【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二4月月考数学(理)试题

哈师大附中2017级高二下学期月考数学试题（理科）
第Ⅰ卷
（选择题,共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的） 1.复数21z i =+的虚部（
）
A.i
B.i
- C.1
D.-1
2.曲线()x f x e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（）
A.1
B.2
C.e D 1e
3.命题"0,ln 1"x x x ∀>≤-的否定是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
4.函数()y f x =的导函数()y f x '=
的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（
）
5.已知函数2
ln(2)()2
a x x f x +-=在(1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（
）
A.[2,)
-+∞ B.(2,)
-+∞ C.()
-∞，-2 D.(,2]
-∞-6.设离散型随机变量ξ的分布列如图，则p =（）A.1
B.212
-
C.21+
2 D.212
±
7.已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,m n ，则-m n 的值为()
A.-32
B.0
C.32
D.36
ξ
012p
12p
-12
2
p x
y
.A O
x
y .B O
x
y .C O
x
y
D.
O
8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数
与残差平方和，如下表：
则哪位同学的试验结果体现，两变量有更强的线性相关性A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
9.集合1262A x R
x ⎧⎫
=∈<<⎨⎬⎩
⎭
，{}11B x R x m =∈-<<+，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（）A.2
m ≥ B.2
m ≤ C.2
m > D.22
m -<<10.为了研究高中学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，现从哈师大附中高二学年随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回
归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+．已知101
225i i x ==∑，10
1
1600i i y ==∑，ˆ4b =．若某学生的脚长为24，据此估计其身高约为（）A.160
B.163
C.166
D.170
11.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意的x R ∈，都有'()()f x f x <，且(0)2019f =，则不等式()2019x
f x e <的解集为（）
()
.0,A +∞2
1
.(,)B e +∞()
.,0C -∞2
1.(,)D e -∞-
12.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，总存在唯一的()0,y ∈+∞，使得
ln ln 1y y
x x a y
+++=成立，则实数a 的取值范围是（）
A ．(),0-∞
B ．(]
,0-∞C ．2e ,e ⎛⎤ ⎥
⎝⎦
D ．(]
,1-∞-第Ⅱ卷
（非选择题,共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13.某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布2
(90,)N σ，若
分数在(]70,110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为．
14.曲线3
3y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为
．
15.给出下列等式：
231111222；⨯=-⨯2231411+112223232；⨯⨯=-⨯⨯⨯233
3141511++112223234242；⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯
由以
上
等
式
推
出
一
个
一
般结
论
：
对
于
2314121,
++122232(1)2
*+∈⨯+⨯⨯=⨯⨯+ n n n N n n ．
16.已知a 为常数，函数2
()ln f x ax x x =-+有两个极值点1212,()x x x x <，则下列结论：①1()0
f x >②1()0
f x <③1
02
a <<
④1
02
a -
<<其中正确的是_________________.（填上所有正确命题的序号）
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）
已知函数2
()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=.（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的极大值.
18.（本小题满分12分）
设一个口袋中装有10个球，其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同，从中一次任意选取3个，取出后不放回.（Ⅰ）求三种颜色球各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X 表示取到的红球的个数，求X 的分布列与数学期望.
19．（本小题满分12分）
随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯.2018年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台2018年移动支付的笔数占总支付笔数的80%.
（Ⅰ）从该平台的2018年的所有支付中任取3笔，求移动支付笔数的期望和方差；
（Ⅱ）现有500名使用移动支付平台的用户，其中300名是城市用户，200名是农村用户，调查他们2018年个人支付的比例是否达到80%，得到22
⨯列联表如下：
个人移动支付比例达到了80%个人移动支付比例未达到
80%
合计
城市用户27030300
农村用户17030200
合计44060500
根据上表数据，问是否有95%的把握认为2017年个人支付比例达到了80%与该用户是否是城市用户还是农村用户有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b a c c d b d
-
=
++++
()
2≥
p k
χ0.0500.010
k 3.841 6.635
20．（本小题满分12分）已知函数2
()ax
f x e x =⋅.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()1f x <在(0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
2019年4月21日至28日世界乒乓球锦标赛在匈牙利布达佩斯举办，中国乒乓球队热身选拔赛中，种子选手A 与非种子选手123,,B B B 分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手A 获胜的
概率分别为
321
,,432
，且各场比赛互不影响.（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于2
3
，则A 入选征战锦标赛的最终名单，否则不予入选，问A 是
否会入选最终的名单？
（Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望.
