第3章 系统预测5(马尔科夫预测法)
马尔可夫决策过程简介(五)
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是用来描述随机决策问题的数学模型。
它由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出，并在决策理论、控制论、人工智能等领域得到了广泛的应用。
MDP可以用于建模具有随机性和不确定性的环境，并且提供了一种优化决策的方法。
本文将简要介绍马尔可夫决策过程的基本概念、特性和应用。
1. 马尔可夫决策过程的基本概念马尔可夫决策过程是一个五元组（S, A, P, R, γ）：- S 表示状态空间，即系统可能处于的所有状态的集合；- A 表示动作空间，即系统可以进行的所有动作的集合；- P 表示状态转移概率，即在某个状态下执行某个动作后转移到下一个状态的概率分布；- R 表示奖励函数，即在某个状态下执行某个动作所获得的即时奖励；- γ 表示折扣因子，用来平衡当前奖励和未来奖励的重要性。
在马尔可夫决策过程中，决策者需要根据当前的状态和可选的动作来选择一个最优的策略，使得长期累积的奖励最大化。
这种决策问题属于强化学习的范畴，即在与环境的交互中学习最优的决策策略。
2. 马尔可夫决策过程的特性马尔可夫决策过程具有以下重要特性：- 马尔可夫性质：即未来的状态只取决于当前状态和当前所执行的动作，与过去的状态和动作无关。
这一特性使得马尔可夫决策过程能够简洁地描述随机决策问题，并且具有较好的可解性。
- 最优性质：即存在一个最优的策略，使得长期累积的奖励最大化。
这一特性使得马尔可夫决策过程能够提供一种优化决策的方法，对于许多实际问题具有重要的应用价值。
除此之外，马尔可夫决策过程还具有一些其他重要的性质，如可达性、有限性等，这些性质为MDP的建模和求解提供了基础。
3. 马尔可夫决策过程的应用马尔可夫决策过程在很多领域都得到了广泛的应用，如人工智能、运筹学、经济学等。
其中，最为著名的应用之一就是强化学习，通过马尔可夫决策过程的建模和求解，可以学习到最优的决策策略，从而应用于机器人控制、智能游戏等领域。
马尔可夫模型法
马尔可夫模型法马尔可夫模型是一种概率模型，用于描述随机变量随时间变化的条件概率分布。
马尔可夫模型法的应用非常广泛，目前已被广泛应用于天气预报、语音识别、自然语言处理等领域。
本文将从原理、分类、应用等方面进行阐述。
一、原理马尔可夫模型是古典随机过程的一种形式，指的是只有当前状态和之前状态有关的随机过程。
简单来说，如果一个随机过程满足在未来的情况下，只要知道当前状态就够了，那么这个随机过程就是马尔可夫模型，也被称为一阶马尔可夫模型。
二、分类马尔可夫模型按照状态空间的性质可以分为离散状态空间和连续状态空间。
如果状态是有限的，并且每个状态之间的转移概率是确定的，则称为有限马尔可夫模型；如果状态是可能性连续的，并且状态之间的转移概率是由一个状态转移到另一个状态的概率密度函数给出的，则称为连续马尔可夫模型。
三、应用1.天气预报天气预报是一项关键的城市规划和生产活动，预测准确性对人们的生产生活具有重要意义。
马尔可夫模型可以应用于气象预测中，利用历史天气数据来预测未来天气情况。
例如，当观察到“晴”和“雨”的状态时，通过转移概率来预测下一天的天气情况。
2.语音识别语音识别是指将人类语言转换为计算机可以理解的形式，也是自然语言处理中的一个重要研究方向。
马尔可夫模型可以将语音信号转化为概率序列。
通过观察到当前状态（语音信号），马尔可夫模型可以预测下一个状态（下一个音素）的概率分布，进而识别语音。
3.自然语言处理自然语言处理是研究如何让计算机处理人类自然语言的研究领域。
马尔可夫模型可以用于分析文本中的语义信息以及确定下一个单词出现的可能性。
通过分析文本中的不同状态，例如停用词和关键字，马尔可夫模型可以预测下一个单词出现的概率，进而帮助计算机自动接下来的文本操作。
四、总结马尔可夫模型在实际应用中发挥着重要的作用。
通过分析时间状态的变化，马尔可夫模型可以预测未来状态的可能性，从而对实际工作进行有效指导。
对于天气预报、语音识别以及自然语言处理等领域，马尔可夫模型都有着广泛应用。
马尔可夫分析法
马尔可夫分析法马尔可夫分析法是俄国数学家马尔可夫在1907年提出, 并由蒙特·卡罗加以发展而建立起的一种分析方法。
它主要用于分析随机事件未来发展变化的趋势, 即利用某一变量的现在状态和动向去预测该变量未来的状态及动向, 以便采取相应的对策。
1马尔可夫过程及马尔可夫链 [3]定义1设随机序列{X(n) ,n=0, 1, 2, …}的离散状态空间为E, 若对于任意m个非负整数n1,n2, …,nm(0≤n1<n2<…<nm) 和任意自然数k, 以及任意i1,i2, …,im,j∈E满足 [3]P{X(nm+k) =j|X(n1) =i1,X(n2) =i2, …,X(nm)=im}=P{X(nm+k) =j|X(nm) =im} (1) [3]则称X(n) ,n=0, 1, 2, …}为马尔可夫链。
[3]在式(1) 中, 如果nm表示现在时刻,n1,n2, …,nm-1表示过去时刻,nm+k表示将来时刻, 那么此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im, 而与过去m-1个时刻n1,n2, …,nm-1所处的状态无关, 该特性称为马尔可夫性或无后效性。
