2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高二年级上册学期期末数学(理)试题【含答案】

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高二上学期期末数学（理）试题
一、单选题
1．已知等差数列{}n a 中，6108a a +=，则8a 的值是（ ） A ．2 B ．8 C ．1 D ．4
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质即可求出.
【详解】因为{}n a 是等差数列，所以610828a a a +==，即84a =. 故选：D.
2．命题“0x ∀≥，e 1x x ≥+”的否定是（ ） A ．0x ∃≥，e 1x x ≥+ B ．0x ∀≥，e 1x x <+ C ．0x ∀≥，e 1x x ≥+ D ．0x ∃≥，e 1x x <+
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定形式即可判断得出答案. 【详解】由题意可知，利用全称量词命题的否定形式即可知， “0x ∀≥，e 1x x ≥+”的否定为“0x ∃≥，e 1x x <+”. 故选：D
3．已知双曲线2
2
:12
y C x -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y =
B ．2y x =±
C ．y =
D ．1
2
y x =±
【答案】A
【分析】根据双曲线几何性质解决即可.
【详解】由题知，双曲线2
2
:12
y C x -
=中，1,a b ==x 轴上，渐近线方程为b y x a =±，
所以双曲线C 的渐近线方程为y =， 故选：A
4．已知0a b >>且22a b >，那么下列不等式中，成立的是（ ） A ．11a b <
B ．32a ab <
C ．23a b b <
D ．0a b +<
【答案】C
【分析】A 选项，利用a ，b 的正负判断即可；B 、C 选项，利用不等式22a b >两边同乘a ，b 判断；
D 选项，利用不等式开方性质判断．
【详解】解：因为22a b >，所以||||a b >，又0a b >>，所以a b >-，即0a b +>，所以D 选项错误；
A 选项：因为0a b >>，所以
11
0a b
>>，所以A 选项错误； B 选项：因为22a b >，0a >，所以32a ab >，所以B 选项错误；
C 选项：因为22a b >，0b <，所以23a b b <，所以C 选项正确．
故选：C ．
5．关于x 的不等式210x ax -+>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞ B ．()(),22,-∞-+∞
C ．[]22-,
D ．()2,2-
【答案】D
【分析】根据对应抛物线开口向上的一元二次不等式大于零恒成立，直接列判别式∆<0，计算即可. 【详解】关于x 的不等式210x ax -+>的解集为R ，故对应方程的判别式240a ∆=-<，即24a <，
2a <，故22a -<<.
故选：D.
6．已知平面α的一个法向量为()2,1,3-，平面β的一个法向量为()3,9,1，则平面α和平面β的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．重合
【答案】B
【分析】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论.
【详解】将平面α的法向量记为()2,1,3m =-，平面β的法向量记为()3,9,1n =，
6930m n ⋅=-+=，m n ∴⊥，则αβ⊥. 故选：B.
7．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，点N 为AB 中点，则MN =（ ）
A ．112223
a b c +-
B ．111
222
a b c +-
C ．121232
a b c -+
D ．211322
a b c -++
【答案】A
【分析】由题意结合图形，直接利用MN ON OM =-，即可求解.
【详解】因为空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，点N 为AB 中点， 所以11
22
ON a b =
+， 所以112
223
MN ON OM ON MO a b c +=-=+=-. 故选：A 8．“
2
1>a
”是“()20a a -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解不等式，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由()20a a -<，解得02a <<； 由
21>a ，可得210a
->，即2
0a a -<， 解得02a <<，前后一致， 既符合充分性，又符合必要性. 故选：C
9．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是
A ．62米
B ．66米
C ．32米
D ．36米
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，求抛物线方程，再求结果.
【详解】一抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线为x 轴建立直角坐标系，如图，可设抛物线方程为2x my =，因为过点()6,2-，所以2262,18,18m m x y =-=-=-， 令1y =-，则32262x x =∴=，选A.
【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析判断能力，属基础题. 10．已知命题:p 函数()()4
0f x x x x
=+
≠的最小值为4；命题:q 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“A B >”是“a b >”的充要条件.则下列命题为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∧ B ．()p q ∨⌝
C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】A
【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于命题p ，当0x <时，()()()444
24f x x x x x x x
⎡
⎤=+
=--+≤--⋅
-⎢⎥--⎣
⎦， 当且仅当()4
0x x x
-=-
<时，即当2x =-时，等号成立，命题p 为假命题； 对于命题q ，在三角形中，由大边对大角、大角对大边定理可知“A B >”是“a b >”的充要条件，命题q 为真命题.