22.（本小题满分12分）
已知函数()()2ln 1,()().f x x ax g x ax a R =+-=∈（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =+，讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.
一、选择题：（60分）题号123456789101112答案
D
A
B
D
D
B
C
D
A
C
A
B
二、填空题：（20分）13、
0.1514、210x y -+=15、1
12(1)
n n -
⋅+16、②③
三、解答题（70分）17、（本小题满分10分）（1）1
3
a b =-⎧⎨
=⎩（2）增区间：3(0,)
2
减区间：3(,)
2
+∞极大值为333()3ln 242
f =-
+.18、（本小题满分12分）
（1）记“从袋子中任意取三球有三种颜色”为时间A，则
1112353
101
()4
C C C P A C ⋅⋅==.（2）X 的可能值为0,1,2.
383107
(0)15C P X C ===
21823
107
(1)15C C P X C ⋅===12823101
(2)15
C C P X C ⋅===
X
012
所以，X 的分
布列为：
所以，X 的数学期望为7713()0121515155
E X =⋅
+⋅+⋅=.19、（本小题满分12分）
（1）(3,0.8)X B ，则移动支付的数学期望为() 2.4E X =，移动支付的数学方差()0.48
D x =（2）2
2
500(2703017030) 2.84 3.84120030044060
K ⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为2017年个人支付比例达到了80%与该用户是否是城市用户还是农村用户有关.
20、（本小题满分12分）（1）2
'()(2)ax
f x ax x e
=+①若0a =时，增区间：(0,)+∞，减区间：(,0)
-∞②若0a >时，增区间：2(,)a
-∞-和(0,)+∞，减区间：2(,0)a
-
③若0a <时，
增区间：2(0,)a
-，
减区间：(,0)-∞和2
(,)a
-
+∞（2）2ln 12ax x e x a x
⋅<⇔<-设ln ()2
(0)x
g x x x
=->，则min ()a g x <P
715715115
2
2(1ln )
'()x g x x --=
()g x 在(0,)e 递增
(,)e +∞递减
min 2()()g x g e e
==-
所以，实数a 的取值范围为2(,)
e
-∞-21、（本小题满分12分）
（1）记：“种子选手A 与非种子选手i B 的对抗赛获胜”为事件(1,2,3)
i A i =“种子选手A 至少获胜两场”为事件C
123123123123172
()()243
P C P A A A A A A A A A A A A =+++=
>选手A 最终入选.
（2）X 的可能值为0,1,2,3.
1(0)24P X ==
6
(1)24P X ==
11
(2)24P X ==
6
(3)24P X ==
所以，X 的分
布列为：
所以，X 的数学期望为23()12
E X =
.X 0
123
P
124
624
1124
624
22、（本小题满分12分）（1）11'()11
a ax
f x a x x --=
-=++①若0a ≤时，增区间：(1,)-+∞，
无减区间
②若0a >时，
增区间：1
(1,1)a --+，
减区间：1
(1,)a
-+
+∞（2）()2()()ln(1)h x f x g x x ax ax
=+=++-2121'()211
ax ax a
h x ax a x x ++-=+-=
++设2
()21(1)
x ax ax a x φ=++->-①若0a =时，'()0h x >，()h x 在(1,)-+∞递增，函数无极值；
②若8
09a <≤
时，'()0h x >，()h x 在(1,)-+∞递增，函数无极值；③若89
a >时，令2
()210x ax ax a φ=++-=的两个根1212,()x x x x <，
1211
(1)1,1,44
x x φ-=-<<->-
增区间：1(1,)x -和2(,)x +∞，减区间：12(,)
x x 此时函数有两个极值点.
④若0a <时，
增区间：2(1,)x -，
减区间：2(,)
x +∞此时函数有一个极值点.
综上所述，
①若8
09
a ≤≤时，无极值点；②若8
9
a >
时，有2个极值点；③若0a <时，有一个极值点.。