大学工科数学分析期末考试_XX(试题)A

20XX年复习资料
大
学
复
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料
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一、填空题（每题4分，共20XX 分）
1.曲线积分(2,3)
(0,1)
()d ()d x y x x y y ++-=⎰
.
2. 设2222
22, 0(,)0, 0xy
x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，则(,)f x y 在（0,0）点 .
A. 连续；
B. 两个偏导数都存在；
C. 可微；
D. 存在任意方向的方向导数.
（选择ABCD 中的一个填空.） 3.
若
123,,1x x x
y x e y x e y x e ---=+=-=++为微分方程
12"()'()()y a x y a x y b x ++=的三个解，则该方程满足(0)'(0)0y y ==的特解
是 .
4. 在下列向量场中， 的散度为0. （选择ABCD 中的一个填空.）
A. ()cos ,cos ,sin y xy x xy z ；
B. ()2222,2,2x yz y xz z xy ---；
C. ()cos ,cos ,sin y xz z xy y ；
D. ()cos ,cos ,cos y z z x x y .
5. 圆柱面222(0)x y a a +=>介于0z =和5z x y a =++之间的曲面面积为 .
二、单项选择题（每题4分，共20XXXX 分）
（多选不得分）
本题分数 20XX
得 分
本题分数 20XXXX 得 分
6．若二阶连续可微函数(,)f x y 满足
0P P f f x
y
∂∂==∂∂，则 （ ）
（A ）只要
02
2
2
22
2
0P P P f f
f x y x y ⎛⎫
∂∂∂⋅->
⎪∂∂∂∂⎝⎭
，则0P 必为(,)f x y 的极小值点；
（B ）只要00
02
2222
2
0P P P f
f f x y x y ⎛⎫
∂∂∂⋅-<
⎪∂∂∂∂⎝⎭
，则0P 必为(,)f x y 的极大值点；
（C ）只要
00
022
2
22
2
0P P P f f f x y x y
⎛⎫
∂∂∂⋅->
⎪∂∂∂∂⎝⎭
，则0P 必为(,)f x y 的极值点； （D ）00
02
2222
2
0P P P f f f x
y x y ⎛⎫
∂∂∂⋅->
⎪∂∂∂∂⎝⎭
时，0P 未必为(,)f x y 的极值点.
7. 设曲线L 是从(1,0)-到(1,0)的上半圆周221x y +=，则第二类曲线积分
(,)d (,)d L
P x y x Q x y y +⎰
化为第一类曲线积分为 （ ）
（A ）[](,)(,)d L
xP x y yQ x y s -⎰；
（B ）[](,)(,)d L
yP x y xQ x y s -⎰；
（C ）[](,)(,)d L
yP x y xQ x y s -+⎰；
（D ）[](,)(,)d L
xP x y yQ x y s -+⎰.
8．在下列微分方程中以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++为通解的是（ ）
(A) '''''4'40y y y y +--=； (B) '''''4'40y y y y +++=；
(C) '''''4'40y y y y -+-=； (D) '''''4'40y y y y --+= ．
三、解答题（第20XXXX 题8分，其余每题20XXXX 分，共68分）
9. 计算三重积分d d d xyz x y z Ω
⎰⎰⎰, 其中Ω是球体2221x y z ++≤在第一卦限的部
分.
20XXXX. 求曲面积分d d d d d d y y z xz z x z x y ∑∧-∧+∧⎰⎰，其中
222:0 (12)x y z z ∑+-=≤≤，取上侧.
本题分数 68
得 分
20XXXX. 设函数()f u 具有二阶连续导数，函数(sin )x z f e y =满足方程
2222222(sin )x x z z
z e y e x y
∂∂+=+∂∂.
（1）验证：2''()()f u f u u -=；
（2）(0)0f =，'(0)0f =，求函数()f u 的表达式.
12．设曲线:sin L y a x =（从(0,0)到(,0)π），求积分3(1)d 2d L
I y x x y =++⎰，并
求0a ≥时积分I 的最小值.
13. 求微分方程组
1
23
2
13
3
12
d
d
d
d
d
d
x
x x
t
x
x x
t
x
x x
t
⎧
=+
⎪
⎪
⎪
=+
⎨
⎪
⎪
=+
⎪
⎩
满足初始条件
1
2
3
(0)1
(0)1
(0)0
x
x
x
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
的特解.
20XXXX. 如果向量场22222
1e ,,x
ax y x y b z A y x y
x y z ⎛⎫+-++=+-+
⎪++⎝⎭(220,0x y z +≠≠)的旋度为零向量，求常数,a b 的值以及向量场A 的势函数(,,)u x y z .
