2022年全国一卷理科高考数学模拟试卷(二)解析版

2022年全国一卷理科高考数学模拟试卷（二）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分.考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集{1,2,3,4,5}U =,{3,4,5}A =,{1,2,5}B =,则{}1,2=（ ） A ．A
B
B ．
(
)U
A B ⋂
C ．(
)U
A B ∩
D ．
(
)()U
U A B ⋂
【答案】B 【解析】{}5A
B =,故A 不正确；()
{}1,2U A B =,故B 正确；(
){}3,4U
A
B =,故
C 不正确；
(
)()U
U A B ⋂=∅,故D 不正确.故选B
2．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位),则下列说法正确的是（ ）
A ．z 的虚部是-i
B ．Z 是实数
C ．
z =D ．2z z i +=
【答案】C
【解析】()()()22122211112
i i i i i
z i i i i ++=
===---+-.对选项A,z 的虚部是1-,故A 错误.
对选项B,1z i =-为虚数,故B 错误.对选项C,z ==故C 正确.
对选项D,112z z i i +=-++=,故D 错误.故选C
3．设x ,y ∈R ,则“1≥x 且1y ≥”是“221x y +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为1x ≥且1y ≥,所以21x ≥且21y ≥,所以2221x y +≥>；若221x y +≥,可取0x =,1y =-,不满足1x ≥且1y ≥,所以前者是后者的充分不必要条件,故选A.
4．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也
可以用2sin18︒
表示.若实数n 满足2
2
4sin 184n ︒
+=,则221sin188sin 18
n ︒
︒
-=（ ） A ．
14
B ．
12
C
D
【答案】A
【解析】根据题中的条件可得
()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒
===
︒︒⨯︒︒
︒-︒()1sin181sin181
1cos7241cos72482
-︒-︒=
==
-︒-︒⨯
.故选A ． 5．已知非零向量a ,b 满足23
3
a b =,且()
a b b -⊥,则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
3
π
C ．
23
π D ．
56
π 【答案】A
【解析】因为()
a b b -⊥,所以()
0a b b -=,即2
0a b b ⋅-=,得2
cos 0a b θb -=, 又因为233
a b =,2
2cos 0b θ
b -=,得cos θ=,所以6πθ=.故选A 6．若实数x 、y 满足20
x y y x y x b -≥⎧⎪
≥⎨⎪≥-+⎩
,且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值（ ）
A ．2
B ．
94
C ．
52
D ．3
【答案】B
【解析】画出可行域如图所示,
将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+,平移直线 2y x =-,当过点B 时,在y 轴上的截距最小,
此时目标函数取得最小值,由20x y y x b
-=⎧⎨=-+⎩得2()33b b B ，,则22333b b ⨯+
=,解得9
4b =,故选B. 7．设函数()f x 和()g x 的定义域为D ,若存在非零实数c D ∈,使得()()0f c g c +=,则称函数()f x 和
()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =,()2g x x =；②()2-=x f x ,()x g x e =-；③
()2f x x =-,()2x g x =,其中具有性质P 的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】B
【解析】对于①,()()2
f x
g x x x +=+,则()()11110f g -+-=-+=,合乎题意；对于②,
()()20x x
f x
g x e -+=-=,可得102x
x e ⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
,即()21x e =,解得0x =,不合乎题意；对于③,()()22x f x g x x +=-+,则()()2222220f g +=-+=,合乎题意.因此,具有性质P 的是①③.
故选B.