式(1) 给出了无后效性的表达式。
[3]2齐次马尔可夫链和k步转移概率 [3]P{X(nm+k) =j|X(nm) =im},k≥1称之为马尔可夫链在n时刻的k 步转移概率, 记为Pij(n,n+k) 。
转移概率表示已知n时刻处于状态i, 经k个单位时间后处于状态j的概率。
若转移概率Pij(n,n+k) 是不依赖于n的马尔科夫链, 则称为齐次马尔可夫链。
这种状态只与转移出发状态i、转移步数k及转移到达状态j有关, 而与n无关。
此时,k 步转移概率可记为Pij(k) , 即 [3]Pij(k) =Pij(n,n+k) =P{X(n+k) =j|X(n) =i},k>0 (2) [3]式中,0≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=10≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=1。
马尔科夫预测课件.ppt
以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：
p11
7 15 1
50%
??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
7 p21 9 78% 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出
现滞销的次数。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度
销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
一、基本概念
它可能跳到第一张或者第三张荷叶，也可能在原地不动。 我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态， 这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状 态有关，与它以前所处的状态无关，这种性质就是所谓 的“无后效性”。 上例中，青蛙所处的那张荷叶，称为青蛙所处的状态， 在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻 t 所 出现的某种结果，就是该系统在该时间t 所处的状态。
第三节 马尔可夫决策
一、基本概念
经济学中把这种现象称为“无后效性”，即 “系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态”。 例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始 时刻 t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，
2
3 1
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是在给定当前状态下，下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。
其本质是利用概率论中的马尔可夫性质，通过已知状态的条件概率预测未来的状态。
马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。
马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。
在马尔可夫模型中，当前状态只与前一状态有关，与更早的历史状态无关，这种性质称为“无记忆性”。
因此，在预测未来状态时，只需知道当前状态及其概率分布即可，而无需考虑过去的状态。
这种方法不仅大大降低了计算复杂度，而且在实际应用中也具有很高的准确性。
马尔可夫预测法的应用范围非常广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。
其中，天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。
在天气预报中，当前的天气状态只与前一天的天气状态有关，而与更早的天气状态无关。
因此，可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。
马尔可夫预测法的实现方法有很多，其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间是有限的。
在马尔可夫链中，当前状态的转移概率只与前一状态有关。
因此，在利用马尔可夫链进行预测时，只需知道当前状态及其转移矩阵即可。
根据转移矩阵，可以预测未来的状态概率分布。
马尔可夫预测法的优点是计算简单，预测准确性高。
但其缺点也比较明显，即需要满足无记忆性的假设，而实际应用中，往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。
因此，在实际应用中，需要对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，具有计算简单、预测准确性高等优点。
