人教版函数的概念与基本初等函数多选题 期末复习质量专项训练试卷

人教版函数的概念与基本初等函数多选题期末复习质量专项训练试卷一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数
123,12 ()1
,2
22
x x
f x x
f x
⎧--≤≤
⎪
=⎨⎛⎫
>
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
，则下列说法正确的是（）
A．若函数()
=-
y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为
11
,
246
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．关于x的方程*
1
()0()
2n
f x n N
-=∈有24
n+个不同的解
C．对于实数[1,)
x∈+∞，不等式2()30
xf x-≤恒成立
D．当1
[2,2](*)
n n
x n N
-
∈∈时，函数()
f x的图象与x轴围成的图形的面积为1
【答案】AC
【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】
当
3
1
2
x
≤≤时，()22
f x x
=-；当
3
2
2
x
<≤时，()42
f x x
=-；
当23
x
<≤，则
3
1
22
<≤
x
，
1
()1
222
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
当34
x
<≤，则
3
2
22
<≤
x
，
1
()2
222
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
当46
x
<≤，则23
2
<≤
x
，
11
()
2242
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
当68
x
<≤，则34
2
<≤
x
，
1
()1
224
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
依次类推，作出函数()
f x的图像：
对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =
，124=n k ，11,246⎛⎫
∴∈
⎪⎝⎭
k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1
()2
f x =
有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3
()2≤f x x
恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3
2y x =
上，故3()2≤f x x
恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为
11
1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．已知函数()2,0
21,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩
，则（ ）
A ．()f x 的值域为()1,-+∞
B ．当0a ≤时，()()
2
1f x f x >+
C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=
D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】
A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；
B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；
C ．作出
222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；
D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出
a 是否有解，并判断结论是否正确.
【详解】
A ．当0x >时，21011x
y -=->-=-，当0x ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭，取2a =，此时()2
111y x =+-≥-，
所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；
B ．当0a ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在
(],0-∞上单调递减，
又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，
又因为2
2131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，所以21x x +>，所以()()
21f x f x >+，故B 正
确；
C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：
由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2
y x ax =-+与21x y -=-相
交于()00,x y ，
因为点()00,x y 在函数2
y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2
y x ax =+的图
象上，
所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，
所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；
D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()2
11,0x
y -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，
且22
,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭
，若方程有三个根，则有2
4a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，
所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】
思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.
3．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）
A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数
B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2
211x y +-=的一个太极函数
C ．存在圆O ，使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数
D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：
()()
()22
2210x y R R -+-=>的太极函数
【答案】BCD 【分析】
利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】
对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACE
PCO
POD
DFB
S
S
S
S
===，所以该函
数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；
对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数
()sin 1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；
对于C ，()()
+1212
1+1+1+1
x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()1
1
111+11++1x
x
x x x
x e e e f x f x e e e
------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：2
2
1x y +=使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故
C 正确；
对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为
()()210m x y x y -+--=，
令2010x y x y -=⎧⎨
--=⎩，得2
1x y =⎧⎨=⎩
，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平
分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.
4．已知21,1,()ln ,
1,x
x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，下列正
确的是（ ）
A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；
B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；
C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；
D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】
令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】
令()0f x t =≥，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，
可得2210t t k -+-=， 当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =； 当5
8
k <
时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5
8
k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：
当5
8k =时，此时12
t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0，
此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
5．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z
+=
C ．4x y z +>
D ．24xy z <
【答案】AC 【分析】
令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：
111
log 3log 4log 12m m m x y z
===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】
由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111
x y z
+=，故选项B 错误； 对于选项A ，
124
log 12log 9log 03
m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064
m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；
对于选项C ､D ，因为
111x y z +=，所以xy
z x y
=+，所以()
()
()
()
2
2
2222
2
440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--=
=-
<++，
所以2
4xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；
故选：AC. 【点睛】
本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本
题解题的关键在于令34121x
y
z
m ===>，进而得
111
,,log 3log 4log 12
m m m x y z ===，再根据题意求解.
6．若定义在R 上的函数()f x 满足()
()
0f x f x ，当0x <时，
23
()22
f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）
A ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】
由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，
1(1)2(1)a x x =-++
+-+，0x >时，4
242
a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图
象，则可得知方程()2
a
f x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()
()
0f x f x 所以()()f x f x -=-，
所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，2
3
()22
f x x ax a -=-+， 所以2
3()()22
f x f x x ax a =--=-+-
， 综上2
232,02()0,03
2,0
2x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪
==⎨⎪⎪-+->⎩
，
若0x =是方程()2
a
f x ax =+的一个根，
则0a =，此时()2
a
f x ax =+
，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩
，在R 上单调递减，
当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，2
3222
a x ax a ax ++
=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，
所以21
(1)21(1)
x a x x x =-
=-++++-+， 当0x >时，2
3222
a
x ax a ax -+-
=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，
所以24
2422
x a x x x ==-++--，如图：
若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；
若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程()2
a
f x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.
7．已知函数()22,1
,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩
，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】
令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】
令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像
由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()2
2,1
,1
a a f a a a -≥⎧=⎨
<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()2
0f a a ==，解得：0a =；
综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
8．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常
数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0
x x >时，总有
()()()()00f x h x m h x g x m ⎧<-<⎪
⎨
<-<⎪⎩
，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}
|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）
A ．()2
f x x =，()
g x =
B ．()10
2x
f x -=+，()23
x g x x
-=
C ．()21
x f x x
+=，()ln 1ln x x g x x +=
D ．()221
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--
【答案】BD 【分析】
根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】
解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，
()()0,()()f x g x f x g x -→>．
对于①，()2
f x x =，()
g x =
当1x >时，令()()()2
F x f x g x x =-=，
由于()20
F x x '=-
>，所以()h x 为增函数，
不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()10
22x
f x -=+>，()23
2,(1)x g x x x
-=
<> ()()f x g x ∴>，
2313
()()10210x
x
x f x g x x x
--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，
因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；
对于③，21
()x f x x
+=，ln 1()ln x x g x x +=，
21111111
()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x
++-=-=+--=-
当1x >且x →∞时，
1x 与1ln x 均单调递减，但1x
的递减速度比1
ln x 快，
所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；
对于④，22()1
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--，
当x →∞时，
22()()220+1222
+1x x x f x g x x e x x e
--=-+++=→，且()()0f x g x ->，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.
二、导数及其应用多选题
9．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()3
2
1f x x x =-+
B ．()21x
f x e x =--
C ．()3ln 1,0()2,
x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩
D ．4()sin f x x x =
【答案】BC 【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】
解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；
0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()3
2
1f x x x =-+，()2
132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由
()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得2
3
x ≥
，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；
B 中，()21x
f x e x =--，()21x
f x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0
x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②，
∴函数()21x
f x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，
令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，
∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,
x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩，当0x <时，31
()01
f x x =
<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，
∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1
()201
F x x '=
-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，
∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；
D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，
而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．
10．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2-
C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x
+'∴=+=>， 当
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误；
对于D ，
函数()f x 和()h x 的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(2
e y k x -
=，即2e y kx =-，
则222
x e kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.。