处,此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点,则线段B 1D 的长度为( )
A .12cm
B .1cm
C .2cm
D .32
cm 10.下列图形中:①线段,②角,③等腰三角形,④有一个角是30°的直角三角形,其中一定是轴对称图形的个数( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
二、填空题
11.如图,一艘轮船由海平面上的A 地出发向南偏西45º的方向行驶50海里到达B 地,再由B 地向北偏西15º的方向行驶50海里到达C 地,则A 、C 两地相距____海里.
12.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产___台机器.
13.Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,点D 在边AB 上,连接CD .有以下4种说法:
①当DC DB =时,BCD ∆一定为等边三角形
②当AD CD =时,BCD ∆一定为等边三角形
③当ACD ∆是等腰三角形时,BCD ∆一定为等边三角形
④当BCD ∆是等腰三角形时,ACD ∆一定为等腰三角形
其中错误的是__________.(填写序号即可)
14.4的算术平方根是 .
15. 如图,在正三角形ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,则∠BAD= °.
16.函数y x 3=-中,自变量x 的取值范围是 .
17.点()11,12A 与点()11,12B -关于_________对称.(填“x 轴”或“y 轴”)
18.在平面直角坐标系中,已知线段AB 的两个端点坐标分别是A (-4,-1),B (1,1),将线段AB 平移后得到线段A B ''(点A 的对应点为A '),若点A '的坐标为(-2,2)则点B '的坐标为________________
19.在第二象限内的点P 到x 轴的距离是1,到y 轴的距离是4,则点P 的坐标是_________.
20.点P (3,-4)到 x 轴的距离是_____________.
三、解答题
21.如图,在平面直角坐标系中,点(1,3)A ,点(3,1)B ,点(4,5)C .
(1)画出ABC ∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆,并写出点A 的对称点1A 的坐标; (2)若点P 在x 轴上,连接PA 、PB ,则PA PB +的最小值是 ;
(3)若直线//MN y 轴,与线段AB 、AC 分别交于点M 、N (点M 不与点A 重
合),若将AMN ∆沿直线MN 翻折,点A 的对称点为点'A ,当点'A 落在ABC ∆的内部(包含边界)时,点M 的横坐标m 的取值范围是 .
22.一架梯子AB长25米,如图斜靠在一面墙上,梯子底端B离墙7米.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗?为什么?
23.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,求四边形ABCD的面积.
24.已知:如图点A、B、C、D在一条直线上,EA∥FB,EC∥FD,AB=CD,求证:EA=FB.
25.如图,在△ABC中,AD是高,E、F分别是AB、AC的中点.
(1)AB=12,AC=9,求四边形AEDF的周长;
(2)EF与AD有怎样的位置关系?证明你的结论.
四、压轴题
26.如图,已知A(3,0),B(0,-1),连接AB,过B点作AB的垂线段BC,使BA=BC,连接AC
(1)如图1,求C点坐标;
(2)如图2,若P点从A点出发沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角BPQ,连接CQ,当点P在线段OA上,求证:PA=CQ;
(3)在(2)的条件下若C、P,Q三点共线,直接写出此时∠APB的度数及P点坐标
27.如图,A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(﹣3,0),D为x轴上的一个动点且不与B,O重合,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,使得AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交y轴于点M.
(1)如图,当点D在线段OB的延长线上时,
①若D点的坐标为(﹣5,0),求点E的坐标.
②求证:M为BE的中点.
③探究:若在点D运动的过程中,OM
BD
的值是否是定值?如果是,请求出这个定值;如
果不是,请说明理由.
(2)请直接写出三条线段AO,DO,AM之间的数量关系(不需要说明理由).
28.如图,在平面直角坐标系中,直线334
y x =-+分别交,x y 轴于A B ,两点,C 为线段AB 的中点,(,0)D t 是线段OA 上一动点(不与A 点重合),射线//BF x 轴,延长DC 交BF 于点E .
(1)求证:AD BE =;
(2)连接BD ,记BDE 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;
(3)是否存在t 的值,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.
29.如图1,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,D 为AC 边上一动点,且不与点A 点C 重合,连接BD 并延长,在BD 延长线上取一点E ,使AE =AB ,连接CE .
