华东理工大学概率论 卷积公式补充例子
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1 z F ( z ) e dxdy dx e dy e (1 e 2 ) 0 2 x z 2 2 x yz
y 1 y
2) 当 0 z 2 时
F ( z)
2 x y z
e dxdy 1
y
2 x y z
e dxdy 1 z dx
例、设随机变量 X ~ U ( 0 , 1) ， Y ~ E (1) ， 且它们相互独立，试求
Z 2 X Y 的密度函数 f Z ( z ) .
解：
1 0 x 1 f X ( x) , 0 其 他
e y f Y ( y) 0
y0 y0
百度文库
f Z ( z ) f X ( x ) f Y (2 x z )dx
例、设随机变量， 相互独立， ~ U (0,1),
在[0, 2]内服从辛普生分布，其概率密度函数
, 0 y1 y 为 ( y ) 2 y , y 1 2 0 , 其他 求随机变量 的概率密度。
1 e (2 x z ) dx e z (1 e2 ) / 2 0 1 (2 x z ) z 2 fZ ( z) e dx (1 e ) / 2 z/2 0
z0 0 z2 z2
解法二： F p
1)当 z 0 时 ,
y 2
1
2 x z
0
z 1 1 z 2 e dy e 2 2 2
y
3) 当 z 2 时, F ( z ) 1 ；
于是得到的密度函数：
e z (1 e 2 ) / 2， f Z ( z ) (1 e z 2 ) / 2， 0，
z0 0 z2 z2
y 1 y
2) 当 0 z 2 时
F ( z)
2 x y z
e dxdy 1
y
2 x y z
e dxdy 1 z dx
例、设随机变量 X ~ U ( 0 , 1) ， Y ~ E (1) ， 且它们相互独立，试求
Z 2 X Y 的密度函数 f Z ( z ) .
解：
1 0 x 1 f X ( x) , 0 其 他
e y f Y ( y) 0
y0 y0
百度文库
f Z ( z ) f X ( x ) f Y (2 x z )dx
例、设随机变量， 相互独立， ~ U (0,1),
在[0, 2]内服从辛普生分布，其概率密度函数
, 0 y1 y 为 ( y ) 2 y , y 1 2 0 , 其他 求随机变量 的概率密度。
1 e (2 x z ) dx e z (1 e2 ) / 2 0 1 (2 x z ) z 2 fZ ( z) e dx (1 e ) / 2 z/2 0
z0 0 z2 z2
解法二： F p
1)当 z 0 时 ,
y 2
1
2 x z
0
z 1 1 z 2 e dy e 2 2 2
y
3) 当 z 2 时, F ( z ) 1 ；
于是得到的密度函数：
e z (1 e 2 ) / 2， f Z ( z ) (1 e z 2 ) / 2， 0，
z0 0 z2 z2