无风险资产

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货币市场
• 为简单起见，我们考虑单位债券，其面值为一个本国货币 单位，即F=1。 一般地，债券可以在到期日之前的任何时间以市场价格卖 出。在时间t的价格我们用B(t,T)表示，特别地，B(0,T)是 债券在时间0的价格；B(T,T)=1等于面值。 按年复合利率满足方程 为m的按期复合，我们有 ，使用频率
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货币的时间价值
• 本课程中的时间单位为年。我们会将其他单位的期限（天、 周、月）转换成分数。
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货币的时间价值
• 在时刻s开始投资于时刻t到期的投资的收益率，我们用 K(s, t) 表示。收益率K(s, t)可以由下式给出，即
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货币市场
• 货币市场的多头是买资产，即支出货币；空头是借货币。 • 考虑一个在到期日之前终止的零息债券投资。投资在货币 市场上的初始金额为A(0);可以买 份债券；在 时间t,每份债券的价值为
因此，在时刻
，这个投资将达到
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货币市场
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货币的时间价值
• 注2.5 年金因子公式(2.8)用如下方法比较容易记忆，利用永续年 金公式，n个支付为C=1的序列可以表示成两个不同的永 续年金的差。一个从现在开始，另一个从n年以后开始(切 掉永续年金的尾部，就可以得到年金)，我们需要计算后 面的永续年金的现值，这可由折现因子(1+r)-n得到，所以 有
为方便，我们引入下列符号
(2.7)
这个数字称为年金的现值因子。
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货币的时间价值
• 年金的现值可表示为如下简单的形式，即
表达式PA(r,n)可以用下列公式简化
考虑情况
和
，于是有
(2.8)
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货币市场
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货币市场
• 一个投资者可以选择在到期日之前的任何时间购买债券， 此时，债券的价格仍然可以用未来时间的支付折现计算出。 • 息票可以表示为面值的分数倍。假设息票按年支付，我们 将记为 ，这里的i称为付息率(coupon rate)。 • 命题2.5 按年支付息票的债券，当且仅当债券的价格等于它的面值Байду номын сангаас时，付息率等于年复合利率。在这种情况下，我们说债券 按照面值卖出(at par)。
• 假设面值为F=100美元的债券1年后到期，按年复合利率r 为12%，那么该债券的现值应该为 V(0)=F(1+r) -1=89.29美元
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货币市场
• 因为债券可以自由交易，价格由市场决定，则利率可以由 价格推出，即 (2.13) 式（2.13）给出了隐含的按年复合利率。例如，面值为 100美元的1年期债券以91美元交易，那么隐含的利率为 9.89%。
• 在债券上的投资存在时间界限，它将在债券的到期日T， 以 终止。 • 为扩展超过时间T的货币市场头寸，可以将总额A(T)重新 投资于在时间T发行的债券，到期日T’>T。取A(T)作为初 始投资，T为开始时间，于是有
显然有
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货币的时间价值
• 支付流 年金是金额固定，时间间隔相等的有限的支付序列。假设 金额为C的支付每年支付一次，连续支付n年，第一次支 付是在一年以后。假设按年复合，我们计算该支付流的现 值。我们先计算出所有支付的现值，然后相加，于是有
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货币的时间价值
• 单利(simple interest)
– 假设一定量的资金存入银行账户，将得到利息 (interest)。 这个投资的终值 (future value)为初始的存款（称为本金， 用P表示）再加上从货币存入银行时开始计算的利息。 – 首先，我们考虑利息仅由本金产生的情况，且在投资期内本 金不变。我们容易得到如下单利公式，设在时刻s投资的本 金为P，那么对于在时刻t ( ) 的投资价值V(t)，有 V(t) = (1+ r(t-s)) P 式中r>0是利率，时刻t以年为单位，可以是任意的非负实数。 – 1+r(t-s) 称为增长因子 (growth factor)。这里我们假设r是常 数。
我们可以直接利用二项式公式验证如下，
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货币的时间价值
第一个不等式成立是因为不等式左边的每一项小于等于不 等式右边的每一项。第二个不等式是正确的，是因为不等 式右边的和式比左边多m-k非零（正）项。
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货币市场
• 零息债券
– 最简单的债券是零息债券，它仅包含一次支付。 – 发行机构（例如，政府、银行或者公司）承诺对交易的证券 支付确定的金额F，称为面值。 – 支付的日期为到期日，通常而言，零息债券的期限为1年； 面值为某一个整数字，例如100。 – 个人或机构买债券相当于贷款给债券的发行者。
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货币的时间价值
• 实际上，单利只用于短期投资以及特定类型的贷款和存款。 用它来描述长期的货币价值是不适用的。在多数情况下， 已经获得的利息可以再投资生产更多的利息。 • 按期复合 (Periodic Compounding)
– 如果每年支付m次利息，则两次支付的时间间隔按年计算将 是1/m年。第一次支付利息是在时间1/m。每一次利息支付都 将因子(1+r/m)加入本金。假设利率保持不变，t年以后，原来 的本金P将变成
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货币的时间价值
• 连续复合 本金为P，利率r>0，一年复合m次的终值公式(2.5)可以写为
令 式中，
，有
(2.10)
是自然对数的底数。这就是连续复合，相应的增长因子为 etr 的导数为 在连续复合的情况下，增长率与当前财富成比例。
