2020-2021学年重庆实验外国语学校七年级(下)期中数学试卷-解析版

2020-2021学年重庆实验外国语学校七年级（下）期中数
学试卷
1.下列运算正确的是( )
A. (a2)3=a6
B. a3⋅a4=a12
C. a8÷a4=a2
D. (−3a2)2=6a4
2.若一个角等于42∘，则它的余角等于( )
A. 38∘
B. 48∘
C. 138∘
D. 148∘
3.计算(a−2)2的结果是( )
A. a2−2a+4
B. a2+2a+4
C. a2−4a+2
D. a2−4a+4
4.如图，能判断a//b的条件是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠2+∠4=180∘
C. ∠4+∠5=180∘
D. ∠2=∠3
5.如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，
若∠B=36∘，则∠DAC的度数为( )
A. 36∘
B. 46∘
C. 54∘
D. 64∘
6.计算(x−y)4÷(−x+y)3的结果是( )
A. x−y
B. x+y
C. −x+y
D. −x−y
7.下列说法错误的是( )
A. 三角形的高、中线、角平分线都是线段
B. 三角形的三条中线都在三角形内部
C. 锐角三角形的三条高一定交于同一点
D. 三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
8.一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后
由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为( )
A. x
6+x+1
8
=1 B. x
6
+x−1
8
=1 C. x
6
−x+1
8
=1 D. x
6
−x−1
8
=1
9.如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，
则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是( )
A. AB=AC
B. ∠B=∠C
C. ∠AEB=∠ADC
D.
CD=BE
10.下列图形都是由同样大小的“⋅”按照一定的规律所组成的，按照此规律下去，第
22个图形中“⋅”的个数是( )
A. 61
B. 64
C. 67
D. 70
11.若关于x的方程a
3x=x
2
−x−6
6
无解，则a的值为( )
A. 1
B. −1
C. 0
D. ±1
12.如图，将等边△ABC绕点A逆时针旋转α∘(0<α<60)得到△
AB1C1，BC与B1C1相交于点E，连接AE，BB1，B1C，CC1，下
列结论：①△ABB1≌△ACC1；②∠B1EC−∠B1AC是定值；③α=
2∠B1CE；④AE⊥B1C.其中，正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13.新疆有三宝，“石油煤炭两黑宝，棉花遍野品质高”，2020年，
新疆棉花总产量达5161000吨，占全国棉花总产量的87.3%，数据5161000用科学记数法可表示为______.
14.已知(x+y)2=5，(x−y)2=1，则xy=______.
15.在△ABC中，AM是BC边上的中线，已知AB−AC=5，且△AMC的周长是20，则
△ABM的周长是______.
16.已知△ABC的三边为a，b，c，则|a+b−c|+|a−b−c|的值为______.
17.如图，AB//CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，
GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG=90∘，∠EFB=20∘，
则∠E的度数为______.
18.如图，BD、CE是△ABC的高，若AB=4，AC=6，CE=5，则
BD的长度是______.
19.如图，将△ABC沿着AC边翻折得到△AB1C，连接BB1交AC于
点E，过点B1作B1D//AC交BC延长线于点D，交BA延长线
于点F，连接DA，若∠CBE=45∘，BD=6cm，则△ADB1的
面积为______.
20.重庆市某蛋糕店推出一批新款蛋糕，有草莓味、芒果味、榴莲
味三种．最初生产的草莓味、芒果味、榴莲味的数量比是3：
5：2.随着新品的推广，该厂家立刻又生产了一批这三种口味
的蛋糕，其中榴莲味蛋糕增加的数量占总增加数量的1
3
，
此时草莓味的总数量将达到三种新品蛋糕两次制作总数
量的1
4
，草莓味蛋糕两次制作的总量与芒果味蛋糕两次制
作的总量之比为5：9，则芒果味蛋糕第一次与第二次制
作的数量之比是______.
21.(1)计算：2−2+(π−3)0+(−2)2；
(2)解方程：1−x−1
2=2+x
3
.
22.计算：
(1)2x2y(x−1
2
y+1)；(2)(x−2y)(y−x).
23. 先化简，再求值
[(x +3y)2−(x −3y)2−(3y −x)(x +3y)−x 2]÷(3y)，其中x ，y 满足x 2+4x +4+|y +1|=0.
24. 如图，已知∠α和∠β，求作：以O 为顶点，射线OA 为一边，作∠AOB ，使∠AOB =
∠α+∠β(保留作图痕迹，不要求说明理由).
25. 如图，若AB//CD ，AB =CD 且CE =BF.