其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。
在实际应用中，需要充分考虑各种因素的影响，对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
python 马尔可夫预测法
python 马尔可夫预测法摘要：1.马尔可夫预测法简介2.马尔可夫预测法的基本思想3.马尔可夫预测法的应用场景4.使用Python 实现马尔可夫预测法5.马尔可夫预测法的优缺点正文：马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，主要用于预测具有马尔可夫性质的随机序列。
它通过观察序列中相邻状态的关系，来预测序列的未来状态。
马尔可夫预测法在自然语言处理、金融、气象等领域有着广泛的应用。
马尔可夫预测法的基本思想是：假设未来的状态转移只依赖于当前的状态，而与过去的历史状态无关。
也就是说，一个系统的未来状态只与其当前状态有关，而与它过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性质。
在实际应用中，马尔可夫预测法常常通过建立状态转移矩阵来描述状态之间的转移关系。
通过对状态转移矩阵进行计算，可以预测出序列的未来状态。
使用Python 实现马尔可夫预测法，我们可以利用numpy 和matplotlib 等库来计算和可视化状态转移矩阵。
具体的实现代码如下：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成随机状态转移矩阵_states = 3transition_probabilities = np.random.rand(n_states, n_states) # 设置初始状态initial_state = np.random.randint(0, n_states)# 进行预测_steps = 10predicted_states = [initial_state]for t in range(n_steps):current_state = np.argmax(predicted_states[-1] * transition_probabilities)predicted_states.append(current_state)# 可视化状态转移矩阵plt.matshow(transition_probabilities, cmap="gray")plt.xlabel("State")plt.ylabel("Next State")plt.xticks(np.arange(n_states), range(n_states))plt.yticks(np.arange(n_states), range(n_states))plt.show()# 可视化预测结果plt.plot(range(n_steps), predicted_states)plt.xlabel("Step")plt.ylabel("State")plt.show()```马尔可夫预测法的优点是计算简单，易于实现，并且对于具有马尔可夫性质的序列，预测结果往往较为准确。
马尔科夫分析法
特殊预测法：马尔可夫分析法定义：马尔可夫分析法是应用俄国数学家马尔可夫发现系统状态概率转移过程规律的数学方程，通过分析随机变量的现时变化情况，预测这些变量未来变化趋势及可能结果，为决策者提供决策信息的一种分析方法。
•单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
•市场占有率的预测可采用马尔可夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
俄国数学家马尔可夫在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第N次结果只受第N－1次结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。
•在马尔可夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。
•马尔可夫分析法的一般步骤为：•1、调查目前的市场占有率情况；•2、调查消费者购买产品时的变动情况；•3、建立数学模型；•【•4、预测未来市场的占有率。
例一：一个800户居民点，提供服务的A、B、C三家副食品店，从产品、服务等方面展开竞争，各自原有稳定的居民户购买者开始出现了变化。
经过调查获得上月与本月三家商店的居民资料如表1；两个月中三商店都失去一些客户，同时也都赢得了一些客户，其转移变化资料如表2。
用马尔科夫法预测稳定状态下三商店的市场占有率。
表1表2例二：假定某小区有1000户居民，每户居民每月用一块香皂，并且只购买A牌、B牌、C牌。
8月份使用A牌香皂居民有500户，使用B 牌居民有200户，使用C牌居民有300户。
据调查9月份使用A牌香皂仍在使用的有360户，50户表示要改买B牌，90户表示要改买C牌；在使用B牌的用户中，120户仍在使用B牌，表示改买A牌的有40户，改买C牌的有40户；在使用C牌的用户中，表示仍在使用的有230户，有30户表示改买A牌，有40户表示改买C牌。
