福建省永安市高三数学质检试卷 理-人教版高三全册数学试题

2015年永安市普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差
锥体体积公式
s =
13
Sh
=
其中x 为样本平均数
其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh =234
4,3
S R V R ππ==
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是
A ．A i ∈1
B ．
11i
A i
+∈- C ．3i A ∈D ．i A -∈ 2.某校一次月考数学成绩ξ近似地服从正态分布(100,25)N ，且(110)0.98P ξ<=，则
(90100)P ξ<<=
A ．0．49
B ．0．52
C ．0．51
D ．0．48
3.“0mn >”是“方程2
2
1mx ny +=表示椭圆”的 A ．必要且不充分条件 B ．充分且不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.设公差不为0的等差数列{}n a 首项19a =，且4a 是1a 与8a 的
等比中项,则公差d = （ ）
A ．
1
9
B ．1
C ．6
D ．9 5. 函数2sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为
A 、
56π B 、23π C 、3π D 、6
π 6.执行右侧框图所表达的算法后，输出的n 的值是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.已知函数23,(1)()23,(1)
x x f x x x x +≤⎧=⎨-++>⎩，则函数()()x
g x f x e =-的零点
个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8.如右图所示，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，且2BF FO =，则FD FE ⋅= A ．34-
B ．89-
C ．14-
D ．4
9
-
9.已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦
点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为
A ．2
B ．2
C ．21+
D ．21-
10. 若函数3
2
()|1|f x x a x =+-（a R ∈），则对于不同的实数a ，函数()f x 的单调区间个数不可能
A.1个
B. 2个
C. 3个
D. 5个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11.某县三所学校A 、B 、C 分别在三个乡镇，其学生数量之比依次为5:3:2，现采用分层抽样方法获得了一个样本，如果样本中含有10名A 学校的
学生，那么此样本的容量是 ＊＊＊ .
12.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体外接球的表面积是 ＊＊＊ 2
cm . 13.设1
1
(sin 1)a x dx -=
+⎰，则二项式2
61()ax x
-展开式中的第6项的系数为＊＊＊．
14. 在平面直角坐标系xoy 中，设M
是由不等式组
)0
y y y ⎧+-≥⎪⎨
≥⎪⎩表示的区域，A 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向A 中随机投一点，则所投点落在M 中的概率是＊＊＊ . 15.对于函数3
2
2
()3(1)1,(0,f x ax x a x a a R =++++≠∈），甲、乙、丙三位同学的描述有且只有1人是错误．．
的. 甲：函数()y f x =在区间(1,0)-存在唯一极值点； 乙：对12,x R x R ∀∈∃∈,使得12()()1f x f a x +-=；
丙：函数()y f x =的图像与x 轴、y 轴以及直线1x =围成图形的面积不小于11
4
. 则符合条件的实数a 的取值X 围为 ＊＊＊ .
三．解答题;本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内. 16.（本题满分13分）
已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且1cos(A+C)=
2
， =2csinA a .
（Ⅰ）求cos C 的值；
（Ⅱ）当]2
,0[π∈x 时，求函数2
()sin 24cos cos f x x A x =+的最大值.
17. （本题满分13分）
（第
12题）
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，D 为AC 的中点， （I ）求证：AB 1∥面BDC 1
（II ）若二面角A —B 1D —A 1大小为450
，求直线AC 1与平面AB 1D 所成角的大小； 18. （本题满分13分）
随机变量X 的概率分布列如下表如示，且
7
,110
()1,2(1)
n P X n n n z n n ⎧=⎪⎪==⎨
⎪≥∈+⎪⎩且，
(Ⅰ)由分布列的性质试求n 的值，并求随机变量X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n 且质地相同的标签若干X ，从中任取1X 标签所得的标号为随机变量X ．现有放回的从中每次抽取一X ，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不小于．．．3的概率． 19. （本题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且过点(1,
2
． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由． 20. （本题满分14分）
已知函数(),(3),x
e f x a a Z x a
=
<∈+且 且函数()f x 在区间（－1，0）上单调递增，定义在R 上的函数2
()()(8)g x x b x =+-，且函数()g x 在1x =处的切线与直线
0x y -=垂直.
