函数的单调性与导数[精编文档]
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(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(4) f (x)=__6_x_2+__6_x_-2_4_____
当 f (x)>0, 即x 1 17 或x 1 17 时，f(x)单调递增
2
2
当 f (x)<0, 即 1 17 x 1 17 时，f(x )单调递减
2
2
所以函数的单调递增区间为 （-，-1- 17 ）、（-1+ 17 ，+）
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(3) f (x)=__c_o_s_x_-_1__<_0__
f(x)在x∈(0,)内单调递减.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
当x=4,或x=1时: f (x) = 0, 这两点为“临界点”.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
解: (1)f (x)=3x2+3 =3(x2+1) >0
(3)单调递增区间为 (1,1) ,单调递减区间为
(,-1)、(1, )
(4)单调递增区间为 (, - 1 )、(1, ) ,单调递减区间为
( 1 ,1)
3
3
例3. 如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容 器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象. 如果一个函数在某一个范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时,函数的图象就比较“陡峭”( 向上或向下); 反之,函数的图象就“平缓”
1.3.1函数的单调性与导数
温故知新
问题1:导数的几何意义？
函数在一个点处的导数值，就是函数图象 以该点为切点的切线的斜率
如果函数在一个点处的导数值大于零，在此点 附近，函数图象呈上升状；
如果函数在一个点处的导数值小于零，在此点 附近，函数图象呈下降状.
问题2:函数单调性的定义是怎样描述的?
方法: 定义法；
配方法；
y=f(x)
y=f(x) 图象法等。
f(x1) < f(x2)
f(x1) > f(x2)
a
x1 < x2 b x a x1 < x2 b x
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域内某个区
D上的任意两个自变量的值x1, x2,
当x1 <x2
f(x1)<f(x2) f(x)在D上是增函数; f(x1)>f(x2) f(x)在D上是减函数;
所以f (x) = x3+3x在xR上单调递增
(2) f (x)=2x－2 =2(x－1)
y
当f (x)>0，即x>1时，f(x)单调递增;
当f (x)<0, 即x<1时，f(x)单调递减;
所以函数的单调递增区间为 1,
O
x
单Байду номын сангаас递减区间为 ,1
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
O 65
98
bt ② h(t)＜0
65 98
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两 段时间的运动状态有什么区别?
再观察下面一些函数的图象, 探讨导函数的正负与其对 应函数的单调性的关系:
f (x)>0 f (x)↗
f (x)<0 f (x)↘
f (x)>0 f (x)↗
f (x)=1
f (x)=2x
2
2
递减区间为（-1- 17 ，-1+ 17 ）
2
2
求函数单调区间的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域; ②求出函数的导数f (x); ③解不等式f (x)>0，解集在定义域内的部分为增区间;
④解不等式f (x)<0，解集在定义域内的部分为减区间; 求函数的单调区间实质就是解导数不等式f (x)>0或 f (x)<0
例1.已知导函数f (x)的下列信息: 当1<x<4时, f (x)>0; 当x>4时,或x<1时, f (x)<0 当x=4,或x=1时, f (x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状 解 当1<x<4时: f (x)>0, f (x)在此区间内单调递增;
当x>4或x<1时: f (x)<0, f (x)在这两区间内单调递减;
练习 （课本P26练习1）
判断下列函数的单调性,并求出单调区间
1 f x x2 2x 4 3 f x 3x x3
2 f x ex x 4 f x x3 x2 x
(1)单调递增区间为 (1, +) ,单调递减区间为 (,1)
(2)单调递增区间为 (0, +) ,单调递减区间为 (,0)
是否有更为简捷的方法呢?
下面我们考察单调性与导数有什么关系:
方法: 定义法； 配方法； 图象法等。
高台跳水运动员的高度h 随时间t变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10
① h(t)↗
高台跳水运动员的速 度v随时间t变化的函数
v(t)=h (t)＝－9.8t＋6.5
v ① h(t)>0
②h(t)↘
你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
练习 试画出导函数图像的大致形状。
y y=f(x)
y
y f x
Oa
bc
x
O a bc
x
y
小结
1.函数单调性与导数符号的关系是:
导数 f (x) > 0 单调递增
导数 f (x) < 0 单调递减 2.求函数单调性的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域; ②求出函数的导数f (x); ③解不等式f (x)>0，解集在定义域内的部分为增区间; ④解不等式f (x)<0，解集在定义域内的部分为减区间;
作业
课本：P31：1,2 小聚焦
思考:那么判断下列函数的单调性? (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
发现问题:
用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,
但十分麻烦, 尤其是在不知道函数图象时.