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法(五)
天气预测一直是人们关注的话题。
无论是日常生活中出门前的穿衣搭配，还是农业生产中的灌溉安排，都需要对未来天气有所了解。
而利用马尔可夫模型进行天气预测成为了一种新的方法。
本文将介绍这一方法的原理和应用。
马尔可夫模型是一种基于概率的动态系统建模方法。
它假设当前状态只与前一时刻的状态相关，与更早的状态无关。
这种假设在天气预测中是合理的，因为天气的变化通常是连续的，而且当前的天气状态往往与前一时刻的状态相关。
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法可以分为两个步骤。
首先是模型的训练，然后是利用训练好的模型进行预测。
在模型训练阶段，我们需要收集历史天气数据。
这些数据可以包括每天的气温、湿度、风向风速等信息。
然后，我们将这些数据转化为状态序列，比如晴天、多云、雨天等。
接着，我们统计相邻两天之间的状态转移概率。
这个转移概率矩阵将成为我们的模型参数。
在模型预测阶段，我们首先需要确定当前的天气状态。
这可以通过观测实际的天气情况来得到。
然后，我们利用训练好的马尔可夫模型，根据当前状态和状态转移概率矩阵，计算出下一时刻各种天气状态的概率分布。
最后，我们根据这个概率分布，选择概率最大的那种天气状态作为预测结果。
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法有几个优点。
首先，它能够较好地捕捉天气状态之间的动态关系，因此对于短期的天气预测效果较好。
其次，它能够利用历史数据进行训练，因此对于历史较为稳定的地区，预测效果也较好。
另外，马尔可夫模型的参数较少，计算量较小，因此在实际应用中也比较方便。
然而，利用马尔可夫模型进行天气预测也有一些局限性。
首先，它假设当前状态只与前一时刻的状态相关，而与更早的状态无关。
这在某些情况下可能不成立，比如气象系统受到外部因素影响较大的情况。
其次，马尔可夫模型对状态转移概率的估计需要充分的历史数据，而对于新出现的天气情况，其预测效果可能不如其他方法。
总的来说，利用马尔可夫模型进行天气预测是一种新的方法，它在一些特定的情况下能够取得较好的效果。
马尔可夫预测
林地
旱地 水田 园地 水域 居民点
0.984 0 0 0 0 0
0.0088 0.0048 0.983 0.0058 0.0138 0.979 0 0 0 0 0 0
0.0012 0 0.0003 0.0036 0.0003 0.0064 0 0.0002 0.0049 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.1 相关概念 状态：某一事件在某一时刻出现的某种结果。如，农 业
收成预测中有“丰收”、“平收” “欠收”等状态；人 口 构成预测中有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、 “老年”等状态
状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态。
如，天气从“阴天”变为“晴天”。
马尔可夫过程：在事件的发展过程中，每次状态的转
某地区1990～2000年农业收成状态概率预测值
年份 2000 E1 E2 0.5 0.15 385 28 2004 E2 0.35 09 E3 0.27 99 2008 E1 0.36 47 E3 0.30 77 E1 0.30 24 2001 E2 0.41 4 2005 E2 0.35 32 E3 0.27 99 E1 0.36 56 2009 E3 0.28 37 E1 0.38 67 2002 E2 0.33 34 2006 E2 0.35 24 E3 0.27 99 E1 0.36 53 2010 E3 0.27 99 E1 0.35 87 2003 E2 0.35 89 2007 E2 0.35 26 E3 0.27 99 E3 0.27 79
7 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 ) 0.5385 13
2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.1538 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.3077 13 4 P31 P( E3 E1 ) P( E1 E3 ) 0.3636 11
马尔可夫预测方法
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
计量地理学第三章——7 马尔可夫预测
例:土地利用格局变化预测
（1）原始数据
2002-2012年时间段各土地类型面积的转化情况
1
(k
),
lim
k
2
(k
),,
lim
k
n
(k
)]
lim (k)
k
② 终极状态概率应满足的条件：
P 0 i 1 ( i 1,2,,n )
n
i 1
i 1
例题：在例1中，设终极状态的状态概率为 [1, 2, 3]