8．已知锐角ϕ
cos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21
sin 2
f x x ϕ=
-+的图象,则可以将函数1
sin 22
y x =的图象（ ）．
A ．向左平移7π
12个单位长度
B ．向左平移
π
12个单位长度 C ．向右平移7π
12
个单位长度
D ．向右平移π
12
个单位长度
【答案】A
cos 1ϕϕ-=知：2sin()16π
ϕ-
=,即1
sin()62
πϕ-=
,
∴锐角3
π
ϕ=
,故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛
⎫=
-+=-+=+ ⎪⎝
⎭, 又
12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+,∴17()sin(2)26f x x π
=+,故()f x 是将1sin 22
y x =向左平移7π
12个单位长度得到,故选A
9．在ABC 中,角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．若2cos b a A =,222a b c ab +-=,则下面式子中不可能成立的是（ ） A ．a c b << B ．a b c ==
C ．c b a <<
D ．2
2
3
sin sin sin sin 4
B A A B +-=
【答案】C
【解析】因为2
2
2
a b c ab +-=,所以2221cos 22
a b c C ab +-==,而
(0,)
C π∈,所以3C π=, 又2cos b a A =,由正弦定理得sin 2sin cos sin 2B A A A ==,,A B 是三角形内角,所以2B A =或
2B A π+=,若2B A =,则由3
C π
=
得,29A π=
,49
B π
=,则a c b <<,A 可能成立,
若2B A π+=,则由3
C π
=
得,3
A B π
==
,则a b c ==,B 可能成立,此时若c =
则222223
2cos 4
a b ab C a b ab c +-=+-==
,D 可能成立,只有C 不可能成立．故选C ． 10．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形,PA a =,点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心,当三棱锥P ABC -体积最大值时,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．3
B ．23a π
C 3a
D ．212a
【答案】B
【解析】如下图所示,延长PH 交BC 于点D ,连接AD ,
H 为PBC 的垂心,则BC PD ⊥,AH ⊥平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,BC AH ∴⊥,
AH
PD H =,BC ∴⊥平面PAD ,
AD ⊂平面PAD ,BC AD ∴⊥,连接BH 并延长交PC 于点E ,连
接AE ,
AH ⊥平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,AH PC ∴⊥,BE PC ⊥,AH
BE H =,PC ∴⊥平面ABE ,
AB ⊂平面ABE ,AB PC ∴⊥,设点P 在平面ABC 内的射影为点O ,延长CO 交AB 于点F ,连接PF ,
PO ⊥平面ABC ,AB
平面ABC ,PO AB ∴⊥,
PO
PC P =,AB ∴⊥平面PCF ,
PF 、CF ⊂平面PCF ,则PF AB ⊥,CF AB ⊥,
AD CF O =,O ∴为正ABC 的中心,且F 为AB
的中点,
PO ⊥平面ABC ,OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ,PO OA ⊥,PO OB ⊥,PO OC ⊥,且
OA OB OC ==,所以,POA POB POC ≅≅,PA PB PC a ∴===,当PB PC ⊥时,PBC 的面积取最
大值,当PA ⊥平面PBC 时,三棱锥P ABC -的体积取得最大值,将三棱锥A PBC -补成正方体
AEMN PBDC -,
所以,三棱锥A PBC -的外接球的直径即为正方体AEMN PBDC -的体对角线长,设三棱锥A PBC -的外
接球直径为2R ,则2R =,因此,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为
()2
22423R R a πππ=⨯=.故选B.
11．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F,左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线
交于B,C 两点,若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A ．12
±
B ．2
±
C ．1±
D ．【答案】C 【解析】
,
,
,
,所以
,
根据
,所以,代入后得,整理为,所以该双曲线渐近线的斜率是
,故选C.
