【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-5双曲线课后强化作业 新人教A版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-5双曲线课后强化作业
新人教A 版
基础巩固强化
一、选择题 1．(2013·)双曲线
x 2－
y 2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >1
2B ．m ≥1
C ．m >1
D ．m >2 [答案]C
[解析]双曲线离心率e ＝1＋m >2，
所以m >1，选C.
2．(文)(2012·某某质检)已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±52x
C ．y ＝±1
2x D ．y ＝±6x
[答案]C
[解析]设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝c
a ＝5，c ＝
a 2＋
b 2，∴
a 2＋
b 2
a 2
＝
1＋(b a )2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2
x ，故选C.
(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3
3x ，若顶点到渐近线的距离
为1，则双曲线的方程为( )
A.x 24－3y 24＝1
B.3x 24－y 2
4＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－4y 2
3＝1 [答案]A
[解析]由渐近线方程为y ＝±33x 知，b a ＝33，
∴a ＝3b ，①
又顶点到渐近线距离为1，
∴|ba |a 2
＋b
2
＝1，②
由①②得，a ＝2，b ＝23
3
，∴选A.
3．(2013·某某六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，若顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A |sin A －sin C |
为( )
A.32
B.2
3 C.54D.45 [答案]C
[解析]设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |
||BC |－|AB ||
，
由双曲线的标准方程和定义可知，A 、C 是双曲线的焦点，且|AC |＝10，||BC |－|AB ||＝8. 所以sin B |sin A －sin C |＝5
4
，故选C.
4．(文)(2013·某某调研)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，
它的一个焦点在抛物线y 2＝48x 的准线上．则双曲线的方程为( )
A.x 29－y 227＝1
B.x 236－y 2
108＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2
9＝1 [答案]B
[解析]由题意可知⎩⎪⎨
⎪⎧
c ＝12，
a 2
＋b 2
＝c 2
，
b a ＝ 3.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝36，
b 2＝108.
所以选B.
(理)(2013·某某六校联考)设P (2，5)是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线上的一点，
E 、
F 分别是双曲线的左、右焦点，若EP →·FP →
＝0，则双曲线的方程为( )
A.x 23－y 24＝1
B.x 24－y 2
3
＝1
C.x 24－y 25＝1
D.x 25－y 2
4＝1 [答案]C
[解析]由条件易得b a ＝5
2，且(2＋c ，5)·(2－c ，5)＝(2＋c )(2－c )＋5＝9－c 2＝0，∴c 2
＝9，a 2＝4，b 2＝5，故选C.
5．(文)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆
C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )
A.x 242－y 232＝1
B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2
122＝1 [答案]A
[分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距，再根据双曲线的定义，求曲线C 2的标准方程．
[解析]在椭圆C 1中，因为e ＝
5
13
，2a ＝26，所以椭圆的焦距2c ＝10，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a ＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c ＝10，可知b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 2
3
2＝1，故选A.
(理)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点
相同，则双曲线的方程为( )
A.x 22－y 26＝1
B.x 26－y 2
2＝1 C.x 212－y 24＝1 D.x 24－y 2
12＝1 [答案]D
[解析]抛物线y 2
＝16x 的焦点坐标是(4,0)，于是有⎩
⎨
⎧
a 2＋
b 2＝4，a 2＋b 2
a
＝2，由此解得a 2＝4，
b 2＝12，故双曲线的方程是
x 24－y 2
12
＝1，选D. 6．(2013·某某二模)过已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)的左焦点F 1作⊙O 2：x 2＋y 2＝4的两条
切线，记切点为A ，B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率为( )
A.1
2B. 2 C.3D ．2 [答案]D [解析]如图，
∵∠OCA ＝60°，|OC |＝|OA |＝2， ∴∠AOC ＝60°，∠AF 1C ＝30°， ∴e ＝c a ＝|OF 1||OA |＝1sin30°＝2.
二、填空题
7．(文)若双曲线y 216－x 2
m ＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.
[答案]48 [解析]∵
16＋m
4
＝2，∴m ＝48. (理)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．
[答案]79
[解析]由题意知双曲线方程可设为m 2x 2－y 2＝1，从而e ＝m 2＋1>3，∵m >0，∴m >22，
故所求概率是79，故填7
9
.
8．(2013·某某某某质检)设双曲线x 29－y 2
16＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于
双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．
[答案]3215
[解析]c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝4
3(x －5)，即4x －3y －20＝0，
联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－6430，则S ＝12|AF |·|y B |＝12×(5－3)×6430＝32
15
.
9．(2013·大兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的
焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．
[答案]2 5
[解析]由⎩⎨⎧
y ＝b a
x ，x ＝－p
2，
解得⎩⎨⎧
y ＝－bp 2a
，
x ＝－p
2，
由题意得⎩⎨⎧ －bp
2a
＝－1，－p
2＝－2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝12，p ＝4，
又已知p
2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝
a 2＋
b 2＝ 5.