则
0.2000 0.4667 0.3333
[1, 2 , 3 ] [1, 2 , 3 ]0.5385 0.1538 0.3077
某地区2000～2010年农业收成状态概率预测值
年份
2000
2001
2002
2003
E1 状态概率 0.5
385
E2 0.15 28
E3 0.30 77
E1 0.30 24
E2 0.41
4
E3 0.28 37
E1 0.38 67
E2 0.33 34
E3 0.27 99
E1 0.35 87
E2 0.35 89
P(E2
E3 )
5 11
0.4545
P33
P(E3
E3 )
P(E3
E3 )
2 11
0.1818
该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
马尔科夫链预测方法
二、马尔可夫预测法
从初始状态开始，经过k次状态转移后到达 状态Ej这一状态转移过程，可以看作是首先 经过（k-1)次状态转移后到达状态Ei（i=1， 2，…，n)，然后再由Ei经过一次状态转移 到达状态Ej。
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件 概率公式，有
二、马尔可夫预测法
若记行向量π(k)=[π1(k)，π2(k)，…，πn(k)]， 则由(7)式可得逐次计算状态概率的递推公式：
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马尔可夫预测法与EXCEL———利用EXCEL的“规划 求解”工具解决马尔可夫预测的计算
马尔科夫链预测方法 教材
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假定池中有N张荷叶，编号为1，2， 3,……,N，即蛙跳可能有N个状态（状态 确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目 前所处的状态；因此它未来的状态，只 与现在所处状态有关，而与以前的状态 无关（无后效性成立） 。
一、几个基本概念
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵
1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一 种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称 为状态转移概率。根据条件概率的定义，由状态Ei转 为状态Ej的状态转移概率P（Ei→Ej)就是条件概率P （Ej/Ei)，即P（Ei→Ej)=P ( Ej/Ei)= Pij
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事 件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前 状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状 况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预 测研究中重要的预测方法之一。
一、几个基本概念
（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程 1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
在前例中，如果将1989年的农业收成状态记为π （0)=[0，1，0]（因为1989年处于“平收”状态)，则 将状态转移概率矩阵（5)式及π（0)代入递推公式（8) 式，就可以求得1990—2000年可能出现的各种状态的 概率（见表2-19)。
《马尔可夫预测》PPT课件
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法(六)
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法随着气候变化的加剧，天气预测成为了如今人们生活中不可或缺的一部分。
而天气预测准确性的提高对于人们的生产生活有着重要的意义。
随着技术的发展，利用马尔可夫模型进行天气预测的方法逐渐受到了人们的关注。
一、马尔可夫模型简介马尔可夫模型是一种时间序列模型，其基本思想是假设未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫模型在天气预测中的运用，是基于天气的状态在短期内是相对稳定的这一特点。
通过建立天气状态之间的转移概率矩阵，可以实现对未来天气状态的预测。
二、数据收集在利用马尔可夫模型进行天气预测时，首先需要收集历史的天气数据。
这些数据包括温度、湿度、气压、风速等多种气象要素。
在收集完数据后，需要对数据进行预处理，包括去除异常值、填补缺失值等操作，以确保数据的准确性和完整性。
三、状态空间的确定在建立马尔可夫模型时，需要确定天气的状态空间。
通常情况下，可以将天气状态分为晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨等几种状态。