12．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,且当[]0,3x ∈
时,()2
x f x xe
-
=,若关于x 的不等式
()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,则实数t 的取值范围是（ ）
A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1
322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．312
3,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．112
,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,所以()()()6f x f x f x -==-,即()()6+f x f x =, 所以函数()f x 是以6为周期的周期函数,当[]0,3x ∈时,()2
x
f x xe
-=,所以()2
2
x
x f x e -
'=（1-）,
当02x ≤<时,()0f x '>,函数()f x 递增；当23x <≤时,()0f x '<,函数()f x 递减； 当当2x =时,函数()f x 取得极大值()2
f x e
=
,作出函数()f x 在(3,3]-上的图象,如图所示：
因为不等式()()2
0f
x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,所以不等式()()20f x tf x ->在
(3,3]-上有且只有3个整数解,当()0f x =时,不符合题意,故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数
解,因为()()132
2
133,f e f e
--==,所以
()()
33
11f f e
=
>,即13f f ,故不等式
()f x t >在(3,3]-上的3个
整数解分别为-2,2,3,所以,()()13f f t <<,即3
21
23t e e --<<,故选B
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分
13. 某工厂生产A ,B ,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a =______. 【答案】5 【解析】由题意,
60
5120
a a =+,解得5a =． 14．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ,过点F
l 交C 于A ,B 两点,以线段
AB 为直径的圆交y 轴于M ,N 两点,设线段AB 的中点为Q ,若点F 到C 的准线的距离为3,则sin QMN
∠的值为______． 【答案】
58
【解析】抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为(
,0)2p
F ,准线方程为2
p x =-,由题意得3p =,则抛物线方程为2
36,(,0)2y x F =,则直线AB
的方程为3)2y x =-,
由23)26y x y x ⎧
=-⎪⎨
⎪=⎩,得22731504x x -+=,设,A B 的横坐标分别为12,x x ,则125x x +=,所以AB 的中点Q
的坐标为5
(2
,
12538AB x x p =++=+=,则圆Q 的半径为4,在QMN 中,5
52sin 48
QMN ∠==,故答案为
5
8
15．新冠疫情期间,甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人,且乙家庭有一个小孩,丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上,不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻）,小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法. 【答案】9216
【解析】由题甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行两类：（1）甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步处理如下：①先甲、丙选行,有12C 种；②再甲、丙选左右两边,有1
2C 种；③两边分别排甲、丙,甲、
丙间隔一个位置,有32
32A A 种；④排乙,乙在甲、丙另一行,又分3人相邻和只2人相邻两类, 3人相邻有13
43C A ,只2人相邻有1222
42C A A 种故共有()
1132122132232242433456C C A A C A A C A +=种； （2）乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步处理如下①先乙、丙选行,有12C 种；②再乙、丙选左右两边,有1
2C 种；
③两边分别排乙、丙,乙、丙间隔一个位置,有3232A A 种；④排甲,甲在乙、丙另一行,有3
6A 种,
故共有12323
223265760C C A A A =种坐法由（1）（2）共有345657609216+= 种. 16．已知a ,b R ∈,满足22x
x x b
e e a e
+
≥-对任意x ∈R 恒成立,当2a b +取到最小值时,2a b +=______. 【答案】24
【解析】令x t e =,则0t >,所以22b
t t a t
+
≥-,即3220t t at b -++≥对于0t >恒成立, 令32()2f t t t at b =-++()0t >,因为(2)8822f a b a b =-++=+,因为对于0t >时()0f t ≥恒成立, 所以20a b +≥,当2a b +取最小值时,即20a b +=,此时在2t =时()f t 有最小值,因为函数()f t 的定义域
为(0,)+∞,()202t ∈+∞=，
，不是区间端点值,又在(2)f 处取得最小值,所以(2)f 也是函数的一个极小值,且2()34f t t t a '-=+,所以(2)3480f a '=⨯-+=,得4a =-,从而8b =故224a b +=.
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.
(一)、必考题：共60分
17.(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且645,62.a S =-=- （1）求{}n a 通项公式；
（2）求数列{||}n a 的前n 项和.n T
解：（1）在等差数列{}n a 中,因为645,62a S =-=-, 所以1155,4662a d a d +=-+=-, 解得 120,3a d =-=,(3分)
所以 1(1)323n a a n d n =+-=-.(5分) （2）令3230n a n =-≥,解得23
3
n ≥
, 当7n ≤时,0n a <,当8n ≥时,0n a >,(7分)
所以当7n ≤时, ()()1221343 (2)
n n n n n a a a a a T a -=-+=----++=-,(9分)
当8n ≥时, 12789......n n T a a a a a a =----++++, ()()()
127123432 (1542)
n n n a a a a a a -=-+++++++=
+,(11分) 所以()()343,72
343154,82
n n n n T n n n ⎧--≤⎪⎪=⎨
-⎪+≥⎪⎩.(12分) 18.(12分) 在三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==
,1AA =AB AC ⊥,1B C ⊥平面ABC ,E 是1BC 的中点.