(1)若∠AED =20°,则∠DEC = 度;
(2)若∠AED =a ,试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系?并证明你的猜想; (3)如图2,过点A 作AF ⊥BE 于点F ,AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ,求证:EH 2+CH 2=2AE 2.
30.在ABC 中,AB AC =,D 是直线AB 上一点,E 在直线BC 上,且DE DC =. (1)如图1,当D 在AB 上,E 在CB 延长线上时,求证:EDB ACD ∠=∠;
(2)如图2,当ABC 为等边三角形时,D 是BA 的延长线上一点,E 在BC 上时,作//EF AC ,求证:BE AD =;
∠的平分线BF交CD于点F,连AF,过A点作
(3)在(2)的条件下,ABC
∠=︒,6
EDC
⊥于点H,当30
AH CD
CF=时,求DH的长度.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.A
解析:A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解.
【详解】
A、是轴对称图形.故选项正确;
B、不是轴对称图形.故选项错误;
C、不是轴对称图形.故选项错误;
D、不是轴对称图形.故选项错误.
故选:A.
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.
2.D
解析:D
【解析】
【分析】
图中直线y=x+b与x轴负半轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,可以根据两点的坐标得出OA=OB,由此可证明△AOD≌△OBE,证出OC=AD,BE=OD,在Rt△OBE中,运用勾股定理可求出BE的长,再根据线段的差可求出DE的长.
【详解】
直线y=x+b(b>0)与x轴的交点坐标A为(-b,0)与y轴的交点坐标B为(0,-b),
所以,OA=OB ,
又∵AD ⊥OC ,BE ⊥OC ,
∴∠ADO=∠BEO=90°,
∵∠DOA+∠DAO=90°,∠DOA+∠DOB=90°,
∴∠DAO=∠DOB ,
在△DAO 和△BOE 中,
DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAO ≌EOB ,
∴OD=BE.AD=OE ,
∵AD=4,
∴OE=4,
∵BE+BO=8,
∴B0=8-BE ,
在Rt △OBE 中,222BO BE OE =+,
∴222
(8)BE BE OE -=+
解得,BE=3,
∴OD=3,
∴ED=OE-OD=4-3=1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质,根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键. 3.D
解析:D
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案.
【详解】
解:(A )原式=
,故A 不符合题意;
(B )原式=6,故B 不符合题意;
(C )a b
是分式,故C 不符合题意; 故选:D .
【点睛】
本题考查最简二次根式,解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义,本题属于基础题型.
4.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
【详解】
-xz+yz=-z(x-y),故此选项错误;
3a2b-2ab2+ab=ab(3a-2b+1),故此选项错误;
6xy2-8y3=2y2(3x-4y)故此选项正确;
x2+3x-4=(x+2)(x-2)+3x,此选项没把一个多项式转化成几个整式积的形式,此选项错误.
故选:C.
【点睛】
因式分解的意义.
5.B
解析:B
【解析】
【分析】先利用分配律进行计算,然后再进行化简,根据化简的结果即可确定出值的范围.
【详解】(
=
=2,
而
,
-<3,
所以2<2
所以估计(2和3之间,
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小,熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
6.A
解析:A
【解析】
【分析】
【详解】
∵k=﹣2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵1<2,
∴a>b.
故选A.
7.D
解析:D
【解析】
【分析】
根据图1可知,可分P在BC上运动和P在CD上运动分别讨论,由此可得BC和CD的值,进而利用三角形面积公式可得BCD
∆的面积.
【详解】
解:动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发,沿BC,CD的顺序运动,
当P在BC段运动,△ABP面积y随x的增大而增大;
当P在CD段运动,因为△ABP的底边不变,高不变,所以面积y不变化.
由图2可知,当0<x<2时,y随x的增大而增大;当2<x<5时,y的值不随x变化而变化.综上所述,BC=2,CD=5-2=3,
故
11
233
22
BCD
S CD BC
∆
.
故选:D.
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象,动点的图象问题是中考的常考题型,做此类题需要弄清横纵坐标的代表量,并观察确定图象分为几段,弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势,主要是正负增减及变化的快慢等. 匀速变化呈现直线段的形式,平行于x轴的直线代表未发生变化.