根据实际情况和需求，也可以对状态空间进行扩展，例如考虑雾霾、大风等特殊天气情况。
四、转移概率矩阵的建立在确定了状态空间后，需要建立天气状态之间的转移概率矩阵。
这一矩阵反映了不同天气状态之间的转移概率，可以通过历史数据进行统计得到。
转移概率矩阵的建立是马尔可夫模型的核心，直接影响着模型的预测准确性。
五、模型的预测与评估建立好马尔可夫模型后，可以利用该模型对未来的天气状态进行预测。
预测的过程通常采用迭代算法，根据当前的天气状态和转移概率矩阵，计算出未来几天的天气状态。
预测结果可以与实际观测数据进行对比，评估模型的准确性和稳定性。
六、模型的改进与应用随着数据和算法的不断进步，马尔可夫模型在天气预测中也在不断改进和应用。
一些学者通过引入更多的气象要素、考虑气象要素之间的相互影响等方式，对传统的马尔可夫模型进行了改进，提高了模型的预测准确性。
此外，马尔可夫模型在气象灾害预警、农业生产等领域也有着广泛的应用。
马尔可夫链预测
29
设存在稳态分布 1, 2,..., N ，则由于下
式恒成立
P k P k 1 P
令 k
，得
P
30
设存在稳态分布 1, 2,..., N ，则由于下
式恒成立
P k P k 1 P
令 k
，得
P
即，有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么 它也是平稳分布。
马尔可夫预测
马尔可夫链的基本原理 马尔可夫预测方法及应用
1
1. 马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程
2
1. 马尔可夫链的基本概念
一、马尔可夫链 马尔可夫过程指满足无后效性的随机过程
定义1 若非负随机序列{X(tn),n∈N}满足条件 则称随机序列{X(tn)}为马尔科夫链，简称马氏链。
P(k )
p(k ) 11
p(k ) 21
p(k ) N1
p(k) 12
p(k) 22
p(k ) N2
p(k) 1N
p(k) 2N
p(k) NN
15
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由
1步状态转移概率求出。
16
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由
1步状态转移概率求出。
全概率公式
17
马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由
概率矩阵。若 XP X 则称 X 为马尔可夫链的一个平稳分布。
21
三、平稳分布与稳态分布
1. 平稳分布
如 X x1, x2, , xN 为一状态概率向量，P为状态转移
概率矩阵。若 XP X 则称 X 为马尔可夫链的一个平稳分布。
若随机过程某时刻的状态概率向量为平稳分布，则称 过程处于平衡状态。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
马尔可夫链
马尔可夫链3．5 马尔可夫链预测方法一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。
其具体方法步骤如下:1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。
例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]；2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态；3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则；4．进行“马氏性” 检验；5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为(0)(0,,0,1,0,0)P =这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。
于是第2时段的绝对分布为1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p =则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈；同样预测第k ＋1时段的状态，则有1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k =得到所预测的状态j 满足:()max{(),}j i p k p k i I =∈6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。
二、叠加马尔可夫链预测方法对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。
