2020高考数学理人教通用版新增分一轮课件：第八章 立体几何与空间向量 8.5

判
定
a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，_________ m∩n＝O
a ⊥α
a∥b，_____ a⊥α
b⊥α
a⊥α，____ b⊂α 性 质
a⊥b
a⊥α，b⊥α
_____ a∥b
2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相
交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
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8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M DM⊥PC(或BM⊥PC等) 时，平面MBD⊥ 平面 是 PC 上的一动点，当点 M 满足 ______________________
√
π B.3
π C.4
π D.6
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4 6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为___. 解析 ∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC为直角三角形. 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， 得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC， 因此△ABC，△PBC也是直角三角形.
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )
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题组二 教材改编 2.下列命题中错误的是 A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
2 (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝3DA，求三棱 锥 Q－ABP 的体积.
思维升华
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化 .在一个平面内作交线的 垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列 结论正确的是 A.平面ABC⊥平面ABD C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE √ D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE B.平面ABD⊥平面BDC
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7. 如图，在斜三棱柱 ABC － A1B1C1 中， ∠BAC ＝ 90°， BC1⊥AC ，则 C1 在底面 AB 上. ABC上的射影H必在直线____
解析 ∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
跟踪训练2
(2018· 锦州调研)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的
正三角形，PA⊥PC，PB＝2.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若PA＝PC，求三棱锥P－ABC的体积.
解 因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，
所以 PA＝PC＝ 2.
由(1)知BO⊥平面PAC，
1 1 1 3 所以 VP－ABC＝VB－APC＝3S△PAC· BO＝3×2× 2× 2× 3＝ 3 .
多维探究
题型三 垂直关系的综合应用
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于
命题点1 直线与平面所成的角 例3
A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若 PA＝AB＝2，且当直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
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5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1， D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是
√
A.与AC，MN均垂直 B.与AC垂直，与MN不垂直 C.与AC不垂直，与MN垂直
D.与AC，MN均不垂直
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6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上 不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是 A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBC √ C.MN与BC所成的角为45° D.OC⊥平面VAC
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)AD⊥AC.
师生共研
题型二
平面与平面垂直的判定与性质
例2
(2018· 全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.
以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
大一轮复习讲义
第八章 立体几何与空间向量
§8.5 空间中的垂直关系
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识
题型分类 课时作业
自主学习
深度剖析
PART ONE
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基础知识 自主学习
知识梳理
ZHISHISHULI
1.直线与平面垂直 图形 条件 a⊥b，b⊂α(b为α内的 任意 一条直线) 结论 a ⊥α
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l √ D.m⊥n
解析 因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.
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2.(2019· 通辽模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确 的是 A.若l∥m，则必有α∥β C.若l⊥β，则必有α⊥β √ B.若l⊥m，则必有α⊥β D.若α⊥β，则必有m⊥α
解析 对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；
对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误； 对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确； 对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误.
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PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析 ∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA， 连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
定理
α⊥β
【概念方法微思考】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示
垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到
两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线 中的另一条也与平面内的那两条直线成 90°的角，即垂直于平面内的这两条 相交直线，所以垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂
直的性质.
跟踪训练1
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面
BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； 证明 在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF.
即O为△ABC的垂心.
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题组三 易错自纠
4.若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的
√
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立； 若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立， 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
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垂 心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的___ 解析 如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC， ∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，
正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；
(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若 不存在，请说明理由.
PART THREE
3
课时作业
基础保分练
1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则
∴在 Rt△PAC 中，AH＝
PA· AC PA2＋AC
2 3 ＝ 3 ， 2
2 3 3 3 AH ∴在 Rt△ABH 中，sin∠ABH＝ AB ＝ 2 ＝ 3 ，
3 即直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 3 .
命题点2 与垂直有关的探索性问题 例4 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F 在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
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PART TWO
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题型分类
深度剖析
师生共研
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D
例1
是BC的中点，F是CC1上一点.当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面 面垂直的性质.
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β √ 解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即 与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.
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3.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. 外 心； (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的___ 解析 如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
提示
垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这
两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行 .由线面平行的性
质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于
第三个平面.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ ) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × ) (5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.( √ )
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4.(2019· 大连适应性检测 ) 在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 BC1 ，
CD1的中点，则
A.MN∥C1D1
C.MN⊥平面ACD1
D.MN⊥平面ACC √
B.MN⊥BC1
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9 5.已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面垂直， 体积为4， 底面是边长为 3的 正三角形，若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 5π A.12
(2)判定定理与性质定理
文字语言 判定 如果一个平面过另一个平 面的一条 垂线 ，则两个平 面互相垂直 如果两个平面互相垂直， 性质 那么在一个平面内垂直于 定理 它们 交线 的直线垂直于另 一个平面
α∩β＝a ⇒ l⊥α l⊂β l⊥a
图形语言
符号语言
l⊂β ⇒α⊥β l⊥α
(1)求证：C1E∥平面ADF；
(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.
思维升华
对命题条件的探索的三种途径
途径一：先猜后证.
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充
分性. 途径三：将几何问题转化为代数问题.
跟踪训练3
如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的