因此，()p q ⌝∧为真命题，()p q ∨⌝、p q ∧、()()p q ⌝∧⌝均为假命题. 故选：A.
11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的
比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%，今共有粮(0)m m >石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲､丙所得之和为164石，则“衰分比”为（ ） A ．20% B ．25% C ．75% D ．80%
【答案】A
【分析】根据题意，设衰分比为%x ，甲分到a 石，0%1x <<，然后可得(1%)80a x -=和2(1%)164a a x +-=，解出a 、x 的值即可．
【详解】根据题意，设衰分比为%x ，甲分到a 石，0%1x <<， 又由今共有粮食(0)m m >石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”， 已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石， 则(1%)80a x -=，2(1%)164a a x +-=， 解得：100a =，20x ，
故选：A
12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，以A 为圆心，OA
（O 为坐标原点）为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若2⊥PF PA ，且122PF PF =，则双曲线C 的离心率为
A
．1+B ．1+C D 【答案】A
【分析】先由题意得到OA a =，2AF c a =-，求出2PF ，再由双曲线的定义结合122PF PF =求出
2PF ，两式相等，即可求出结果.
【详解】由题意可得OA a =，2AF c a =-，因为2PF PA ⊥，所以2PF =
=又因点P 在双曲线的右支上，所以122PF PF a -=，因为122PF PF =，所以22PF a =；因此
2a ，即2224c ac a -=，所以2
240e e --=，解得1e =1e >，所以1e =故选A
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.
二、填空题
13．已知直线l 的方向向量为(1,1,2)e =-，平面α的法向量为1
(,,1)()2
n R λλ=-∈，若l α⊥，则实数
λ的值为_________.
【答案】1
2
-
【分析】由l α⊥，得出e 与n 平行，利用向量的共线关系求解即可
【详解】由题意得，l α⊥，所以e 与n 平行，则存在实数m 使得=e m n ⋅，即1
(1,1,2)(,,1)2
m λ-=-，
可得1212m m m
λ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以，1
2λ=-，2m =-，
答案为：1
2
-
【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题
14．已知方程
22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______________________
【答案】3
(1,)2
【分析】根据椭圆标准方程得不行关系后可求得范围． 【详解】由题意210m m ->->，解得312
m <<
． 故答案为：3
(1,)2
．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．
15．已知实数x ，y 满足约束条件210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪<⎩则2z x y =-的最小值是______.
【答案】0
【分析】根据题意画出可行域，平移目标函数即可解决. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由2z x y =-，得2y x z =-，
平移直线2y x z =-，由图知，当直线2y x z =-过点C 时，z 取得最小值，
由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12(,)33C ，
所以2z x y =-的最小值为0， 故答案为：0
16．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则平面11C D EF 与底面ABCD 夹角的余弦值为______.
5
【分析】推导出EF ⊥平面11AA D D ，可得出EF DE ⊥，1EF D E ⊥，则平面11C D EF 与底面ABCD 夹角为1D ED ∠，计算出1cos D ED ∠，即为所求.
【详解】因为//AD BC 且AD BC =，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则//DE CF 且DE CF =， 所以，四边形CDEF 为平行四边形，则//EF CD ， 因为CD ⊥平面11AA D D ，EF ∴⊥平面11AA D D ，
因为DE 、1D E ⊂平面11AA D D ，EF DE ∴⊥，1EF D E ⊥， 所以，平面11C D EF 与底面ABCD 夹角为1D ED ∠，
易知1DD AD ⊥，设12DD a =，则DE a =，22115D E DD DE a +， 所以，115
cos 5DE D ED D E a
∠=
==
因此，平面11C D EF 与底面ABCD
.
三、解答题
17．已知等比数列{}n a 中，11a =，418
a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】(1)1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
(2)(1)2
n n n
S -=
【分析】（1）根据条件求出q 即可； （2）1
221log log 12n n n b a n -⎛⎫===- ⎪
⎝⎭
，然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
有3411
8a q a =
=，解得12
q = 故数列{}n a 的通项公式为1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
（2）1
221log log 12n n n b a n -⎛⎫
===- ⎪
⎝⎭
，
故数列{}n b 的前n 项和(1)2
n n n
S -=
18．已知函数()2
43f x x x =-+-.