（I ）求函数()f x 与函数()g x 的解析式；
A
B
C
D 1
A 1
B 1
C
（II）已知函数
2
()(),2
()
4,2
f x
g x x
F x
e x
-
≠-
⎧
=⎨
-=-
⎩
，试问：是否存在实数,,
a b，其中[,](,4]
a b⊆-∞，使得函数()
F x的值域也为[,]
a b？若能，请求出相应的a、b；若不能，请说明理由.
21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
二阶矩阵A,B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.
(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A、B；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C BA
=,并求出曲线10
x y
--=在矩阵C对应的变换作用下的曲线方程.
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是2sin
ρθ
=，直线l的参数方程是
32,
5
4
5
x t
y t
⎧=-+
⎪
⎨
⎪=
⎩
（t为参
数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求||
MN的最大值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
若,,
a b c
+
∈R，且满足2
a b c
++=.
（Ⅰ）求abc的最大值；
（Ⅱ）证明：
2
9
1
1
1
≥
+
+
c
b
a
.
2015年永安市普通高中毕业班质量检查
理科数学参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.B
2.D
3.A
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.C 10.B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11.50 12. π3. 13.﹣12 ．14.
13
15.((1,2))-∞⋃-⋃+∞ 提示15.解析：（1）函数3
2
2
()3(1)1,(0,f x ax x a x a a R =++++≠∈）的值域为R,所以乙必正确。

（2）对于甲，'
2
2
'
'
()361,(2)(0)0f x ax x a f f =+++∴-<，
'233(1)3610,(
22
f a a a ---+∴-=-++<∴∈ （3）对于丙，当
1
233220
[0,1],(1)||,()0,[3(1)1]x a x a x f x S ax x a x dx ∈+≥∴≥∴=++++⎰
4322120
111111
[(1)]|1(1)142424
ax x a x x a a =++++=++++≥ 所以1
2
a ≥或1a ≤-
（4）答案为33(,
(1,2)[)22
--+-∞⋃-⋃+∞ 三．解答题;本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内. 16.（本题满分13分）
（Ⅰ）由1cos(A+C)=
2
，，知3A C π+=---------------------2分
又=2csinA a ，得
2sin sin a c
c A C ==， ∴1sin 2C =，6C π=，6
A π
=---------------------5分
故3
cos C =
---------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3
cos A =，
2()sin 223sin 2323f x x x x x =+=+2sin(2)33x π
=++分
∵]2,0[π∈x ，∴42[,]333
x πππ
+∈
当23
2
x π
π
+
=
，即12
x π
=
时，()f x 取得最大值为23+分
17. （本题满分13分）
（Ⅰ）连结C B 1，交1BC 于点M ,则M 为1BC 中点,又D 为AC 中点,故MD ∥1AB ,------------------3分 又因为11BDC AB 平面⊄,1BDC MD 平面⊂,所以
1AB ∥面1BDC . ------------------------5分
（Ⅱ）以1C 为原点,如图建立空间直角坐标系. 设
a
AA =1,则
)2,0,0(),0,,2(1B a A ,)0,0,2(),0,,1(1A a D ,)2,,2(1-=a A B ,)0,0,1(=DA ,)2,,1(1-=a D B ,)2,0,2(11-=B A ,-----------------------7分
设平面D AB 1的法向量为),,(z y x m =,则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
1DA m A B m ,
得),2,0(a m =, --------------------------------------------------------8分 同理得平面D B A 11的法向量为),1,(a a n =, ---------------------------------9分
n
m ,cos 45cos =︒,得
2
=a . -
------------------------------------------10分
)0,2,2(1--=AC ,)2,2,0(=m ,设直线1AC 与平面D AB 1所成角为θ,则
2
1
cos sin =θ,︒=30θ. ------------13分 18. （本题满分13分）
解：(Ⅰ)12
71711
()110(1)1021n
n
i i P X i i i n ====+=+-=++∑∑，所以4n =，------3分
----------------------------------------------6分
（Ⅱ）随机抽取一次取得标签的标号不小于3的概率为
112+
1202
15
=………………………………………………9分 所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为
2
2
3
22**(1)1515C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
=521125………………………………………13分
19. （本题满分13分）
解：（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
，
∴2
2
2a c =，2
2
2a b =
，又过点， …………………………………2分 ∴
222221*********b a b b b
+=⇒+=⇒= ∴2
2a =，
故所求椭圆的方程为2
212
x y +=…………………………………5分
（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，
整理得222(21)4220k x kmx m +++-=（﹡） 方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>， 所以0,∆=得2221m k =+………8分
假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由 221212121222()21
()()
1
1
k km k k m k m d d k k ++++++⋅=
=
++λλλλλλ 212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立,
所以， 1212
210+=⎧⎨+=⎩λλλλ解得，11
2211
11==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或 当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意.