f (x)>0 (x≠0)
f (x)↗ f (x)=3x2
f (x) <0 f (x) ↘
f (x)<0
f (x)↘
f (x)=
1 x2
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f (x1)<0
y
f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
(x1, f(x1)) O
(x0, f(x0)) x
一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,
如果f (x)>0
函数y=f (x)在这个区间内单调递增;
如果f (x)<0
函数y=f (x)在这个区间内单调递减;
如果在某个区间内恒有 f (x)=0,那么函数 f (x)有什么特性? f (x)=c
(4) f (x)=__6_x_2+__6_x_-2_4_____
当 f (x)>0, 即x 1 17 或x 1 17 时，f(x)单调递增
2
2
当 f (x)<0, 即 1 17 x 1 17 时，f(x )单调递减
2
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所以函数的单调递增区间为 （-，-1- 17 ）、（-1+ 17 ，+）
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(3) f (x)=__c_o_s_x_-_1__<_0__
f(x)在x∈(0,)内单调递减.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
当x=4,或x=1时: f (x) = 0, 这两点为“临界点”.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
解: (1)f (x)=3x2+3 =3(x2+1) >0
(3)单调递增区间为 (1,1) ,单调递减区间为
(,-1)、(1, )
(4)单调递增区间为 (, - 1 )、(1, ) ,单调递减区间为
( 1 ,1)
3
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例3. 如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容 器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象. 如果一个函数在某一个范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时,函数的图象就比较“陡峭”( 向上或向下); 反之,函数的图象就“平缓”
1.3.1函数的单调性与导数
温故知新
问题1:导数的几何意义？
函数在一个点处的导数值，就是函数图象 以该点为切点的切线的斜率
如果函数在一个点处的导数值大于零，在此点 附近，函数图象呈上升状；
如果函数在一个点处的导数值小于零，在此点 附近，函数图象呈下降状.
问题2:函数单调性的定义是怎样描述的?
方法: 定义法；
配方法；
y=f(x)
y=f(x) 图象法等。
f(x1) < f(x2)
f(x1) > f(x2)
a
x1 < x2 b x a x1 < x2 b x
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域内某个区
D上的任意两个自变量的值x1, x2,
当x1 <x2
f(x1)<f(x2) f(x)在D上是增函数; f(x1)>f(x2) f(x)在D上是减函数;
所以f (x) = x3+3x在xR上单调递增
(2) f (x)=2x－2 =2(x－1)
y
当f (x)>0，即x>1时，f(x)单调递增;
当f (x)<0, 即x<1时，f(x)单调递减;
所以函数的单调递增区间为 1,
O
x
单Байду номын сангаас递减区间为 ,1
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
O 65
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bt ② h(t)＜0
65 98
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两 段时间的运动状态有什么区别?
再观察下面一些函数的图象, 探讨导函数的正负与其对 应函数的单调性的关系:
f (x)>0 f (x)↗
f (x)<0 f (x)↘
f (x)>0 f (x)↗
f (x)=1
f (x)=2x
2
2
递减区间为（-1- 17 ，-1+ 17 ）
2
2
求函数单调区间的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域; ②求出函数的导数f (x); ③解不等式f (x)>0，解集在定义域内的部分为增区间;
④解不等式f (x)<0，解集在定义域内的部分为减区间; 求函数的单调区间实质就是解导数不等式f (x)>0或 f (x)<0
例1.已知导函数f (x)的下列信息: 当1<x<4时, f (x)>0; 当x>4时,或x<1时, f (x)<0 当x=4,或x=1时, f (x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状 解 当1<x<4时: f (x)>0, f (x)在此区间内单调递增;
当x>4或x<1时: f (x)<0, f (x)在这两区间内单调递减;
练习 （课本P26练习1）
判断下列函数的单调性,并求出单调区间
1 f x x2 2x 4 3 f x 3x x3
2 f x ex x 4 f x x3 x2 x
(1)单调递增区间为 (1, +) ,单调递减区间为 (,1)
(2)单调递增区间为 (0, +) ,单调递减区间为 (,0)
是否有更为简捷的方法呢?
下面我们考察单调性与导数有什么关系:
方法: 定义法； 配方法； 图象法等。
高台跳水运动员的高度h 随时间t变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10
① h(t)↗
高台跳水运动员的速 度v随时间t变化的函数
v(t)=h (t)＝－9.8t＋6.5
v ① h(t)>0
②h(t)↘
你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
练习 试画出导函数图像的大致形状。
y y=f(x)
y
y f x
Oa
bc
x
O a bc
x
y
小结
1.函数单调性与导数符号的关系是:
导数 f (x) > 0 单调递增
导数 f (x) < 0 单调递减 2.求函数单调性的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域; ②求出函数的导数f (x); ③解不等式f (x)>0，解集在定义域内的部分为增区间; ④解不等式f (x)<0，解集在定义域内的部分为减区间;
作业
课本：P31：1,2 小聚焦
思考:那么判断下列函数的单调性? (1) f (x) = x3＋3x; (2) f (x) = x2－2x－3; (3) f (x) = sinx－x, x(0,);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
发现问题:
用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,
但十分麻烦, 尤其是在不知道函数图象时.
f (x)>0 (x≠0)
f (x)↗ f (x)=3x2
f (x) <0 f (x) ↘
f (x)<0
f (x)↘
f (x)=
1 x2
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f (x1)<0
y
f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
(x1, f(x1)) O
(x0, f(x0)) x
一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,
如果f (x)>0
函数y=f (x)在这个区间内单调递增;
如果f (x)<0
函数y=f (x)在这个区间内单调递减;
如果在某个区间内恒有 f (x)=0,那么函数 f (x)有什么特性? f (x)=c