8.D
解析:D
【解析】
【分析】
图中直线y=x+b与x轴负半轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,可以根据两点的坐标得出OA=OB,由此可证明△AOD≌△OBE,证出OC=AD,BE=OD,在Rt△OBE中,运用勾股定理可求出BE的长,再根据线段的差可求出DE的长.
【详解】
直线y=x+b(b>0)与x轴的交点坐标A为(-b,0)与y轴的交点坐标B为(0,-b),
所以,OA=OB,
又∵AD⊥OC,BE⊥OC,
∴∠ADO=∠BEO=90°,
∵∠DOA+∠DAO=90°,∠DOA+∠DOB=90°,
∴∠DAO=∠DOB,
在△DAO和△BOE中,
DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAO ≌EOB ,
∴OD=BE.AD=OE ,
∵AD=4,
∴OE=4,
∵BE+BO=8,
∴B0=8-BE ,
在Rt △OBE 中,222BO BE OE =+,
∴222
(8)BE BE OE -=+
解得,BE=3,
∴OD=3,
∴ED=OE-OD=4-3=1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质,根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键. 9.D
解析:D
【解析】
【分析】
先在直角△AOB 中利用勾股定理求出AB =5cm ,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD =
12AB =2.5cm .然后根据旋转的性质得到OB 1=OB =4cm ,那么B 1D =OB 1﹣OD =1.5cm .
【详解】
∵在△AOB 中,∠AOB =90°,AO =3cm ,BO =4cm ,
∴AB
=5cm ,
∵点D 为AB 的中点,
∴OD =12
AB =2.5cm . ∵将△AOB 绕顶点O ,按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处,
∴OB 1=OB =4cm ,
∴B 1D =OB 1﹣OD =1.5cm .
故选:D .
【点睛】
本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质,掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键.
10.C
解析:C
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的性质分别分析得出答案.
【详解】
解:①线段,是轴对称图形;
②角,是轴对称图形;
③等腰三角形,是轴对称图形;
④有一个角是30°的直角三角形,不是轴对称图形.
故选:C.
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称图形的定义,理解定义内容是解此题的关键.
二、填空题
11.50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形,从而不难求得AC的距离.
【详解】
解:∵点B在点A的南偏西45°方向上,点C在点B的北偏西15°方向上,∴∠ABC=45°+15°=60
解析:50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形,从而不难求得AC的距离.
【详解】
解:∵点B在点A的南偏西45°方向上,点C在点B的北偏西15°方向上,
∴∠ABC=45°+15°=60°
∵AB=BC=50,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=50;
故答案为:50.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题,能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键.
12.200
【解析】
【分析】
【详解】
设现在平均每天生产x台机器,则原计划可生产(x﹣50)台,
根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同,等量关系为:现在生产600台机器时
解析:200
【解析】
【分析】
【详解】
设现在平均每天生产x台机器,则原计划可生产(x﹣50)台,
根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同,等量关系为:现在
生产600台机器时间=原计划生产450台时间,从而列出方程:600450
x x50
=
-
,
解得:x=200.
检验:当x=200时,x(x﹣50)≠0.
∴x=200是原分式方程的解.
∴现在平均每天生产200台机器.
13.③
【解析】
【分析】
根据题意,将不同情况下的示意图作出,逐一分析即可得解. 【详解】
如下图:
①∵,,∴,∵,∴为等边三角形
∴①正确;
②∵,,∴,∵,∴,,∴,∴为等边三角形
∴②正确;
解析:③
【解析】
【分析】
根据题意,将不同情况下的示意图作出,逐一分析即可得解.
【详解】
如下图:
①∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴60B ∠=︒,∵DC DB =,∴BCD ∆为等边三角形 ∴①正确;
②∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴60B ∠=︒,∵AD CD =,∴30ACD ∠=︒,903060DCB ∠=︒-︒=︒,∴60CDB ∠=︒,∴BCD ∆为等边三角形
∴②正确;
③当DA DC =时∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,ACD ∆是等腰三角形,∴30ACD ∠=︒,903060DCB ∠=︒-︒=︒,∴60CDB ∠=︒,∴BCD ∆为等边三角形;
当AC AD =时,易得BCD ∆不为等边三角形
∴③错误;
④∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴60B ∠=︒,∵BCD ∆是等腰三角形,∴BCD ∆是等边三角形,60DCB ∠=︒∴30ACD ∠=︒,∴ACD ∆为等腰三角形;
∴④正确;
故答案为:③.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形,等腰三角形的判定及性质,熟练掌握等边三角形、等腰三角形的判定及性质的证明方法是解决本题的关键.