综上，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，使它们到直线l 的距离之积等于1.………13分 20. （本题满分14分）
解：（I ） ，
因为函数()f x 在区间（-1，0）单调递增，
1102,a a ∴-+-≥⇒≥3,,2a a Z a <∈∴=———————2分
'2()328,g x x bx =+-函数()g x 在1x =处的切线与直线0x y -=垂直，'(1)1,2g b ∴=-∴=———————4分
∴函数()f x 与函数()g x 的解析式为：()2
x
e f x x =+，
2()(2)(8)g x x x =+-————————6分
（II ）当2x ≠-时，2
()()()(8),x
F x f x g x e x ==-又
2(2)4F e --=-
2()(8),x F x e x ∴=-'2()28x x x F x xe x e e ∴=+-，令'()04,2F x x x >⇒<->
()--4],[2,),F x ∴∞+∞的单调递增区间为（，单调递减区间为[-4,2] 424,()0,(4)8,(2)4,(4)8x F x F e F e F e -→-∞→-==-=又
--------8分
令2()()(8),x h x F x x e x x =-=--则'2
()(28)1x h x e x x =+--
，当4]x ∈，
'()0h x >
又
(22)0,(3)0h
h <>，0x ∴∈存在唯一的，使得0()0,h x =即
'2
(1)()()
x
e x a
f x x a +-=
+
00()F x x =。

------10分
又4
8y e -=与y x =
的交点的横坐标小于
，4
0()(4)8F x F F e -∴>>-=————12分
所以令2
08,a e b x -=-=，则[,](,4]x a b ∈⊆-∞，函数()F x 的值域仍为[,]a b 。

—
———14分
21. (1) （本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
解:(Ⅰ)由题意,二阶矩阵A 对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,
故10102A ⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
二阶矩阵B 对应的变换是逆时针旋转0
90的旋转变换,故0110B -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
…………4分
(Ⅱ) C=BA =0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭10102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,10210C ⎛⎫- ⎪∴= ⎪⎝⎭
设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y
10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12x n
y m
⎧
=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-= …………7分 （2）．（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为
22sin ρρθ=……………………………………………2分
又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，
所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3
y x =--…………5分
令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =
，则MC 6分
word
所以1MN MC r +=≤………………………7分
（3）．（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为,,a b c +∈R ，所以332abc c b a ≥++=，故278≤abc ．………….3分 当且仅当32=
==c b a 时等号成立，所以abc 的最大值为278. ………….4分
（Ⅱ）证明：因为,,a b c +∈R ，且2a b c ++=，所以根据柯西不等式， 可得111a b c ++=()12a b c ++（111a b c
++） ………….5分
=2222221
]]2++⨯++
≥212=92． 所以
29111≥++c b a . ………….7分。