最新高二下学期入学摸底考试数学(文)试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.和直线l都平行的直线a，b的位置关系是（）
A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 平行、相交或异面
2.直线l：x+错误！未找到引用源。

y-3=0的倾斜角α为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引
用源。

D. 错误！未找到引用源。

3.“a=1”是“直线a2x-y+3=0与x+ay-2=0垂直”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9错
误！未找到引用源。

，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引
用源。

D. 错误！未找到引用源。

6.从甲、乙等5名同学中选2人参加社区服务，则甲恰被选中的概率为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引
用源。

D. 错误！未找到引用源。

7.已知双曲线错误！未找到引用源。

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线
方程为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引
用源。

D. 错误！未找到引用源。

8.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b=（）
A. 错误！未找到引用源。

或12
B. 2或错误！未找到引用源。

C. 错误！未找
到引用源。

或错误！未找到引用源。

D. 2或12
9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，
若错误！未找到引用源。

=4错误！未找到引用源。

，则|QF|=（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 3
C. 错误！未找到引用源。

D. 2
10.设A（-2，3），B（1，2），若直线ax+y-1=0与线段AB相交，则a的取值范围是（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

11.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则△ABP面
积的取值范围是（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引
用源。

D. 错误！未找到引用源。

12.过点M（错误！未找到引用源。

，-错误！未找到引用源。

）作圆x2+y2=1的切线l，l与
x轴的交点为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，l与抛物线E交于A、B两点，则AB中点到抛物线E的准线的距离为（）
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引
用源。

D. 错误！未找到引用源。

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“存在错误！未找到引用源。

”的否定是______
14.在空间直角坐标系中，设A（1，3，0），B（-3，6，12），则|AB|=______．
15.已知双曲线C的离心率为错误！未找到引用源。

，焦点为F1，F2，点A在曲线C上，若
|F1A|=3|F2A|，则cos∠AF2F1=______．
16.已知F1，F2是椭圆C：错误！未找到引用源。

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，A是C的
左顶点，点P在过A且斜率为错误！未找到引用源。

的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.给定两个命题，命题p：对于任意实数x，都有ax2＞-2ax-8恒成立；命题q：方程
x2+y2-4x+a=0表示一个圆．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
18.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2错误！未找到引用源。

，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的
中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
19.已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=16，点A（10，0）．
（1）设点P是圆C上的一个动点，求AP的中点Q的轨迹方程；
（2）直线l：kx-y-10k=0与圆C交于M，N，求错误！未找到引用源。

的值．
20.如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中
点，AB=2，AD=2错误！未找到引用源。

，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
21.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线l，直线l与抛物线C交于
A，B，若|AB|=16．
（1）抛物线C的方程；
（2）若经过M（1，2）的直线交抛物线C于P，Q，N（5，0），若|PN|=|QN|，求直线PQ 的方程．
22.已知椭圆E：错误！未找到引用源。

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，点P是椭圆E
上的一个动点，△PF1F2的周长为6，且存在点P使得，△PF1F为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆E上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且错误！未找到引用源。