20XXXX. 证明曲面3(0)xyz a a =>的切平面与坐标平面围成的四面体的体积为常数．
一、 填空题
1.4； 2．B ； 3．1x y e x -=+-； 4．D ； 5．210a π
二、 选择题
6. (C) 7．(B) 8．（C ） 三、 9. 解：
2
22
1
1100
d d d d d d x x y xyz x y z x x y z ---Ω
=⎰⎰⎰⎰……………………………………(5分)
21112222
000111d (1)d (1)d 2848
x x x x y y x x x -=
--=-=⎰⎰ ………………(20XXXX 分)
20XXXX. 解：（方法一，投影法）由于
d d d d d d y z z x x y
x y z
==-，可得
d d d d d d d d xy y y z xz z x z x y xy z x y z ∑∑⎛⎫
-+=-++
⎪⎝
⎭
⎰⎰⎰⎰………………… (4分)
于是，2222221414
d d d d d d d d d d x y x y xy y y z xz z x z x y xy z x y x y x y z ∑≤+≤≤+≤⎛⎫
-+=
-++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰14
3
π=
………
(20XXXX 分)
（方法二，Gauss 公式）
设221: 1 (1)z x y ∑=+≤，取上侧，222: 2 (4)z x y ∑=+≤，取下侧，则
1
2
1
2
d d d d d d y y z xz z x z x y ∑∑+∑+∑
∑∑-+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
.……… (3分)
设Ω由12,,∑∑∑围成的区域，可得
1
2
7
d d d d d d 1d d d ()3
y y z xz z x z x y x y z V π∑+∑+∑
Ω-+=-⋅=-Ω=-⎰⎰⎰⎰⎰.…………… (6分)
同时，1
1
d d d d d d d d y y z xz z x z x y x y π
∑
∑-+==⎰⎰⎰⎰，
2
2
d d d d d d 2d d 8y y z xz z x z x y x y π
∑
∑-+==-⎰⎰⎰⎰，……………………………… (8
分)
所
以原式
14
3
π=.…………………………………………………………………… (20XXXX 分)
20XXXX.
解：设sin x u e y =，原
方
程
化
为
2''()()f u f u u -=……………………………………… (4分)
解之得
212()2u u f u C e C e u -=+-+………………………………………………… (8
分)
由初值可得
2()2
u u f u e e u -=+-+. ……………………………………………
(20XXXX 分) 20XXXX 解：
3333
4(1)d 2d (1sin 2cos )d (3)3
L
I y x x y a x ax x x a a π
π=++=++=
-+⎰⎰.……… (5分)
由于2'()4(1) (0)I a a a =-≥，可得I 的最小值为8(1)3
I π=-. .……………………… (20XXXX 分)
20XXXX 解 011101110A ⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
特征值为 121λλ==-，32λ=……………… (2分)
12121111001λληη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，，；331211λη⎛⎫
⎪== ⎪⎝⎭时， (5)
此时基解矩阵222()00t
t t t
t t
t e e e X t e e e e ----⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝
⎭ 通解为211222233()()0()0t
t t t
t t
t e e e x t C x t e
e C x t C e e ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭ (8)
1
123111*********C C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 故满足初始条件的特解为1
212223()1111()010110110()0t
t t t
t t
t e e e x t x t e
e x t e e -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭
…………………………………… (20XXXX 分)
20XXXX. 由于222
2((1))rot 0,0,(0,0,0)()
x b a y A x y ⎛⎫
+-== ⎪+⎝
⎭
，故1,0a b ==……………………………(4分) 由
22
e x
u x y
x x y
∂+=+∂+，可得()
221(,,)ln arctan (,)2x
u x y z x y C y z y
=
+++，根据
22
u x y
y y x y ∂-=-+∂+可得
(,)C y z y y ∂=∂，因此211(,)()2C y z y C z =+，再根据21u z z z ∂+=∂，知11
()ln C z z C z
=-+，综上可得 ()
222111
(,,)ln arctan ln 22x u x y z x y y z C y z
=
++++-+…………………………(20XXXX
分)
20XXXX .解: 设000(,,)P x y z 为曲面上一点,令3(,,)F x y z xyz a =-, 过
000(,,)
P x y z 的切平面方程为
000000000()()()0y z x x z x y y x y z z -+-+-=, (5)
即
000
1333x y z x y z ++=
该切平面在三个轴上的截距各为
3x x =，0
3y y =，0
3z z =,
所围四面体的体积300019
2762
V x y z a =
=……………………………(8分)。