第2章 对偶理论证明补充

将原问题目标函数中的系数向量C用 C=YA-YS代替后,得到 z=(YA-YS)X=YAX-YSX (2-15) 将对偶问题的目标函数中系数列向量b, 用 b=AX+XS 代 替 后 , 得 到 ω=Y(AX+XS)=YAX+YXS (2-16)
若YS X = 0,YX S = 0;则Yb = YAX = CX , 由性质(4),可知X ,Y是最优解. 又若分别是原问题和对偶问题的最优解, 根据性质(4),则有CX = YAX = Yb 由(2 15),(2 16)式可知,必有 YX = 0 ,Y X = 0
证明:
设:X是原问题的可行解,Y是对偶问题的可行解 当CX = Yb时,X ,Y是最优解. 证:若CX = Yb,根据性质2可知,对偶问题的 所有可行解Y 都存在Y b ≥ CX ;因CX = Yb , 所以Y b ≥ Yb.可见是使目标函数取值最小的可行解, 因而是最优解. 同理可证明,对原问题的所有可行解X, 存在CX = Yb ≥ CX ,所以是最优解. 证毕.
(1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题
证设原问题是 max z=CX; AX≤b; X≥0 ; 根据对偶问题的对称变换关系, 根据对偶问题的对称变换关系,可以找到它的对偶问题 是 min ω=Yb; YA≥C; Y≥0 ; 若将上式两边取负号,又因min ω=max(-ω)可得到 若将上式两边取负号,又因 可得到 max(-ω)=-Yb; -YA≤-C; Y≥0 ; 根据对称变换关系, 根据对称变换关系,得到上式的对偶问题是 min(-ω′)=-CX; -AX≥-b; X≥0 ; 又因 min(-ω′)=maxω′ 可得 maxω′=max z=CX; AX≤b; X≥0 ; 这就是原问题.证毕. 这就是原问题.证毕.
(5) 对偶定理 若原问题有最优解,那么对 偶问题也有最优解;且目标函数值相等.
证:设 X 是原问题的最优解,它 对应的基矩阵 B , 必存在 C C B 1 A ≤ 0 ,即得到 Y A ≥ C ,其中 Y = C B 1 .
B B
1 若Y是对偶问题的可行解,使得ω = Yb = CB B 1b 因原问题的X是最优解,使目标函数取值z = CX = CB B 1b 由此,得到Yb = C B 1b = CX B
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4.2 对偶问题的基本性质
(1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 ; (2)弱对偶性 若X是原问题的可行解,Y是对 偶问题的可行解.则存在CX≤Yb; (3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解, 则其对偶问题(原问题)无可行解; (4) 可行解是最优解时的性质 ; (5) 对偶定理 若原问题有最优解,那么对 偶问题也有最优解;且目标函数值相等; (6) 互补松弛性 ; (7) 原问题检验数与对偶问题解的关系 关系. 关系
(2-17) (2-18)
当求得原问题的一个解:XB=B-1b 其相应的检验数为CN-CBB-1N与 -CBB-1 现分析这些检验数与对偶问题的解 之间的关系:令Y=CBB-1,将它代入 (2-17)式,(2-18)式得 YS1=0, -YS2=CN-CBB-1N 证毕
例4 已知线性规划问题
S S
(7) 原问题检验数与对偶问题解的关系
设原问题是 max z=CX; AX+XS=b; X,XS≥0 它的对偶问题是 min ω=Yb; YA-YS=C; Y,YS≥0 则原问题单纯形表的检验数行对应其对 偶问题的一个基解,其对应关系见表2-5.
表2-5 对应关系
XB XN XS 1 1 0 CN CB B N CB B YS1 YS 2 Y
max z=x1+x2 -x1+x2+x3≤2 -2x1+x2-x3≤1 x1,x2,x3≥0
试用对偶理论证明上述线性规划问题 无最优解. 先将其变换为对偶问题.
上述问题的对偶问题为
minω=2y1+y2 -y1-2y2≥1 y1+ y2≥1 y1- y2≥0 y1,y2≥0
由第1约束条件,可知对偶问题无可行解; 原问题虽然有可行解,但最优解.
YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量, YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量.
证: 设B是原问题的一个可行基,于是 A=(B,N);原问题可以改写为
max z=CBXB+CNXN BXB+NXN+XS=b XB,XN,XS≥0 相应地对偶问题可表示为 min ω=Yb YB-YS1=CB YN-YS2=CN Y,YS1,YS2≥0 这里YS=(YS1,YS2).
(3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解,则 其对偶问题(原问题)无可行解 证:由性质(2)可知,
Y b ≥ CX → ∞ ,是不可能成立.
例: LP :
DP : min ω = y1 + y 2 2 y1 + y 2 ≥ 1 y1 y 2 ≥ 1 y ,y ≥ 0 1 2
max z = x1 + x 2 2 x1 + x 2 ≤ 4 x1 x 2 ≤ 2 x ,x ≥ 0 1 2
从两图对比可明显看到原问题无界, 其对偶问题无可行解
2 x1 + x2 ≤ 4 x1 x2 ≤ 2 x ,x ≥ 0 1 2
y2
y1
2 y1 + y2 ≥ 1 y1 y2 ≥ 1 y ,y ≥ 0 1 2
(4) 可行解是最优解时的性质
设 X 是原问题的可行解, 是对偶问题的 Y X 可行解,当 CX = Yb 时, ,Y 是最优解.
可见Y是对偶问题的最优解.
(6) 互补松弛性
若X,Y 分别为原问题和对偶问 题的可行解, 那么 Y X = 0和Y X = 0;当标准关系是 原问题 max z = CX AX + X S = b X ,X S ≥ 0 对偶问题 min ω = Yb YA YS = C Y ,Y S ≥ 0
(2)弱对偶性
若 X 是原问题的可行解, Y 是对偶问题的可行解 则存在 C X ≤ Y b
证明:
设原问题是 max z = CX; AX ≤ b; X ≥ 0 因 X 是原问题的可行解,所 以满足约束条件 ,即 AX ≤ b 若 Y 是对偶问题的可行解, 将 Y 左乘上式,得到 Y AX ≤ Y b 原问题的对偶问题是 : min ω = Yb ;YA ≥ C ;Y ≥ 0 因 Y 是对偶问题的可行解, 所以满足 Y A ≥ C 将 X 右乘上式 ,得到 Y A X ≥ C . 于是得到 C X ≤ Y A X ≤ Y b 证毕 .