=0．若AC的斜率为错误！未找到引用源。

，求四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：由平行公理得：
和直线l都平行的直线a，b的位置关系是平行．
故选：C．
利用平行公理直接求解．
本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
2.【答案】D
【解析】
解：由题意可得直线的斜率k==-，
即tanα=-，故α=，
故选：D．
由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角．
本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：若a2x-y+3=0与x+ay-2=0垂直，
则满足a2-a=0，得a=1或a=0，
即“a=1”是“直线a2x-y+3=0与x+ay-2=0垂直”的充分不必要条件，
故选：A．
根据直线垂直的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件求出a的值是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】
解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC=，CD=，
PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．
画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
5.【答案】B
【解析】
解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点
如图：
O′C==，OO′==2，
则三棱锥D-ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D-ABC体积的最大值为：=18．
故选：B．
求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
6.【答案】C
【解析】
解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n=C52=10，
甲被选中包含的基本事件的个数m=C41=4，
∴甲被选中的概率p===0.4
故选：C．
从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7.【答案】D
【解析】
解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）
∴双曲线的渐近线方程为y=±x
又∵双曲线离心率为2，
∴c=2a，可得b== a
因此，双曲线的渐近线方程为y=±x
故选：D．
根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．
本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】
解：由圆x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，
∴圆心坐标为（1，1），半径为1，
∵直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，
∴圆心（1，1）到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径，
即，解得：b=2或b=12．
故选：D．
化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．
本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵=4，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为-=-2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=-2（x-2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】
解：直线ax+y-1=0经过定点P（0，1），
k PA==-1，k PB==1．
∵直线ax+y-1=0与线段AB相交，
∴-a≥1或-a≤-1，
则a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
故选：C．
直线ax+y-1=0经过定点P（0，1），根据直线ax+y-1=0与线段AB相交，可得-a≥k PA，或-a≤k PB．本题考查了斜率计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=-2，令y=0，得x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-2），|AB|==2，
∵点P在圆（x-2）2+y2=2上，∴设P（2+，），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d==，
∵sin（）∈[-1，1]，∴d=∈[]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[，]=[2，6]．
故选：A．
求出A（-2，0），B（0，-2），|AB|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围．
本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12.【答案】D
【解析】
解：过点M（，-）作圆x2+y2=1的切线l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，
切线方程为：y+=x-，可得x-y-=0，直线与x轴的交点坐标（，0），
可得抛物线方程为：y2=4x，
，可得x2-6+2=0，l与抛物线E交于A（x1，y1）、B（x2，y2），
可得：x1+x2=6，
则AB中点到抛物线E的准线的距离为：3=4．
故选：D．
利用已知条件求出切线方程，求出抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点的横坐标，然后求解结果．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．
13.【答案】∀x∈R，x2-8x+18≥0
【解析】
解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
即∀x∈R，x2-8x+18≥0，
故答案为：∀x∈R，x2-8x+18≥0
根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
14.【答案】13
【解析】
解：A（1，3，0），B（-3，6，12），
则|AB|==13．
故答案为：13．
根据空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．
本题考查了空间中两点间的距离公式应用问题，是基础题．
15.【答案】错误！未找到引用源。

【解析】
解：设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），
设A为右支上一点，且|F2A|=m，
由题意可得|F1A|=3m，
由双曲线的定义可得|F1A|-|F2A|=2a，
解得m=a，又e==，可得c=a，
在△AF1F2中，|F1A|=3a，|F2A|=a，|F1F2|=2a，
可得cos∠AF2F1==．
故答案为：．
设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），设A为右支上一点，且|F2A|=m，由题意可得|F1A|=3m，由双曲线的定义和离心率公式、以及余弦定理，计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，注意运用离心率公式和定义法，同时考查余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16.【答案】错误！未找到引用源。

【解析】
解：如图所示，
由题意知：A（-a，0），F1（-c，
0），F2（c，0），
直线AP的方程为：y=
（x+a），
由∠F1F2P=120°，
|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），
代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，
∴所求的椭圆离心率为e==．
故答案为：．
求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：若p真，即对于任意实数x，都有ax2+2ax+8＞0恒成立．
ⅰ）若a=0，即对于任意实数x，都有ax2+2ax+8=8＞0恒成立；
ⅱ）若a≠0，必须满足错误！未找到引用源。

⇒0＜a＜8
由ⅰ）、ⅱ）得p真，a的取值范围是[0，8）………………（5分）
若q真，即方程x2+y2-4x+a=0表示一个圆，只需（-4）2-4a＞0，即a＜4．
所以q真，a的取值范围是（-∞，4）．………………（7分）
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，即p，q一真一假．
所以a的取值范围是（-∞，0）∪[4，8）．………………（10分）
【解析】
根据条件判断命题p，q为真命题的等价条件，结合“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，得到p，q一个为真命题，一个为假命题，进行求解即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】（1）证明：∵AB=BC=2错误！未找到引用源。

，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角三角形，
又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；
（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=错误！未找到引用源。

，
在△COM中，OM=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，
S△COM=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
设点C到平面POM的距离为d．由V P-OMC=V C-POM⇒错误！未找到引用源。

，
解得d=错误！未找到引用源。

，
∴点C到平面POM的距离为错误！未找到引用源。

．
【解析】
（1）证明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，
又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面ABC；
（2）设点C到平面POM的距离为d．由V P-OMC=V C-POM⇒，解得d 即可
本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．
19.【答案】解：（1）设Q（x，y），P（x0，y0），则错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=16，
由x=错误！未找到引用源。