(1)求证：AE =DF ；
(2)若∠AEB =62∘，∠C =47∘，求∠A 的度数．
26. 柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份一共
购进300个福建蜜柚和200个泰国青柚进行销售．已知每个泰国青柚的进价比每个福建蜜柚的进价多10元，且购进泰国青柚比福建蜜柚多花费1200元．已知福建蜜柚的销售价格为12元一个，泰国青柚的销售价格为24元一个，销售一段时间后发
现福建蜜柚售出了总数的2
3
，泰国青柚售出了总数的3
4
，为了清仓，该店老板决定对
剩下的福建蜜柚和泰国青柚以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出． (1)每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为多少元？
(2)剩下的福建蜜柚和泰国青柚打几折，才能使这批水果的利润率为20%？
27.对于一个三位正整数，若其各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这样的
三位数为“相异数”．将“相异数”n任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为F(n)，例如F(123)=12+13+
23+21+31+32=132.把F(n)与11的商记为D(n)，例如D(n)=F(123)
11=132
11
=12.
(1)最大的“相异数”与最小的“相异数”的差为______；
(2)若“相异数”n=100a+10b+c(其中a、b、c都是正整数，1≤a<b<c≤9)，
若“相异数”n满足个位上的数字是百位上的数字的2倍，且D(n)能被7整除，请求出所有满足条件的“相异数”n.
28.下面是一张10×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的一个顶
点都称为方格纸的一个格点．如图，点A、B、C都是射线AD上的格点，点A、E、
F、M都是射线AN上的格点．
(1)如图1，连接BF，求△ABF的面积；
(2)如图2，求证：AC=AF；
(3)如图3，点P是∠DAN内部的一个格点，连接AP，直线QH经过点P，交射线
AD于点Q，交射线AN于点H，并且使得∠1=∠2，问：在这张10×10的方格子上，是否存在这样的格点P，使得△QPA与△APH全等，若存在，请直接在图3中标出点P的位置；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.(a2)3=a6，故选项正确，符合题意；
B.a3⋅a4=a7，故选项错误，不符合题意；
C.a8÷a4=a4，故选项错误，不符合题意；
D.(−3a2)2=9a4，故选项错误，不符合题意；
故选：A.
根据同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则计算逐一判断即可．
本题考查了幂的运算，正确运用同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则计算是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据余角的定义得，42∘角的余角度数是90∘−42∘=48∘.
故选：B.
根据余角的定义即可求解．
本题考查了余角和补角，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90度．
3.【答案】D
【解析】解：(a−2)2=a2−4a+4，
故选：D.
利用完全平方公式计算即可得到结果．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A，∵∠1=∠2，
∴c//d(同位角相等，两直线平行)，
故A选项不符合题意；
B，∵∠2+∠4=180∘，
∴a//b(同旁内角互补，两直线平行)，
故B选项符合题意；
C，∵∠4+∠5=180∘，
∴c//d(同旁内角互补，两直线平行)，
故C选项不符合题意；
D，∵∠2=∠3，
∴c//d(内错角相等，两直线平行)，
故D选项不符合题意；
故选：B.
根据平行线的判定理求解判断即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−∠B=90∘−36∘=54∘，
∴∠DAC=90∘−54∘=36∘，
故选：A.
根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．6.【答案】C
【解析】解：原式=(y−x)4÷(y−x)3
=(y−x)4−3
=y−x，
故选：C.
把底数都变成y−x，然后根据同底数幂的除法法则计算．
本题考查了同底数幂的除法，把底数不相同的幂转化为同底数幂是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、钝锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
故选：D.
根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
8.【答案】B
【解析】解：设甲一共做了x天，则乙工作(x−1)天，由题意可得：
x 6+
x−1
8
=1.
故选：B.
直接利用甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，可得甲、乙每天完成的工作量，进而得出等式方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出工作量是解题关键．9.【答案】D
【解析】解：A、添加AB=AC可利用SAS判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠B=∠C可利用AAS判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加∠AEB=∠ADC可利用ASA判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加CD=BE不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D.
利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】B
【解析】解：∵第①个图形中一共有1个●，
第②个图形中一共有2+1×2个●，
第③个图形中一共有3+2×2个●，
第④个图形中一共有4+3×2个●，
∴第⑤个图形中一共有5+4×2个●，
第⑥个图形中一共有6+5×2个●，
第22个图形中一共有22+21×2=64个●，
故选：B.
由已知图形中点的分布情况知每次n+2(n−1)，据此可得．
本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
11.【答案】A
【解析】解：a
3x=x
2
−x−6
6
，
去分母得，2ax=3x−x+6，
整理得，(2a−2)x−6=0，
∵方程无解，
∴2a−2=0，
解得a=1.
故选：A.
