22版：基本不等式（步步高）

a＋b2
(3)ab≤
2
(a，b∈R).
(4)a2＋2 b2≥
a＋b2
2
(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，和x＋y有最小 值 2 p .(简记：
积定和最小)
p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，积xy有最 大 值 4 .(简记：
89b× 2bc
8 9c－19＝79.
当且仅当b＝c时等号成立.
综上可得，cos A 的最小值是79.
核心素养 题型三 基本不等式的实际应用
例6 小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需 支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每 年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考 虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为 (25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年). (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
A.(－∞，－2]
B.[2，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
√D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 f(x)＝x＋1x， 当 x>0 时，f(x)＝x＋1x≥2 1＝2， 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等号成立. 当 x<0 时，f(x)＝－－x＋－1x≤－2 －x·－1x＝－2， 当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时，等号成立. 综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
题型二 基本不等式的综合应用
多维探究
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 设等差数9 列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sna＋n 8 的最小值是__2__.
解析 an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋2 n， 所以Sna＋n 8＝n1＋2 nn＋8＝12n＋1n6＋1≥122 当且仅当 n＝1n6，即 n＝4 时取等号， 所以Sna＋n 8的最小值是92.
A.2
√B.4
C.6
D.8
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4，故选B.
命题点2 常数代换法 例 2 若正数 m，n 满足 2m＋n＝1，则m1 ＋1n的最小值为
√A.3＋2 2
C.2＋2 2
B.3＋ 2 D.3
解析 因为2m＋n＝1，
则m1 ＋1n＝m1 ＋n1·(2m＋n)＝3＋mn ＋2nm≥3＋2 mn ·2nm＝3＋2 2， 当且仅当 n＝ 2m，即 m＝2－2 2，n＝ 2－1 时等号成立， 所以m1 ＋1n的最小值为 3＋2 2，故选 A.
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利 润＝累计收入＋销售收入－总支出)
a＋b 1.基本不等式： ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. a＋b
(3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R).
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号).
当且仅当21－1 x＝12－x，即 x＝－12时取等号，故 f(x)有最大值－32.
(2)已知 x>0，y>0 且 x＋y＝5，则x＋1 1＋y＋1 2的最小值为__12__.
解析 令x＋1＝m，y＋2＝n， ∵x>0，y>0，∴m>0，n>0， 则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴x＋1 1＋y＋1 2＝m1 ＋1n＝m1 ＋1n×18(m＋n)＝18mn ＋mn ＋2≥18·(2 1＋2)＝12. 当且仅当mn ＝mn ，即 m＝n＝4 时等号成立. ∴x＋1 1＋y＋1 2的最小值为12.
命题点3 消元法 例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为__6__.
解析 方法一 (换元消元法) 由已知得 9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·x＋23y2， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
n·1n6＋1＝92，
命题点2 求参数值或取值范围
例5 (2021·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
则实数a的最大值为
A. 2
√B.2 2
C.4
9 D.2
解析 ∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0， ∴m2＋2n2≥amn，即 a≤m2＋mn2n2＝mn ＋2mn恒成立， ∵mn ＋2mn≥2 mn ·2mn＝2 2， 当且仅当mn ＝2mn，即 m＝ 2n 时取等号， ∴a≤2 2，故实数 a 的最大值为 2 2，故选 B.
解 设大货车运输到第x年年底， 该车运输累计收入与总支出的差为y万元， 则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0<x≤10，x∈N*)， 由－x2＋20x－50>0， 可得 10－5 2<x≤10. 因为 2<10－5 2<3， 所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出.
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二 (代入消元法) 由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y
＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12 ＝3(1＋y)＋11＋2y－6≥2 31＋y·11＋2y－6 ＝12－6＝6， 当且仅当 3(1＋y)＝11＋2y，即 y＝1，x＝3 时取等号， 所以x＋3y的最小值为6.
跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)＝2x－2 1＋xx<12，则
A.f(x)有最小值52
B.f(x)有最小值－32
C.f(x)有最大值－12
√D.f(x)有最大值－32
解析 ∵x<12， ∴12－x>0，f(x)＝2x－2 1＋x ＝x－1 21＋x－12＋12 ＝－12－1 x＋12－x＋12≤－2＋12＝－32，
√A.f(x)有最小值 4
C.f(x)有最大值 4
B.f(x)有最小值－4 D.f(x)有最大值－4
解析 f(x)＝x－＋x12＝－xx2－＋11＋1 ＝－x－1＋x＋1 1＝－x＋1＋x＋1 1－2 ＝－(x＋1)＋－x1＋1＋2. 因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以 f(x)≥2 1＋2＝4， 当且仅当－(x＋1)＝－x1＋1，即 x＝－2 时，等号成立. 故f(x)有最小值4.
和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”.
微思考
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值； 若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0， 所以函数 y＝x＋1x无最小值.
引申探究 本例条件不变，求xy的最大值.
解 方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t，∴t>0， ∴9－t2≥2 3t，即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3， ∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴xy的最大值为3.
思维升华
(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等 式的条件，然后利用常数代换法求最值. (2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等 号成立的条件，从而得到参数的值或范围.
跟踪训练2 (1)已知不等式(x＋y) 1x＋ay ≥9对任意正实数x，y恒成立，则 正实数a的最小值为
题组二 教材改编 2.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
解析 ∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
3.已知函数f(x)＝x＋1x ，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.( × ) (2)(a＋b)2≥4ab.( √ ) (3)“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.( × )
(4)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为 4.( × )
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 9
例1 (1)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为__8__.
解析 x(3－2x)＝12·2x(3－2x)≤12·2x＋23－2x2＝98， 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时取等号.
(2)若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是
2 A.3
√B.79
1 C.3
5 D.9
解析 由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋c22－bcb＋3 c2
＝89b2＋289bc2c－29bc＝89b22＋bc89c2－19≥2×
故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积 是__2_5_ m2.
解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中 0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤x＋120－x2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2.
题组三 易错自纠
5.函数y＝x2＋x 1
1 (x>0)的最大值为__2__.
解析 y＝x2＋x 1＝x＋1 1x≤12. 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等号成立.
6.函数 y＝x－x21(x>1)的最小值为__4___.
解析 ∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝x－x21＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1 ＝(x－1)＋x－1 1＋2≥4. 当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，等号成立.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2 ＝－3y＋12＋y＋151y＋1－12 ＝－3(y＋1)－y＋121＋15≤－2 3y＋1·y＋121＋15＝3. 当且仅当 3(y＋1)＝y＋121，即 y＝1，x＝3 时取等号. ∴xy的最大值为3.
思维升华
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利 用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形， 利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
第一章 集合、常用逻式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用.
内容 索引
主干梳理 基础落实
题型突破 核心探究
课时精练
主干梳理 基础落实
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
知识梳理
多维探究
(2)已知 x>54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最小值为___5__.
解析 ∵x>54，∴4x－5>0， ∴f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3≥2 1＋3＝5. 当且仅当 4x－5＝4x－1 5，即 x＝32时取等号.
(3)已知函数 f(x)＝x－＋x12(x<－1)，则