一二阶电路(青岛大学)小白发布

一二阶电路概述
电路在一定的条件下处于一种稳定状态，但当电路结构、电路参数、电源发生变化的时候，电路就会从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态。

这种稳定状态的改变不会在一瞬间完成，要有一个变化的过程，介于两种稳定状态之间的短暂过程称为电路的过渡过程即暂态。

过渡过程产生的原因是由于惯性元件即电感、电容的存在。

因为在一定的条件下电容和
电感储存的电场能量和磁场能量分别为当电路的稳定状态发生变化时，电路中的电流、电压必然发生变化，因此伴随着W C和W L的改变即有能量的输
入或输出，如果u c、i L发生跃变，则会引起W C、W L的跃变，则即功率为无穷大，这是不可能的。

因此，储能的变化只能是渐变而不是跃变的。

由于L、C元件的电压、电流约束关系是导数或积分来表示的，因此描述电路状态的方
程是以u c和i
L为变量的微分方程或积分方程。

如果电路中只有一个储能元件则描述电路状态的方程是一阶微分方程，称为一阶（动态）电路，具有一个电感和一个电容的电路称为二阶（动态）电路。

初始值的计算
当电路中存在L、C 时,描述电路特性的方程是微分方程。

求解微分方程时需要确定初始条件。

在数学中初始条件一般是给定的，但在电路理论中，初始条件是待定的。

在电路中通常情况下知道的是换路前的电路状态，而初始值是换路后的初态，因此要建立起两种状态之间的关系。

此关系是由换路定律决定的。

即：（1）在换路后的一瞬间，如果电感两端的电压保持有限值，则电感的磁链（电流）保持换路前终了时刻的数值而不跃变。

（2）在换路后的一瞬间，如果电容的电流保持有限值，则电容的电荷（电压）保持换路前终了时刻的数值而不跃变。

用表达式即：u c(0+)=u c(0-),i L(0+)=i L(0-)。

当计算电路的初始值时，除了利用换路定律外，还要根据KCL，KVL计算允许发生跃变或不跃变的其它物理量。

1、一阶电路的初始值（一）
图示电路中, 当S闭合时, 电路已达稳态，t=0时将S打开, 求t=0+时, 电容电压和各支路电流（电阻的单位为欧姆）。

分析：计算换路后的初始值,主要根据换路定律和基尔霍夫定律。

在换路瞬间当条件满足时不可跃变的是电感电流和电容电压，因此，首先要求出Uc(0-)然后根据KCL、KVL即可确定其它物理量的初始值。

方程及结果如下：
2、一阶电路的初始值（二）
图示电路中电压源的电压为U0，t=0时将开关打开。

求：换路的瞬间uc(0+)，ic(0+)，i L(0+)，u L(0+)，u R2(0+)。

分析、方程及结果如下：
一阶电路响应
一阶电路的响应包括零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲激响应。

零输入响应指当电路中无独立电源而依靠储能元件的初始条件维持的电压、电流响应；零状态响应指电路中有独立电源而储能元件的初始条件为零时的响应；全响应指电路中既有独立电源、储能元件又处在非零状态时的响应。

根据电路的KCL、KVL和元件的电压、电流约束关系，描述电路性状的是一阶微分方程，描述零输入响应的方程是一阶齐次微分方程，描述零状态响应和全响应的方程是非齐次微分方程。

依照数学中微分方程的解法和电路理论中的换路定律，可得到三种情况下的表达式分别为：
（1）RC串联接以直流电压源时的电压、电流响应为：
（2）RL串联接以直流电压源时的电流、电压响应为：
（3）一阶电路全响应的通用公式为：
1、一阶电路零输入响应
已知：电阻单位为欧姆，当t=0时将S闭合，求t>=0 时，电流i的变化规律。

分析：:当S闭合后，电路成为两个零输入响应电路，左边为RL零输入响应；右边为RC零输入响应；因此只要求出换路前i L(0-)，Uc(0-)，S闭合后代入零输入响应公式即可。

此时i = -(i L+ic)。

方程及结果如下：
2、一阶电路零状态响应
图示电路中，S闭合前电容电压Uc为为零状态(即uc(0-)=0)，t=0时，将S闭合。

求：t=>0时uc(t)，ic(t)。

分析：由于Uc(0-)=0，当S闭合后，该电路为RC电路的零状态响应，可直接套用零状态响应的标准公式：
只要将原电路用戴维南定理化简为R、C串联电路，带入公式即可。

过程及结果如下：
3、一阶电路全响应
图示电路，原S1闭合S2打开时，已达稳态；t=0换路，将S1打开S2闭合，要求：
(1)定性绘出换路后Uc变化曲线。

(2)换路后经过多长时间，Uc等于0。

分析：换路前电容被充电至5v，换路瞬间u c(0+)=5V 不能跃变，t>0时为R1、C 串联电路在非零状态下接通直流电源的全响应。

其物理过程为：电容首先以5v为初始值，经R1与Us2放电至电压为0 后，然后反充电到Us2（-5V）。

方程及结果如下：
4、含受控源的一阶电路（用三要素法）
已知：电容电压的初始值为零即u c(0-)=0。

求：换路后u c变化规律，并画出变化曲线。

分析：在一阶电路中，不管属于哪种类型：零输入、零状态、全响应、有(无)受控源，只要电源不是指数形式都可以归结为用三要素法求解。

三要素指：初始值、稳态值、时间常数；
其一般表达式为：
对于本题来讲：可应用戴维南定理将左边含源二端网络用电压源等值代替，再代入基本公式求解；也可以直接求出uc的初始值、稳态值、时间常数，再代入三要素法公式求解(本题应用后者解题)。

方程及结果如下：
5、一阶电路阶跃响应
如图所示电路，开关S合在位置1时电路已达稳定状态。

t=0时，开关由位置1合向位置2，在t=RC时又由位置2合向位置1，求t>=0时的电容电压uc(t).
分析：此题可用两种方法求解。

方法1为应用分段方法求出RC电路的零状态和零输入响应；方法2是应用阶跃函数表示激励以求得阶跃响应。

方程及结果如下：
6、一阶电路冲激响应
如图所示，求电路冲激响应u L(t)。

分析：通常情况下，电路中某些物理量发生跃变，可以用三要素法或建立电路的微分方程求出响应。

本题采用后者。

方程及结果如下：。