14.【解析】
试题分析:∵,∴4算术平方根为2.故答案为2.
考点:算术平方根.
解析:【解析】
试题分析:∵224=,∴4算术平方根为2.故答案为2.
考点:算术平方根.
15.30
【解析】
【分析】
根据正三角形ABC 得到∠BAC=60°,因为AD ⊥BC ,根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD 的度数.
【详解】
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC
解析:30
【解析】
【分析】
根据正三角形ABC得到∠BAC=60°,因为AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD 的度数.
【详解】
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=1
2
∠BAC=30°,
故答案为30°.
16..
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,二次根式有意义的条件是:被开方数为非负数.
【详解】
依题意,得x-3≥0,
解得:x≥3.
【点睛】
本题考查的知识点
解析:x3
.
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,二次根式有意义的条件是:被开方数为非负数.
【详解】
依题意,得x-3≥0,
解得:x≥3.
【点睛】
本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
17.轴
【解析】
【分析】
两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,那么过这两点的直线平行于x轴,两
点到y轴的距离均为11,由此即可得出答案.
【详解】
∵两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,
∴点A(11
解析:y轴
【解析】
【分析】
两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,那么过这两点的直线平行于x轴,两点到y轴的距离均为11,由此即可得出答案.
【详解】
∵两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,
∴点A(11,12)与点B(-11,12)关于y轴对称,
故答案为:y轴.
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,熟知“横坐标相等,纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称;横坐标互为相反数,纵坐标相等的两点关于y轴对称”是解题的关键. 18.(3,4)
【解析】
分析:首先根据点A和点A′的坐标得出平移的方向和平移的数量,然后根据平移法则得出点B′的坐标.
详解:∵A的坐标为(-4,-1),A′的坐标为(-2,2),∴平移法则为:先向
解析:(3,4)
【解析】
分析:首先根据点A和点A′的坐标得出平移的方向和平移的数量,然后根据平移法则得出点B′的坐标.
详解:∵A的坐标为(-4,-1),A′的坐标为(-2,2),∴平移法则为:先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,∴点B′的坐标为(3,4).
点睛:本题主要考查的是线段的平移法则,属于基础题型.线段的平移法则就是点的平移法则,属于基础题型.
19.(-4,1).
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度,到y轴的距离等于横坐标的长度解答.
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1,到y轴的距离是4,
解析:(-4,1).
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x 轴的距离等于纵坐标的长度,到y 轴的距离等于横坐标的长度解答.
【详解】
∵第二象限的点P 到x 轴的距离是1,到y 轴的距离是4,
∴点P 的横坐标是-4,纵坐标是1,
∴点P 的坐标为(-4,1).
故答案为:(-4,1).
【点睛】
此题考查点的坐标,解题关键在于熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的长度,到y 轴的距离等于横坐标的长度.
20.4
【解析】
试题解析:根据点与坐标系的关系知,点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值,
故点P (3,﹣4)到x 轴的距离是4.
解析:4
【解析】
试题解析:根据点与坐标系的关系知,点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值,
故点P (3,﹣4)到x 轴的距离是4.
三、解答题
21.(1)详见解析;1A 的坐标(-1,3);(2)3)1<m ≤1.25
【解析】
【分析】
(1)根据轴对称定义画图,写出坐标;
(2)作点B 根据x 轴的对称点B ',连接A B ',与x 轴交于点P ,此时PA+PB=A B ',且值最小. (3)证AE//x 轴,再求线段AE 中点的横坐标,根据轴对称性质可得.
【详解】
解:(1)如图,111A B C ∆为所求,1A 的坐标(-1,3);
(2)如图,作点B 根据x 轴的对称点B ',连接A B ',与x 轴交于点P ,此时PA+PB=A B ',且值最小.