其具体方法步骤如下:1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行；2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态；3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则；4) 马氏性检验；5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率(6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。
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所以，u是P的一个固定概率向量。
46/16
(3)正规概率矩阵的性质
设P是正规概率矩阵，则已被证明： ① P恰有一个固定概率向量u，且u的所有元素都 是正数 ② P的各次方组成的序列 {P, P2, P3, …} 趋于方阵 T，且T的每一个行向量都是固定概率向量。 ③若pi为P的任一概率向量，则向量序列 {piP, piP2, piP3,… }都趋于固定概率向量u。
• 例 设某产品有三种牌号(商标)在市场上销售。调 查得知，本月购买1、2、3种产品的顾客各占0.4、 0.3、0.3；顾客选购这三种产品的变化情况如下表 所示。试预测第3个月该产品的市场占有率和长期 的市场占有率。
46/28
该例说明：在现有的生产和维修条件下，
机器长期运行时，处于正常状态的可能性 约为0.6，处于故障状态的可能性约为0.4。 或者说，约有0.6的时间处于完好状态，约 有0.4的时间处于故障状态。据此，可合理 安排生产计划和维修计划。
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市场占有率预测
• 背景：
– 对于某种产品，往往有若干厂家生产。用户购买哪家 的产品，会受到消费偏好、厂家的广告宣传和推销活 动等多方面的影响。因此，在产品质量基本相同的情 况下，可以认为市场的变化带有随机性。如果本期市 场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率，转移 概率在一定时期内无大的变化，则可用马尔科夫方法 预测市场状况。
从该例可见，如果系统经过较长时间的运行(即转 移步数 k 足够大)后，不管系统的初始状态如何， 从各状态转移到某状态的概率都是相等的。这种 稳定的转移概率，称为稳态概率。
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（二）案例分析
机器运行状态的预测
• 预测目的：在机器很多的大批量生产的企业里，需要掌握 机器发生故障的规律性，以便有效地计划和控制生产，同 时也为合理配备维修人员提供依据。为此，可运用马尔科 夫方法预测机器某个时刻的状态和长期运行状态。 • 分析思路：机器的运行存在正常和故障两种状态。由于出 现故障带有随机性，故可将机器的运行看作一个状态随时 间变化的随机系统。为简单起见，可以认为机器以后的状 态只与目前的状态有关，而与过去的状态无关，即具有无 后效性。这样，机器的运行可看作马氏链。
马尔科夫预测法
• • 马尔科夫方法的基本原理 案例分析
☆10A
46/1
马尔科夫预测法
• 马尔科夫预测法是预测技术中一种重 要的方法 • 不需要大量的统计资料，只需近期资 料就可进行预测， • 既可用于短期预测，也可用于长期预 测
46/2
马尔科夫方法的基本原理
1、基本概念 2、状态转移概率矩阵 3、稳态概率矩阵
p1n pnn
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状态转移概率矩阵的性质
① pij 0 ② i, j=1,2,…,n • 满足①、②这两个性 质的行向量称为概率 向量，由概率向量构 成的方阵称为概率矩 阵 • 转移矩阵必是概率矩 阵
p
j 1
n
ij
1 i 1 ,2, , n
③如果A和B均是概率矩 阵，则AB也是概率矩 阵； ④如果A是概率矩阵。则 An也是概率矩阵。
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(2)K 步状态转移概率矩阵
• 状态转移概率矩阵一般是指一步状态转移概率矩 阵 • 实际工作中往往需要预计今后第 k 个时刻系统的 状态，需要求出系统的 k 步状态转移概率矩阵
• 记 k 步状态转移概率矩阵为P(k)，则
P( k ) P ( k 1) P Pk
即系统的k步状态转移概率矩阵可由k-1步状态转移概率 矩阵乘上一步状态转移概率矩阵求得，也可由一步状态 转移概率矩阵的k次方求得
s(0) (1,0)
由已知条件可得机器的一步状态转移概率矩阵为
1 2
0.4 0.6 P 1.0 0
1
2
1 2
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• 当已知系统的初始状态和一步转移概率时， 就可预测系统在任意时刻所处的各种状态的 可能性大小。
• 预测模型为
s
(k )
s P
(0)
(k )
式中 s(k) 表示系统经 k 步转移后所处的状 态；k为大于0的正整数。
(2)状态随机变量
– 为了表示一个随机运动系统在变化过程中的状 态，可以用一组随时间过程而变化的变量来描 述，这个变量称为状态随机变量
46/5
• 设有一个随机运动系统处于的状态为 i (i＝ 1,2,…,n)，它只能在时刻 t ( t＝1,2,…,m)上 改变它的状态，则状态随机变量