所以双曲线的焦距2c ＝2 5. 三、解答题
10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→
·MF 2→
＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． [解析](1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，
∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m
3－23，
kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2
－3
，
∵点M (3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，
∴kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，即MF 1→
·MF 2→
＝0.
法2：∵MF 1→
＝(－23－3，－m )， MF 2→
＝(23－3，－m )， ∴MF 1→
·MF 2→
＝(－23－3)×(23－3)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M 在双曲线上，
∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→
·MF 2→
＝0.
(3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.
(理)(2013·某某一模)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双
曲线E 的右支交于A ，B 两点．
(1)求k 的取值X 围；
(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →
＝m (OA →
＋OB →
)，求k ，m 的值． [解析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝2，a 2＝c 2－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝1，
c 2
＝2，
故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，
x 2－y 2＝1，
得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，
故⎩
⎪⎨⎪⎧
k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2
)×(－2)>0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
k >1，－2<k <2， 所以1<k < 2.
(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2
k 2－1，
∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2
(1＋k 2)(2－k 2)
(k 2－1)2
＝63，
整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.
又1<k <2，∴k ＝
5
2
， 所以x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.
设C (x 3，y 3)，由OC →
＝m (OA →
＋OB →
)得， (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)
＝(45m,8m )．∴x 3＝45m ，y 3＝8m . ∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±1
4.
故k ＝
52，m ＝±14
. 能力拓展提升
一、选择题
11．(文)(2013·某某一模)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(b >0，a >0)与抛物线y ＝1
8
x 2有一个公共焦点
F ，双曲线的过点F 且垂直于y 轴的弦长为23
3
，则双曲线的离心率等于( )
A ．2 B.23
3
C.322
D. 3 [答案]B
[解析]双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0,2)，由题意知(
3
3
，2)在双曲线上，于是⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝413b 2－4a 2＝－1
，得a 2＝3，b 2＝1，故e ＝c a ＝233，故选B. (理)(2013·某某皖南八校联考)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，
若双曲线的右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→
＝0，且△F 1PF 2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为( )
A.2
B. 3 C ．2 D ．5 [答案]D
[解析]设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且m >n ，|F 1F 2|＝2c ，由题可知△F 1PF 2为直角三角形且F 1F 2
为斜边．由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得
⎩⎪⎨⎪
⎧
m －n ＝2a ，
①
m 2
＋n 2
＝4c 2
， ②2m ＝n ＋2c ， ③
由①③得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2c －2a ，
n ＝2c －4a ，
代入②得(2c －2a )2＋(2c －4a )2＝4c 2，整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，等式两边同时除以a 2得e 2－6e ＋5＝0，解得e ＝5或e ＝1.因为双曲线的离心率e >1，所以e ＝5.
12．(2013·某某一模)已知A ，B 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点C 在双曲
线上，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A
sin B ＝21，则双曲线的离心率为( )
A.233
B.35
5
C.5
2
D. 5 [答案]D
[解析]依题意得sin A sin B ＝|BC ||AC |＝21，则|BC |＝2|AC |，又∠ACB ＝90°，所以|AB |
＝5|AC |，故双曲线的离心率e ＝|AB |||AC |－|BC ||
＝5|AC |
|AC |＝5，选D.
13．(文)若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为
双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →
的取值X 围为( )
A ．[3－23，＋∞)
B ．[3＋23，＋∞)
C ．[－74，＋∞)
D ．[7
4，＋∞)
[答案]B
[解析]∵a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23
－y 2
＝1.
设P 点坐标为(x ，y )，则OP →
＝(x ，y )，FP →
＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x
2
3
－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2
＝x 2
＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－7
4
.
又∵x ≥3(右支上任意一点)， ∴OP →·FP →
≥3＋2 3.故选B.
(理)设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一
点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝4
5
，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ±4y ＝0 [答案]C
[解析]在△PF 1F 2中，由余弦定理得， cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|
＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝4
5
.
所以|PF 1|＝
165
c . 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，所以c ＝5
3a .
代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±4
3
.
因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0. 二、填空题
14．(2013·某某)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在C 上存
在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
[答案]3＋1
[解析]由已知可得，|PF 1|＝2c cos30°＝3c ，|PF 2|＝2c sin30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1
＝3＋1.
15．(文)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．
[答案]23
3
[解析]由离心率e ＝2得，c
a ＝2，从而
b ＝3a >0，
所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a
≥2a ·13a
＝213＝233，当且仅当a ＝13a
， 即a ＝
3
3
时“＝”成立． (理)P 为双曲线
x 2－
y 2
15
＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．
[答案]5
[解析]双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2
＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.
三、解答题
16．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，其渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0
相切．过点P (－4,0)作斜率为7
4
的直线l ，交双曲线左支于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且满足|P A |·|PB |＝|PC |2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点M 为双曲线上一动点，点N 为圆x 2＋(y －2)2＝1
4上一动点，求|MN |的取值X 围．
[解析](1)设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ， 因为渐近线与圆(x －5)2＋y 2＝5相切， 则
|5k |
k 2＋1
＝5，即k ＝±1
2
，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x .