，y=错误！未找到引用源。

，解得x0=2x-10，y0=2y．
代入圆的方程可得：（2x-10-2）2+（2y-2）2=16，
化为：（x-6）2+（y-1）2=4．
∴AP的中点Q的轨迹方程为：（x-6）2+（y-1）2=4．
（2）直线l：kx-y-10k=0与圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2），
把直线l的方程代入圆的方程可得：（x-2）2+（kx-10k-2）2=16，
化为：（1+k2）x2-（20k2+4k+4）x+100k2+40k-12=0．
△＞0．
∴x1x2=错误！未找到引用源。

，x1+x2=错误！未找到引用源。

．
∴错误！未找到引用源。

=（x1-10，y1）•（x2-10，y2）=（x1-10）•（x2-10）+y1y2）=（x1-10）
•（x2-10）+（kx1-10k）（kx2-10k）
=（1+k2）x1x2-（10k2+10）（x1+x2）+100+100k2
=（1+k2）错误！未找到引用源。

-（10k2+10）错误！未找到引用源。

+100+100k2=48．
【解析】
（1）设Q（x，y），P（x0，y0），则+=16，由x=，y=，解得
x0=2x-10，y0=2y．代入圆的方程即可得出AP的中点Q的轨迹方程．
（2）直线l：kx-y-10k=0与圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2），把直线l的方程代入圆的方程可得：（1+k2）x2-（20k2+4k+4）x+100k2+40k-12=0．把根与系数的关系代入化简整理即可得出．
本题考查了圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩
平面ABD=AB，AD⊥AB，
得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；
（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，
∵M为棱AB的中点，故MN∥BC，
∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=错误！未找到引用源。

，
∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=错误！未找到引用源。

，
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=错误！未找到引用源。

．
∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为错误！未找到引用源。

；
（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，
故CM⊥AB，CM=错误！未找到引用源。

，
又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，
故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．
在Rt△CAD中，CD=错误！未找到引用源。

，
在Rt△CMD中，sin∠CDM=错误！未找到引用源。

．
∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为错误！未找到引用源。

．
【解析】
（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；
（Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．
21.【答案】解：（1）依题意：F（错误！未找到引用源。

，0），则直线l的方程为y=x-错误！未找到引用源。

，
由错误！未找到引用源。

，消y可得x2-3px+错误！未找到引用源。

=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，
∴|AB|=x1+x2+p=4p=16，
∴p=4
故抛物线C的方程为y2=8x．
（2）若经过M（1，2）的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于P，Q，则P，Q关于x
轴对称，满足|PN|=|QN|，即直线x=1满足题意．
若经过M（1，2）的直线的斜率存在，设它为k，则PQ：y-2=k（x-1）．
由错误！未找到引用源。

，消y可得k2x2-2（k2-2k+4）x+（k-2）2=0
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
则x3+x4=错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

（x3+x4）=错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

（y3+y4）=k（错误！未找到引用源。

-1）+2=错误！未找到引用源。

，∵|PN|=|QN|，
∴点N（5，0）在线段PQ的中垂线上，
即线段PQ的中垂线为：错误！未找到引用源。

，
即错误！未找到引用源。

所以直线PQ的方程为y-2=2（x-1）即y=2x．
故直线PQ的方程为x=1或y=2x．
【解析】
（1）根据题意可得直线l的方程为y=x-，再根据韦达定理结合|AB|=x1+x2+p=4p=16，即可求出；
（2）当直线的斜率不存在求出x=1，当直线的斜率存在，根据韦达定理和中点坐标公式，即可求出直线方程
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线方程的应用，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）设c为椭圆的半焦距，依题意，有：错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，
∴b2=a2-c2=3．
故椭圆E的方程为：错误！未找到引用源。

．
（2）解：由错误！未找到引用源。

=0⇒AC⊥BD，又错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

．
则AC：错误！未找到引用源。

，BD：错误！未找到引用源。

．
联立错误！未找到引用源。

，得5x2+8x=0，∴x=0或x=错误！未找到引用源。

，
∴|AC|=错误！未找到引用源。

．
联立错误！未找到引用源。

，得13x2+8x-32=0，∴错误！未找到引用源。

，
∴|BD|=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
∴错误！未找到引用源。

，
故四边形ABCD面积为错误！未找到引用源。

．
【解析】
（1）由题意列关于a，c的方程组，求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由已知向量等式可得AC⊥BD，又，则．分别写出AC、BD所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。