(1)求解不等式()0f x >的解集； (2)当()0,x ∈+∞时，求函数()f x y x
=的最大值，以及y 取得最大值时x 的值.
【答案】(1)()1,3
(2)
当x =y
取得最大值4-
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可得解； （2）利用基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）解：()0f x >，即2430x x -+->，解得13x <<， 所以不等式()0f x >的解集为()1,3；
（2）解：()334444f x y x x x
x x ⎛
⎫=
=--+=-++≤-=- ⎪⎝
⎭
当且仅当3
x x
=
，即x =
所以当x =y 取得最大值4-.
19．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos 0b C B +⋅=. (1)求角B 的大小；
(2)若7b =，8a c +=，求△ABC 的面积. 【答案】(1)23
π
【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得sin sin cos 0B C C B ⋅=，
又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，因此tan B = 又()0,B π∈，所以23
B π
=
； （2）由余弦定理，得()()2
2
222
22cos 22cos
3
b a
c ac B a c ac ac a c ac π=+-=+--=+-， 所以()2
2644915ac a c b =+-=-=，
所以△ABC 的面积11sin 1522S ac B =
=⨯=
. 20．已知抛物线C ：22(0)y px p =>.
（1）若直线20x y --=经过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的准线方程；
（2）若斜率为-1的直线经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，当2AB =时，求
抛物线C 的方程.
【答案】(1) 2x =-.(2) 2y x =.
【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线20x y --=与横轴的交点坐标就是抛物线C 的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；
（2）写出斜率为-1经过抛物线C 的焦点F 的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出AB ，结合已知2AB =，求出的值，写出抛物线的方程.
【详解】(1)∵直线20x y --=经过抛物线C 的焦点， ∴抛物线C 的焦点坐标为(2,0)， ∴抛物线C 的准线方程为2x =-.
（2）设过抛物线C 的焦点且斜率为-1的直线方程为2
p
y x =-+
，且直线与C 交于，
，
由222p y x y px
⎧
=-+⎪⎨
⎪=⎩化简得22
304p x px -+=， ∴.
∵1242AB x x p p =++==，解得12
p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.
【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.
21．在三棱柱111ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=，12AB AC AA ===，,M N 分别是1,AB A C 的中点．请用空间向量知识解答下列问题：
(1)求证：//MN 平面11BCC B ；
(2)求直线1BC 与平面1MB C 夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析
(2)23
【分析】（1）以1A 为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量坐标运算可得112
MN BC =
，知1//MN BC ，根据线面平行的判定可得结论；
（2）利用线面角的向量求法可直接求得结果. 【详解】（1）以1A 为坐标原点，11111,,A B AC A A 正方向为
,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则()12,0,0B ，()2,0,2B ，()10,2,0C ，()0,2,2C ，()1,0,2M ，()0,1,1N ，
()1,1,1MN ∴=--，()12,2,2BC =--，112MN BC ∴=， 1//MN BC ∴，又1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，//MN ∴平面11BCC B .
（2）由（1）知：()12,2,2BC =--，()11,0,2MB =-，()12,2,2B C =-，
设平面1MB C 的法向量(),,n x y z =，
则11202220
MB n x z B C n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1z =，解得：2x =，1y =，()2,1,1n ∴=， 1112cos ,236
BC n BC n BC n ⋅∴<>===⨯⋅， 即直线1BC 与平面1MB C 2. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，点(2,2P -在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线:2l x my =+交椭圆C 于,A B 两点，求1ABF 面积的最大值.
【答案】(1)2
2
184x y +=
(2)
【分析】（1
）根据椭圆离心率以及点(2,P 联立方程组即可得椭圆标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得面积表达式，再利用基本不等式即可求得最值.
【详解】（1
）由离心率2e =
2
c a =，即222a c =，
由点(2,P 在椭圆C 上可得
22421a b +=，又222a b c =+
解得a =2b c ==，
∴椭圆C 的标准方程为2
2
184x y +=.
（2）由（1）可得()12,0F -，()22,0F ，故直线l 过焦点2F ， 联立222,1,84x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消去x 可得()222440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12242
m y y m +=-+，12242y y m =-+， 则
12y y -==
∴
112121211ABF S F F y y m =⋅-=≤=++△ 当且仅当211m +=，即0m =时取等号，
故1
ABF 面积的最大值为。