（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 解：（1）由1B C ⊥平面ABC ,AB
平面ABC ,得1AB B C ⊥,(2分
)
又AB AC ⊥,1CB AC C =,故AB ⊥平面1ABC ,(4分)
AB
平面11ABB A ,故平面11ABB A ⊥平面1ABC
.(5分) （2）以C 为原点,CA 为x 轴,1CB 为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()1,1,0B
又BC =
11BB AA == 故11CB =,()10,0,1B ,
1
0,0,
2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,()1,0,0CA =
()111,1,1AA BB ==--,11,0,2AE ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭(7分)
设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =,则
10
0n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
,即00x x y z =⎧⎨--+=⎩,令1y =,则1z =, ()0,1,1n =,(9分) 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ,
故1
sin 2n AE n AE
θ⋅=
=
=
, 即直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值为
10
.(12分)
19.(12分) 椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点()2,3M ,其上､下顶点分别为点A ,B ,且直线AM ,MB 的斜率
之积为34
AM BM k k ⋅=-
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线,分别交椭圆C 于另一点S ,T .若2QS QT k k +=,求证：直线ST 过定点.
（1）解：∵()0,A b ,()0,B b -, ∴333
224
MA MB b b k k -+⋅=
⋅=-,解得212b =, 将212b =,()2,3M 都代入椭圆方程,得216a =,
∴椭圆方程为22
11612
x y +=；(5分)
（2）证明：设()11,S x y ,()22,T x y ,直线ST 的方程为y kx t =+.
将y kx t =+代入椭圆方程,整理得()
222
3484480k x ktx t +++-=,
122843kt x x k +=-+,2122448
43
t x x k -=+,(7分)
由1212244y y x x +=++,得1212244
kx t kx t
x x +++=++. 整理,得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=,
即()()22
24488224883204343t kt k k t t k k -⎛
⎫-⋅++-⋅-+-= ⎪++⎝⎭
. 化简,得()2
2
8316120t k t k k -+++=,
即()()4430t k t k ---=.(10分)
当4t k =时,直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+,恒过左顶点,不合题意 当43t k =+时,直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++,恒过点()4,3-.
∴直线ST 过定点()4,3-.(12分)
20.(12分) 某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成,各个电子元件能否
正常工作的概率均为
1
2
,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有超过一半的电子元件正常工作,则G 可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元. (1)求系统不需要维修的概率；
(2)该电子产品共由3个系统G 组成,设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用,求ξ的分布列与期望; (3)为提高G 系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p ,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C 可以正常工作,问:p 满足什么条件时,可以提高整个G 系统的正常工作概率?
解：（1）系统不需要维修的概率为23
233
311112222
C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2分)
（2）设X 为维修维修的系统的个数,则13,2X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
,且500X ξ=, 所以()()3311,0,1,2,325002k
k
k P P k X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
==.
所以ξ的分布列为
所以ξ的期望为()50037502
E ξ=⨯⨯
=. (7分) （3）当系统G 有5个电子元件时,
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作,G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作,
则概率为2
1223
113
228
C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；
若前3个电子元件中有两个正常工作, 同时新增的两个至少有1个正常工作,
则概率为()()22
2122232311113122222
8C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
若前3个电子元件中3个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作,
系统G 均能正常工作,则概率为3
331128
C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.
所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848
p p p p +-+=+, 于是由()3113
214828p p +-=-知,当210p ->时,即112
p <<时,
可以提高整个G 系统的正常工作概率. (12分)
21.(12分) 已知函数()2
2ln ln f x x x a x =---.（a R ∈）
（1）令()()g x xf x '=,讨论()g x 的单调性并求极值； （2）令()()2
2ln h x f x x =++,若()h x 有两个零点；
（i ）求a 的取值范围；
（ii ）若方程()ln 0x
xe a x x -+=有两个实根1x ,2x ,且12x x ≠,证明：12
2
12
x x e e
x x +> 解：（1）因为()2ln 1x a
f x x x
'=-
- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--,()0,x ∈+∞ 则()2
x g x -'=
,
所以()g x 单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞ 极小值为()222ln 2g a =--,无极大值. (4分) （2）（i ）()ln h x x a x =-有两个零点. 因为()1a x a
h x x x
-'=-
= ①当0a ≤时,()0h x '>,()h x 单调递增,不可能有两个零点；
②当0a >时,令()0h x '<,得0x a <<,()h x 单调递减；
令()0h x '>,得x a >,()h x 单调递增.所以()()min ln h x h a a a a ==- 要使()h x 有两个零点,即使()0h a <,得a e >,
又因为()110h =>,()0h e e a =-<,所以()h x 在()1,e 存在唯一一个零点, 且a e >,()2e
e
0a
a
h a =->,
所以()h x 在(
),a
e e
上存在唯一一个零点,符合题意.