即PA+PB=A B '==
(3)由已知可得,BC 的中点坐标是(
3415,22++),即(3.5,3) 所以AE//x 轴,
所以线段AE中点的横坐标是:3.51
1.25 2
-
=
所以根据轴对称性质可得,m的取值范围是1<m≤1.25
【点睛】
考核知识点:轴对称,勾股定理.数形结合分析问题,理解轴对称关系是关键. 22.(1)24米;(2)梯子底部在水平方向不是滑动了4米,而是8米.【解析】
【分析】
(1)应用勾股定理求出AC的高度,即可求解;
(2)应用勾股定理求出B′C的距离即可解答.
【详解】
(1)如图,在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2,得
AC=2222
257
AB BC
-=-=24(米)
答:这个梯子的顶端距地面有24米.
(2)由A'B'2=A'C2+CB'2,得
B'C=2222
'''25(244)
A B A C
-=--=15(米),
∴BB'=B'C﹣BC=15﹣7=8(米).
答:梯子底部在水平方向不是滑动了4米,而是8米.
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键. 23.36
【解析】
【分析】
连接AC ,根据勾股定理求出AC ,根据勾股定理的逆定理求出△CAD 是直角三角形,分别求出△ABC 和△CAD 的面积,即可得出答案.
【详解】
连接AC ,如图所示:
在△ABC 中,
∵∠B =90°,AB =4,BC =3,
∴2222AC AB BC 435=++=,
1143622
ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=, 在△ACD 中,
∵AD =12,AC =5,CD =13,
∴AD 2+AC 2=CD 2,
∴△ACD 是直角三角形,
∴115123022
ACD S AC AD =⋅=⨯⨯=. ∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ACD =6+30=36.
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用,解题关键是将四边形分成两个直角三角形来解.
24.用ASA 证明△EAC ≌△FBD 即可.
【解析】
【分析】
首先利用平行线的性质得出,∠A=∠FBD ,∠D=∠ECA ,根据AB=CD 即可得出AC=BD ,进而得出△EAC ≌△FBD .
【详解】
证明:∵EA ∥FB ,
∴∠A =∠FBD ,
∵EC ∥FD ,
∴∠D =∠ECA ,
∵AB =CD ,
∴AC =BD ,
在△EAC 和△FBD 中,
ECA D A FBD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△EAC ≌△FBD (AAS),
∴EA =FB .
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
25.(1)21;(2)EF ⊥AD ,证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半可得ED =EB =
12AB ,DF =FC =12
AC ,再由AB =12,AC =9,可得答案;
(2)根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明.
【详解】
(1)∵AD 是高,
∴∠ADB =∠ADC =90°,
∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点, ∴ED =EB =12AB ,DF =FC =12AC ,
∵AB =12,AC =9,
∴AE +ED =12,AF +DF =9,
∴四边形AEDF 的周长为12+9=21;
(2)EF ⊥AD ,
理由:∵DE =AE ,DF =AF ,
∴点E 、F 在线段AD 的垂直平分线上,
∴EF ⊥AD .
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的判定,直角三角形的性质,掌握直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
四、压轴题
26.(1)(1,-4);(2)证明见解析;(3)()135,1,0APB P ︒
∠= 【解析】
【分析】
(1)作CH ⊥y 轴于H ,证明△ABO ≌△BCH ,根据全等三角形的性质得到BH=OA=3,CH=OB=1,求出OH ,得到C 点坐标;
(2)证明△PBA ≌△QBC ,根据全等三角形的性质得到PA=CQ ;
(3)根据C 、P ,Q 三点共线,得到∠BQC=135°,根据全等三角形的性质得到
∠BPA=∠BQC=135°,根据等腰三角形的性质求出OP ,得到P 点坐标.
【详解】
解:(1)作CH ⊥y 轴于H ,
则∠BCH+∠CBH=90°,
因为AB BC ⊥,
所以.∠ABO+∠CBH=90°,
所以∠ABO=∠BCH ,
在△ABO 和△BCH 中,
ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ABO BCH ∴∆≅∆
:BH=OA=3,CH=OB=1,
:OH=OB+BH=4,
所以C 点的坐标为(1,-4);
(2)因为∠PBQ=∠ABC=90°,
,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠
在△PBA 和△QBC 中,
BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
PBA QBC ∴∆≅∆
:.PA=CQ ;
(3) ()135,1,0APB P ︒
∠= BPQ ∆是等腰直角三角形,
:所以∠BQP=45°,
当C 、P ,Q 三点共线时,∠BQC=135°,
由(2)可知,PBA QBC ∴∆≅∆;
所以∠BPA=∠BQC=135°,
所以∠OPB=45°,
所以.OP=OB=1,
所以P点坐标为(1,0) .
