高三数学第二学期立体几何多选题单元达标测试提优卷试题

高三数学第二学期立体几何多选题单元达标测试提优卷试题
一、立体几何多选题
1．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE 沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（）
A．点A'到平面BCED的距离为3
B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为5 8
C．A'D⊥BD
D．四棱锥A'-BCED
237
【答案】ABD
【分析】
作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.
【详解】
如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.
则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,
∵'A M∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,
又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,
在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,
∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，
∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=43∴A'M3,∴A'H=A'M sin60°=3，故A正确；
连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,
∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，
DN=DA'=4,A'N=A'M3,
cos∠A'DN=
22
44125
2448
+-
=
⨯⨯
,故B正确；
A'D =DB =4,A'B=
22121627A N BN +=+=',
∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：
设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,
则HP =x ,易得()()
2
2
222433x x R +=-+
=,解得2
3
x =-,舍去；
故O 在平面BCED 下方，如图②所示：
设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P , 则HP =x ,易得()()
2
2
2
2
2433
x x R +=++
=, 解得23
x =
, ∴2
44371699R ⨯=+=,237R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.
2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 6 【答案】AC 【分析】
对A ，分别计算()
2
1++AA AB AD 和2
AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接
1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算
10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算
11
,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角
公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】
对A ，由题意，111
11cos602
⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
AA AB AA AD AD AB ，所以()
2
222
1
11112221113262
++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯
=AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()
2
2
2
2
21113=+=+⋅+=++=AC AB AD
AB AB AD AD ，
所以()()2
2
1
26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1
A O ，
1
111111
222
=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10
⋅=O AB A ，又因为21111111111110
222222224⎛⎫
⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭
O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，
所以()()2
2
11
=2,=3=
+-=
+AD A B A AB AC AB AD D ()()2
2
1
1
1
1
1
⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB
AB AD BD
，111cos ,2⋅<>=
=
=B AC D BD BD AC AC
D 不正确；对C
，112==AC BD ，在
1A AC 中，111,===A A AC AC 2
2
2
11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 1∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.
3．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为2
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面
11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F ∠==22
，所以C 正确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
2
，故D 错误. 故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2
EF =
则下列结论正确的是（ ）
A ．三棱锥A BEF -的体积为定值
B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小
C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为
12
D ．当
E 与1D 重合时，异面直线AE 与B
F 所成的角为π4
【答案】AC 【分析】
对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】
选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，
11122
12224
BEF S EF BB ∆∴=
⋅=⨯=
连接AO 交BD 于点O
由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,
所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即2
2
AO =
11221
3312
A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯==
A BEF V -∴是定值.
选项B:
连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，
AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AA
A EF
B ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，
在直角三角形1AA M 中，12
tan 2
MAA ∠=为定值. 选项C:
如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221
cos 452
FT EF =⨯=⨯=
12HG FT ∴== 选项D:
当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B =
==+=
2
AR =
由余弦定理得13cos AD R ∠= 故选：AC 【点睛】
本题考查空间几何体性质问题.
求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
5．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）
A ．直线A
B 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦
B ．点M 与点1
C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱
11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量
法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项
的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，
AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，
2232cos ,2288AB AM
AB AM AB AM a a ⋅⎡<>===⎢⋅⨯++⎣⎦
， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦
，A 选项正确；
对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，
1BD CC ∴⊥，
四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，
1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，
1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，
易知1A BD 是边长为22(1
2
3
22234
A BD S =⨯=△为22362=.
设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，
易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()
2
362
33⨯
⨯=，
则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，
AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得
1b =，()1,0,2E ∴，
所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，
()1,1,0EF =，
而()2,2,0DB =，1
2
EF DB ∴=
，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()
222
2212205BF =
-+-+-=，DE BF ∴=，
所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：
若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，
11//CC DD ，22
22222
MC AC DN AD ∴
===+， 11
222
MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
6．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且
AD AC
λ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，
下列结论不成立的是（ ）
A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '
B ．存在102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE
C ．若1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104
A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ2
3【答案】ABC 【分析】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.
对于B ，102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即
可判断出结论.
对于C ，1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33
BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，
则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，
因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.
对于B ，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因
此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：
可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010(
)1()21cos12022224
A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()31
33BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得33
λ=时，函数
()f λ取得最大值()3123
1339
f λ⎛⎫=
-=
⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.
7．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
【答案】ABD 【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项
A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以
AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，
故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此
ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.故选项D 正确;
故选：ABD 【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
8．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A ．棱的高与底边长的比为
22
B ．侧棱与底面所成的角为4
π C ．棱锥的高与底面边长的比为2 D ．侧棱与底面所成的角为
3
π 【答案】AB 【分析】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254
h a
=，然后可得侧面积为2
4
2108a a
+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后
求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h =
=，即254h a
= 所以其侧面积为222224
4
215410842244a a a h a a a
⋅⋅+=+=+令()24
2108f a a a =+，则()23
3
21084f a a a ⨯'=-
令()2
3
3
210840f a a a ⨯'=-=得32a =
当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减
当()
3
2,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增
所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =
所以棱锥的高与底面边长的比为
2
2
，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4
SAO π
∠=，故B 正确，D 错误
故选：AB 【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
9．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得CN A
B ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 【答案】BD 【分析】
对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出
AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断；
对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得
1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；
对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可. 【详解】
如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,
则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，11
2
NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =，
对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若
CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不
可能，故A 错误；
对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，
在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
22212422
AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；
如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，
对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；
对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12
2
BO =
，
2DM =，故22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面
积为4π，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.
10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A ．11A C ⊥平面11B
B D D B ．1BD ⊥平面1ACB
C ．1B
D 与底面11BCC B 2 D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条 【答案】ABD 【分析】
由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ． 【详解】
对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥， 由于四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥， 1
111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；
对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，
因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，
1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ，
1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，
1AC
B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确；
对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111
112
tan 2
C D C BD BC ∠=
=，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，
()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，
设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221
cos ,21DA m DA m DA m
y z ⋅<>=
=
=
⋅++， 1122
111cos ,2
21CB m z
CB m CB m
y z ⋅+<>=
=
=⋅⋅++， 整理可得2222
3
41
y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-
由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =± 因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中
线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。