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无风险资产
贺方毅 四川大学经济学院
货币的时间价值
• 一年以后获得的100美元的价值要少于今天的100美元， 其主要原因是
– 将来得到的或者在固定期限账户中的货币不能现在花费，因 此人们希望补偿延期消费。 – 其次，在此期间，价格可能会上涨，与现在相比，货币没有 相同的购买力。即，未来的支付在某种程度上具有不确定 性，以至于今天的价值将缩减以补偿风险。
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货币的时间价值
• 命题2.2 假设本金P和利率r相同，则与任意频率m的按期复合相 比，连续复合的价值更高。 命题2.2证明如下：
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货币的时间价值
• 在连续复合之下，现值可由下式给出 在这种情况下，折现因子为e-tr。给定终值V(T)，可以得到
因为在这期间有tm次利息支付。上式中，t必须是1/m的整数 倍， 是增长因子。
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货币的时间价值
• 命题2.1 参数m, t, r或者P中的任意参数增加，其他参数不变，则终 值V(t)增加。 证明命题2.1如下: 显然如果t, r或者P增加，则V(t)增加。为证明V(t)会随着m 的增加而增加，我们只需证明
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货币的时间价值
• 容易得出，V(t)的现值或者折现值的公式为
数值
为折现因子。
注2.1 固定住投资的最终价值V(t)。命题2.1的一个直接的推论 是，如果其他因子保持不变，而因子r, t, m中的一个或多 个减少，则现值增加。
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货币市场
• 注2.9 如果债券低于面值卖出，意味着隐含利率高于付息率（因 为当利率上升时，债券的价格是下降的）。如果债券的价 格高于面值，意味着利率低于付息率。这在现实环境中可 能是很重要的信息，因为债券的价格由市场决定，所以债 券价格给出了利率水平变动的暗示。 货币市场账户
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货币市场
• 货币市场(money market)由无风险（更精确的说法是无违 约）证券构成。例如债券，它是一种金融证券，该证券承 诺对持有者支付有保障的未来的支付序列。 • 无风险意味着这些支付具有确定性，不过，在这种情况 下，风险还是不能完全避免，因为这些证券的市场价格的 波动不可预测。
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货币的时间价值
• 注2.3 注意，初始银行存款
以利率r按年复合产生每次支付为C的n年支付序列。存款 C(1+r)-1一年后将变为C，这恰是第一次支付的年金。存款 C(1+r)-2两年以后变为C，为第二次年金支付。如此继续下 去，存款C(1+r)-n将是n年以后的最后一次年金支付。
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• 本章中我们只考虑无风险的这种情形。作为无风险资产的 典型例子，我们将考虑银行存款和债券。我们将主要研究 两个问题
– 什么是今天借入的或投资的金额的终值 (future value)？ – 什么是未来某个时间支付的或收到的金额的现值 (present value)？
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在连续复合的情况下，利率满足方程
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货币市场
• 注2.8 一般来说，隐含利率依赖于交易时间t和到期时间T。 附息债券 承诺一系列支付的债券称为附息债券(coupon bonds)。一 系列支付包括到期日支付面值和定期支付息票。
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货币市场
命题2.5的证明如下： 为避免符号的繁琐，我们举例证明。假设利率按年复合， r=i, 考虑面值F=100美元的债券，3年到期，T=3, 那么债 券的价格为
反之，注意 是r的一一对应函数（为严格减函数），于是一旦它恰好等 于面值，我们就得到r = i。
– 在货币市场投资可借助于金融中介实现，一般来说，投资银 行可以为客户买入或卖出债券（因此会减少交易成本）。投 资者的无风险资产头寸由投资者的银行账户的水平(level)给 出，为方便起见，我们将这个账户看做是可交易资产。实际 上确实如此，因为债券本身是可交易的。
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与按期复合情况相同，对于连续复合情况，由式(2.3)定义 的投资收益K(s,t)也是不可加的。为方便起见，我们引入 对数收益率
(2.12)
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• 命题2.3 对数收益率是可加的，即
命题2.3的证明如下：
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货币的时间价值
• 永续年金是在每年末发生的固定金额的无限支付序列。当 时，永续年金的现值公式可由式(2.7)取极限得 到，于是有
(2.9)
注2.4 永续年金的现值被分解成如式(2.9)中的无限个部分，每一 个产生的支付都是C。
• 给定将来某个固定时间T的价值V(T)，我们常常要计算在 时间0<t<T的投资的价值V(t)。容易得出，
而按期复合产生利息的存款的收益率
特别的，
这提供了一种给定收益率计算利率的简单的方法。
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货币的时间价值
• 注2.2 如果是按期复合，则存款的收益率是不可加的。为简单起 见，假设m=1，于是有
在单利的情况下，有 K(s, t) = r(t-s)
( 特别的，K(0,1)=r )
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货币的时间价值
• 我们很容易得出， 这个数值称为现值或者V(t)的折现值，
Example 2.2 (永续债券 (perpetuity))
为折现因子。
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