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
27.(1)①E(3,﹣2)②见解析;③
1
2
OM
BD
,理由见解析;(2)OD+OA=2AM或
OA﹣OD=2AM
【解析】
【分析】
(1)①过点E作EH⊥y轴于H.证明△DOA≌△AHE(AAS)可得结论.
②证明△BOM≌△EHM(AAS)可得结论.
③是定值,证明△BOM≌△EHM可得结论.
(2)根据点D在点B左侧和右侧分类讨论,分别画出对应的图形,根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论.
【详解】
解:(1)①过点E作EH⊥y轴于H.
∵A(0,3),B(﹣3,0),D(﹣5,0),
∴OA=OB=3,OD=5,
∵∠AOD=∠AHE=∠DAE=90°,
∴∠DAO+∠EAH=90°,∠EAH+∠AEH=90°,
∴∠DAO=∠AEH,
∴△DOA≌△AHE(AAS),
∴AH=OD=5,EH=OA=3,
∴OH=AH﹣OA=2,
∴E(3,﹣2).
②∵EH⊥y轴,
∴∠EHO=∠BOH=90°,
∵∠BMO=∠EMH,OB=EH=3,
∴△BOM≌△EHM(AAS),
∴BM=EM.
③结论:OM
BD
=
1
2
.
理由:∵△DOA≌△AHE,∴OD=AH,
∵OA=OB,
∴BD=OH,
∵△BOM≌△EHM,
∴OM=MH,
∴OM=1
2
OH=
1
2
BD.
(2)结论:OA+OD=2AM或OA﹣OD=2AM.理由:当点D在点B左侧时,
∵△BOM≌△EHM,△DOA≌△AHE
∴OM=MH,OD=AH
∴OH=2OM,OD-OB=AH-OA
∴BD=OH
∴BD=2OM,
∴OD﹣OA=2(AM﹣AO),
∴OD+OA=2AM.
当点D在点B右侧时,过点E作EH⊥y轴于点H
∵∠AOD=∠AHE=∠DAE=90°,
∴∠DAO+∠EAH=90°,∠EAH+∠AEH=90°,∴∠DAO=∠AEH,
∵AD=AE
∴△DOA≌△AHE(AAS),
∴EH=AO=3=OB,OD=AH
∴∠EHO=∠BOH=90°,
∵∠BMO=∠EMH,OB=EH=3,
∴△BOM≌△EHM(AAS),
∴OM =MH
∴OA +OD= OA +AH=OH=OM +MH=2MH=2(AM +AH )=2(AM +OD )
整理可得OA ﹣OD =2AM .
综上:OA+OD =2AM 或OA ﹣OD =2AM .
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系,掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键.
28.(1)详见解析;(2)36(04)2BDE t t S -+≤<=;(3)存在,当78t =或43
时,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.
【解析】
【分析】
(1)先判断出EBC DAC ∠=∠,CEB CDA ∠=∠,再判断出BC AC =,进而判断出△BCE ≌△ACD ,即可得出结论;
(2)先确定出点A ,B 坐标,再表示出AD ,即可得出结论;
(3)分两种情况:当BD BE =时,利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-,即可得出结论;当BD DE =时,先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ,得出DM OD t ==,再用
OM BE =建立方程求解即可得出结论.
【详解】
解:(1)证明:
射线//BF x 轴, EBC DAC ∴∠=∠,CEB CDA ∠=∠, 又C 为线段AB 的中点,
BC AC ∴=,
在△BCE 和△ACD 中,
CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△BCE ≌△ACD (AAS ),
BE AD ∴=;
(2)解:在直线334
y x =-+中, 令0x =,则3y =,
令0y =,则4x =,
A ∴点坐标为(4,0),
B 点坐标为(0,3), D 点坐标为(,0)t ,
4AD t BE ∴=-=, 113(4)36(04)222
BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<;
(3)当BD BE =时,
在Rt OBD ∆中,90BOD ∠=︒,
由勾股定理得:222OB OD DB +=,
即2223(4)t t +=-
解得:78
t =; 当BD DE =时,
过点E 作EM x ⊥轴于M ,
90BOD EMD ∴∠=∠=︒,
//BF OA ,
OB ME ∴=
在Rt △OBD 和Rt △MED 中,
==BD DE OB ME
⎧⎨⎩, ∴Rt △OBD ≌Rt △MED (HL ),
OD DM t ∴==,
由OM BE =得:24t t =- 解得:43t =
, 综上所述,当78t =或43
时,使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.