Xt＝i
即表示在时刻t，系统处于状态i • 系统所取状态的集合，称为状态空间
m
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(2)固定概率向量
定义：任一非零概率向量 u=( u1,u2,…,un )，乘以 概率矩阵P后，其结果仍为u，即
uP=u
则称u为P的固定概率向量（或特征向量）
1 0 例如 u 1/ 2,1/ 2 P 0 1 因为 1 0 uP 1/ 2,1/ 2 1/ 2,1/ 2 u 0 1
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• 转移概率中最重要的是一步(次)转移概率，表示 为
p pij P( X m1 j | X m i)
(1) ij
其中：
pij(1) — 表示系统从状态i到状态j的一步转移概率，“(1)” 表示 一步； pij — 表示系统从状态i经过一步转移到状态j的概率； P( Xm+1=j |Xm=i ) — 表示在时刻 m 的系统状态为 i 的条件 下，转移到（发生）在时刻 m+1 的系统状态为 j 的条件概率
• 具备无后效性的离散型随机过程，称为马尔科夫 链，简称马氏链，或称时间和状态均离散的马尔 科夫过程
46/7
基本概念
(4)状态转移
– 即状态变化。当系统的变量从一个特定值变化 到另一个特定值，就表示系统由一个状态转移 到另一个状态，从而实现了状态转移。
(5)转移概率
– 系统状态的变化（转移）是随机的，用概率来 描述系统从某种状态转移到各种状态的可能性 大小，这种概率称为状态转移概率，简称转移 概率
2 1 1 2 1 1 2 4
1 2 3 4
0 所以， 1 2
1 1 2
是正规概率矩阵。
②对于任何正整数m，都有
1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 所以， 不是正规概率矩阵。 0 1
46/23
例1 某企业经过调查统计，得知机器在一周时间内， 从正常状态转移到故障状态的概率是0.6，而从故障 状态转移到正常状态的概率为l。如果机器本周末均 处于正常状态，试预测第3周机器的状态和机器长 期运行的状态。 解：设机器的正常状态为状态1，故障状态为状态2， 即得本周(即第0周)末机器的初始状态向量为
46/27
得到
u1 0.4u1 u2 u2 0.6u1
u1 u2 1
再根据 可解得
u1 = 0.625, u2 = 0.375
即固定概率向量 u=( 0.625, 0.375 ) 稳态概率矩阵
U 0.625 0.375 T U 0.625 0.375
将u1、u3代入②式得
u2 0.2, u1 0.4, u3 1 0.2 0.4 0.4
所以 u (0.4,0.2,0.4)
46/21
第二步，求稳态概率矩阵T
根据正规概率矩阵的性质②可知
U 0.4 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 T U U 0.4 0.2 0.4
即
u1 0.5u1 0.5u2 0.25u3
① ② ③
46/20
u2 0.25u1 0.25u3
u3 0.25u1 0.5u2 0.5u3
根据概率向量的定义有
u1 u2 u3 1
得到 将u3代入①式得
u3 1 u1 u2
u2 1 u1 3
46/17
(4)稳态概率矩阵
• 若马氏链的状态转移矩阵为正规概率矩阵，当转 移步数 k 足够大时，k 步转移矩阵将趋向某一方 阵T，即
lim P
k
(k )
T
则称方阵T为稳态概率矩阵。 • 根据定义很难求出稳态概率矩阵T。但由正规概 率矩阵的性质可知，稳态概率矩阵T的每一个行 向量都是固定概率向量u。因此，求出状态转移 矩阵的固定概率向量u，可以进而得到稳态概率 矩阵T 46/18
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(3)马尔科夫链
• 马尔科夫发现：对于实际存在的随机运动系统
– 系统在每一时刻(或每一步)的状态，仅仅取决于前一时 刻(或前一步)的状态，而与过去的其它状态无关。这个 性质称为无后效性 – 例如，松鼠下一步将处于什么状态(将跳到哪棵树上)， 只与它现在所处的状态(现在所处的那颗树)有关，而与 它以前的状态(以前曾在的树)无关
46/12
例 若
p11 P p21
p12 0.7 0.3 p22 0.9 0.1
则
P (2) P (1) P P 2 0.7 0.3 0.9 0.1
2
0.76 0.24 0.72 0.28
46/13
所以P为正规概率矩阵。
46/19
第—步，先求固定概率向量 设P的唯一固定概率向量为 u (u1 , u2 , u3 ) 根据固定概率向量的定义有
0.5 0.25 0.25 u , u , u 0.5 0 0.5 1 2 3 u1 , u2 , u3 0.25 0.25 0.5
• 马尔科夫链的任何 k 步转移概率都可由一步转移 概率求出
46/9
状态转移概率矩阵
(1)一步状态转移概率矩阵
• 若系统有n个状态，则系统全部一步转移概率的集 合所组成的矩阵，称为一步状态转移概率矩阵， 简称状态转移概率矩阵 • 表示为