设双曲线方程为x 2－4y 2＝m ，将y ＝7
4
(x ＋4)代入双曲线方程中整理得，3x 2＋56x ＋112＋4m ＝0.
所以x A ＋x B ＝－56
3，x A x B ＝112＋4m 3
.
因为|P A |·|PB |＝|PC |2，点P 、A 、B 、C 共线，且点P 在线段AB 上，则(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16.
所以4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0.
于是4·(－563)＋112＋4m
3＋32＝0，解得m ＝4.
故双曲线方程是
x 2－4y 2＝4，即
x 24
－y 2
＝1. (2)设点M (x ，y )，圆x 2＋(y －2)2＝1
4的圆心为D ，则x 2－4y 2＝4，点D (0,2)．
所以|MD |2＝x 2＋(y －2)2＝4y 2＋4＋(y －2)2 ＝5y 2－4y ＋8＝5(y －25)2＋365≥36
5.
所以|MD |≥
655
， 从而|MN |≥|MD |－12≥125－5
10
.
故|MN |的取值X 围是[125－5
10
，＋∞)．
(理)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD
的中点为M (1,3)．
(1)求C 的离心率；
(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
[解析](1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a
2，①
由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2
b 2－a 2＝1，
即b 2＝3a 2，② 故c ＝
a 2＋
b 2＝2a ，
∴C 的离心率e ＝c
a
＝2.
(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，
A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 2
2<0，
故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， |BF |＝(x 1－2a )2＋y 21＝(x 1－2a )2＋3x 21－3a 2
＝a －2x 1， |FD |＝
(x 2－2a )2＋y 22＝
(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，
|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )
＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，
解得a ＝1，或a ＝－9
5.
故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2
(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6.
连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°，
因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
考纲要求
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 补充说明
1．数学思想的应用
(1)在双曲线的几何性质的讨论中，要注意方程思想的应用． (2)求双曲线的方程，离心率等，常常要讨论焦点在哪个轴上． (3)求取值X 围的问题、最值问题要注意函数思想的应用． (4)圆锥曲线的大部分题目，结合图形分析更有利于思路的打通．
2．双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝b
a ＝c 2－a 2a
＝
c 2
a 2
－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．
3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝c ，tan ∠AOB ＝b
a ，△OF 2D
中，|F 2D |＝b .
备选习题
1．(2013·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值
X 围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞) [答案]C
[解析]∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b
a x ，
则由题意得b a >2.∴e ＝c
a
＝
1＋(b
a
)2>
1＋4＝ 5.
2．(2012·某某文，8)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M 、N 是双曲线的两顶点，若M 、O 、N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A ．3
B ．2 C.3D. 2 [答案]B
[解析]本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长轴长为2a ，则双曲线实半轴长为2a 4＝a 2
，
因为椭圆与双曲线有公共焦点， 所以离心率的比值e 1e 2＝c a 2
c
a
＝2.
3．存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四
边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值X 围为( )
A ．(1，2)
B ．(1，3)
C ．(2，＋∞)
D ．(3，＋∞)
[答案]C
[解析]依题意，不妨设直线AC 的倾斜角为锐角，则直线AC 的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有b
a >tan45°＝1，双曲线的离心率e ＝
a 2＋
b 2
a
＝1＋(b a
)2>
1＋12＝2，则该双曲线的离心率的取值X 围是(2，＋∞)，选C.
4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 23－y 26＝1
B.x 24－y 2
5＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 2
4＝1 [答案]B
[解析]设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，
B (x 2
，y 2
)则有：⎩⎨⎧
x 21a 2
－y 21
b
2＝1，x 22a 2
－y
22b 2
＝1.
两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 2
5a
2，
又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以b 2＝5
4a 2，
代入a 2＋b 2＝9得，a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 2
5＝1，故选B.
5.
如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有：D 1A ＝D 1M ，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是( )上的一段弧．( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 [答案]A
[解析]因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以D 1D 为轴线，以D 1A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．故选A.
6．(2013·某某某某质检)已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－
y 2
2
＝1于A ，B 两点，且ON →
＝1
2
(OA →＋OB →)．
(1)求直线AB 的方程；
(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →
＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？
[解析](1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入
x 2－
y 2
2
＝1得， (2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*)
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k (2－k )2－k
2
. ∵ON →
＝1
2(OA →
＋OB →
)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，
∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1， ∴AB 的方程为y ＝x ＋1.
(2)将k ＝1代入方程(*)得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3， 不妨设A (－1,0)，B (3,4)． ∵CD →·AB →
＝0，∴CD 垂直平分AB .
∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ， 代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0，
令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)， 则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，
∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．
|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4|
＝
1＋k 2
(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝410，
|MC |＝|MD |＝1
2|CD |＝210，
|MA |＝|MB |＝210，
即A ，B ，C ，D 到M 的距离相等，∴A ，B ，C ，D 四点共圆．。