行列式递推法例题

行列式递推法例题
行列式是线性代数中非常重要的概念，对于求解线性方程组、矩阵的秩、判断矩阵可逆性等问题有着广泛的应用。

行列式递推法则是一种求解行列式的方法，其基本思想是将行列式的求解问题转化为一系列的“子行列式”求解问题，并通过递归的方式依次计算得到最终的行列式值。

下面我们通过例题来详细介绍一下行列式递推法的具体步骤。

假设我们要求解一个4 * 4的行列式
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
1 &
2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
$$
第一步是选定一个“主元”，经典的方法是选择第一行或第一列的元素作为主元，这里我们选择第一列的第一个元素2作为主元。

然后去掉这个主元所在的行列，得到下面的$3*3$子行列式
$\begin{vmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&1&2\\\end{vmatrix}$。

第二步是递归求解上一步得到的子行列式。

这里我们仍然采用选择第一列的元素作为主元的方法，选择第一列的第二个元素1作为主元。

去掉这个主元所在的行列，得到下面的$2*2$子行列式
$\begin{vmatrix}2&1\\1&2\\\end{vmatrix}$。

第三步是继续递归求解上一步得到的子行列式。

这里子行列式仅有一个元素，直接计算得到其值为2。

第四步是利用上一步得到的子行列式的值，计算出第二步得到的子行列式的值。

根据行列式定义，
$\begin{vmatrix}2&1\\1&2\\\end{vmatrix} = 2^2 - 1^2 = 3$。

第五步是利用上一步得到的子行列式的值，计算出第一步得到的
子行列式的值。

根据行列式定义，
$\begin{vmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&1&2\\\end{vmatrix} = 2 *
\begin{vmatrix}2&1\\1&2\\\end{vmatrix} - 0 *
\begin{vmatrix}1&1\\1&2\\\end{vmatrix} + 0 *
\begin{vmatrix}1&2\\2&1\\\end{vmatrix} = 2 * 3 = 6$。

第六步是利用上一步得到的子行列式的值，计算出原始的行列式
的值。

根据行列式定义，$\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\
1 &
2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix} = 2 *
\begin{vmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&1&2\\\end{vmatrix} - 0 + 0 - 0 = 12$。

由此可见，行列式递推法的基本思想是将一个大的行列式分解为
一系列的子行列式，然后通过递归的方式依次计算出每个子行列式的值，最终得到整个行列式的值。

这种方法的适用范围很广，可以适用
于任意阶数的行列式的求解，而且其计算量也相对较小，非常适于计
算机实现。

因此，行列式递推法是线性代数中非常重要的一个概念，
熟练掌握这种方法对于提高计算效率、减少计算错误具有重要的意义。