综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) 法二：()ln h x x a x =-有两个零点.
等价于1x ≠时,ln x
a x =
有两个实根,（1） 令()ln x F x x =,()2ln 1ln x F x x
-'= 当()0,1x ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减,且()0F x <； 当()1,x e ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减； 当(),x e ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增；
()F e e =,1x +→,()F x →+∞,
x →+∞,()F x →+∞.
要使（1）有两个实数根,即使()a F e e >=, 综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) （ii ）()()()e ln e ln e
0x
x
x
x a x x x a x x -+=->有两个实根,
令e x t x =,
()ln g t t a t =-有两个零点1t ,2t ,111e x t x =,222e x t x =
所以1122
ln 0
ln 0t a t t a t -=⎧⎨
-=⎩,
所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）
()2121ln ln a t t t t +=+（2）
要证12
212
x x e e
x x +>,只需证()()12212x x x e x e e ⋅>,即证()()1212ln ln 2x x x e x e +>, 所以只需证12ln ln 2t t +>.
由（1）（2）可得()22
1
1212121221
1
1ln ln ln ln ln 1t t t t
t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--, 只需证221
12
1
1ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<,令21t t t =
,则1t >,所以只需证1ln 21t t t ->+,即证4
ln 201
t t +
->+ 令()
4
ln 21
h t t t =+-+,1t >,则()()()()2
22114011t h t t t t t -'=-=>++, ()()10h t h >=,即当1t >时,4
ln 201
t t +
->+成立. 所以12ln ln 2t t +>,即(
)()1
2
2
12
x x x e
x e e ⋅>,即12
212
x x e x x
e
+>
.(12分)
(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
在直角坐标系 xOy 中,直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛
⎫
≠
⎪⎝
⎭
.以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 交曲线C 于A ,B 两点,M 为AB 中点,且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列,求直线l 的斜率.
解：（1）因为直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛
⎫
≠
⎪⎝
⎭
, 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t α
α
=⎧⎨
=+⎩(t 为参数),
因为2cos 2sin ρθθ=,所以22cos 2sin ρθρθ=, 所以曲线C 的直角坐标方程为：22x y =；(5分)
（2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t α
α
=⎧⎨
=+⎩(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40t t αα--=,
设A,B 所对应的参数为12,t t ,所以1212
222sin 4
,cos cos t t t t ααα
-+=⋅=, 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列,
所以2
12122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭
,即242
sin 4cos cos ααα=, 解得2tan 4α=,tan 2α=±,故直线l 的斜率为2±. (10分) 23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)
已知函数()2
1f x x =+,()|||21|g x x a x =---,1
2
a ≥
. （1）当12
a =
时,解不等式2
7()2g x <-；
（2）对任意1x ,2x R ∈,若不等式12()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.
解：（1）当12
a =
时,11
()||21||22g x x x x =---=--,
不等式27()2g x <,即217||22x --<-,即2
17||22
x ->,
解得24x >或23x <-(舍去),由24x >,解得2x <-或2x >.
所以不等式2
7()2
g x <-的解集是(,2)
(2,)-∞-+∞. (5分)
（2）由题意知,只需满足()min max ()g x f x ≥即可.
()21f x x =+,()min 1f x ∴=,
依题意,当12a ≥时,11,21()31,21,x a x g x x a x a x a x a ⎧
+-<⎪⎪
⎪
=-++≤≤⎨⎪
--+>⎪⎪⎩
,
由一次函数性质知,()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
和(),a +∞上单调递减,max 11
()()22
g x g a ∴==-.
由()min max ()g x f x ≥,得1
1
2a -≥,即32
a ≤. 所以实数a 的取值范围是：
13
22
a ≤≤. (10分)。