【点睛】
本题是一次函数综合题,主要考查了平行线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
29.(1)45度;(2)∠AEC ﹣∠AED =45°,理由见解析;(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)由等腰三角形的性质可求∠BAE=140°,可得∠CAE=50°,由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=65°,即可求解;
(2)由等腰三角形的性质可求∠BAE=180°﹣2α,可得∠CAE=90°﹣2α,由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=45°+α,可得结论;
(3)如图,过点C作CG⊥AH于G,由等腰直角三角形的性质可得EH=2EF,CH=
2CG,由“AAS”可证△AFB≌△CGA,可得AF=CG,由勾股定理可得结论.
【详解】
解:(1)∵AB=AC,AE=AB,
∴AB=AC=AE,
∴∠ABE=∠AEB,∠ACE=∠AEC,
∵∠AED=20°,
∴∠ABE=∠AED=20°,
∴∠BAE=140°,且∠BAC=90°
∴∠CAE=50°,
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,且∠ACE=∠AEC,
∴∠AEC=∠ACE=65°,
∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=45°,
故答案为:45;
(2)猜想:∠AEC﹣∠AED=45°,
理由如下:∵∠AED=∠ABE=α,
∴∠BAE=180°﹣2α,
∴∠CAE=∠BAE﹣∠BAC=90°﹣2α,
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°,且∠ACE=∠AEC,
∴∠AEC=45°+α,
∴∠AEC﹣∠AED=45°;
(3)如图,过点C作CG⊥AH于G,
∵∠AEC﹣∠AED=45°,
∴∠FEH=45°,
∵AH⊥BE,
∴∠FHE=∠FEH=45°,
∴EF=FH,且∠EFH=90°,
∴EH2EF,
∵∠FHE=45°,CG⊥FH,
∴∠GCH=∠FHE=45°,
∴GC=GH,
∴CH CG,
∵∠BAC=∠CGA=90°,
∴∠BAF+∠CAG=90°,∠CAG+∠ACG=90°,
∴∠BAF=∠ACG,且AB=AC,∠AFB=∠AGC,
∴△AFB≌△CGA(AAS)
∴AF=CG,
∴CH AF,
∵在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2,
AF)2+EF)2=2AE2,
∴EH2+CH2=2AE2.
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定的动点问题,三个问题由易到难,在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系,层层推进去解答是关键.
30.(1)见解析;(2)见解析;(3)3
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论;
(2)过E作EF∥AC交AB于F,根据已知条件得到△ABC是等边三角形,推出△BEF是等边三角形,得到BE=EF,∠BFE=60°,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(3)连接AF,证明△ABF≌△CBF,得AF=CF,再证明DH=AH=1
2
CF=3.
【详解】
解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵DE=DC,
∴∠E=∠DCE,
∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB,即∠EDB=∠ACD;
(2)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∴BE=EF,∠BFE=60°,
∴∠DFE=120°,
∴∠DFE=∠CAD,
在△DEF与△CAD中,
EDF DCA
DFE CAD
DE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△DEF≌△CAD(AAS),∴EF=AD,
∴AD=BE;
(3)连接AF,如图3所示:∵DE=DC,∠EDC=30°,
∴∠DEC=∠DCE=75°,
∴∠ACF=75°-60°=15°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
在△ABF和△CBF中,
AB BC
ABF CBF
BF BF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
△ABF≌△CBF(SAS),
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠ACF=15°,
∴∠AFH=15°+15°=30°,
∵AH⊥CD,
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=3,
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE,∴∠BDE=75°-60°=15°,
∴∠ADH=15°+30°=45°,
∴∠DAH=∠ADH=45°,
∴DH=AH=3.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形和直角三角形的性质,三角形的外角的性质,等边三角形的判定和性质,证明三角形全等是解决问题的关键.。