若一元一次方程ax+b=0无解，则a=0，b≠0，据此可得出a的值．
本题考查一元一次方程的解，难度不大，关键是掌握无解情况下字母的取值情况．
12.【答案】D
【解析】解：∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转α∘(0<α<60)得到△AB1C1，∴△ABC、△AB1C1都是等边三角形，∠BAB1=∠CAC1，
∴AB=AC=AB1=AC1，∠BAC=∠B1AC1，
在△ABB1和△ACC1中，
{AB=AC
∠BAB1=∠CAC1 AB1=AC1
，
∴△ABB1≌△ACC1(SAS)，故①正确，延长AE交CB1于点F，
∵∠B1EF=∠EAB1+∠AB1 E，
∠CEF=∠CAE+∠ACE，
∴∠B1EC=∠B1AC+120∘，
∴∠B1EC−∠B1AC是定值，故②正确；
(3)α=2∠B1CE正确，理由如下：
由①知，B1B=C1C，
∴{B1B=CC1 B1C=CB1 CB=B1C1
，
∴△B1CE≌△CB1C1(SSS)，
∴∠B1CB=∠CB1C，即∠B1CE=∠CB1E设为β，
∵∠B1EB=∠B1CE+∠CB1E=2β，
设AB1交BC于G点，
∵∠EGB1=∠AGB，∠ABG=∠EB1G=60∘，
∴α=∠GAB=180∘−∠AGB−∠GBA=180∘−∠EGB1−∠GB1E，=∠B1EG=∠B1EB= 2β，
∴α=2β=2B1CE，
(4)∵∠B1CE=∠CB1E，∴CE=B1E，
在△AB1E与△ACE中，
{AB1=AC AE=AE
B1E=CE
，
∴△AB1E≌△ACE(SSS)，
∴∠B1AE=∠CAE，
∵AB1=AC，
∴△AB1C是等腰三角形，
∴AE⊥B1C，
故4个正确，
故选：D.
利用SAS即可证明△ABB1≌△ACC1，故①正确；延长AE交CB1于点F，通过外角的性质可得∠B1EC−∠B1AC=120∘，故②正确；通过导角和SSS证明△AB1E≌△ACE，可证③④正确．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，三角形外角的性质等知识，证明△AB1E≌△ACE是解题的关键．
13.【答案】5.161×106
【解析】解：5161000=5.161×106.
故答案为：5.161×106.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵(x+y)2=5，(x−y)2=1，
∴(x+y)2−(x−y)2=4xy，
即5−1=4xy
则xy=1，
故答案为：1.
利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
15.【答案】25
【解析】解：∵AM是BC边上的中线，
∴BM=MC，
∵△AMC的周长是20，AB−AC=5，
∴AM+AC+MC=AM+AB−5+BM=20，
∴AM+AB+BM=25，
则△ABM的周长=AM+AB+BM=25，
故答案为：25.
根据三角形的中线的定义得到BM=MC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线的概念、三角形的周长计算，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．
16.【答案】2b
【解析】解：∵△ABC的三边为a，b，c，
∴a+b>c，b+c>a，
∴a+b−c>0，a−b−c<0，
∴原式=a+b−c−(a−b−c)
=a+b−c−a+b+c
=2b.
故答案为：2b.
直接利用三角形三边关系得出a+b−c>0，a−b−c<0，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
17.【答案】35∘
【解析】解：∵∠EFG=90∘，∠EFB=20∘，
∴∠HFG=∠EFG−∠EFH=90∘−20∘=70∘.
∴∠FGH+∠FHG=180∘−∠HFG=110∘.
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGH=∠DGH.
又∵AB//CD，
∴∠FHG=∠HGD.
∴∠FHG+∠FGH=110∘.
∴∠FHG=55∘.
∴∠E=∠FHG−∠EFH=55∘−20∘=35∘.
故答案为：35∘.
已知∠EFB=20∘，欲求∠E，需求∠FHG.由∠EFG=90∘，∠EFB=20∘，得∠HFG=∠EFG−∠EFH=90∘−20∘=70∘，故∠FGH+∠FHG=180∘−∠HFG=110∘.由GE平分∠FGD，得∠FGH=∠DGH.由AB//CD，得∠FHG=∠HGD，进而推断出∠FHG.
本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
18.【答案】10
3
【解析】解：∵BD、CE是△ABC的高，若AB=4，AC=6，CE=5，
∴1
2
AB⋅CE=
1
2
AC⋅BD
1 2×4×5=1
2
×6BD，
解得：BD=10
3
.
故答案为：10
3
.
根据等面积求解即可．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式并灵活运用．
19.【答案】9
2
cm²
【解析】解：根据翻折变换的性质可知AC垂直平分BB1，∵B1F//AC，
∴AC为三角形ADF中位线，
∴BC=CD=1
2
BD=3cm，
在Rt△BCE中，∠CBE=45∘，BC=3cm，
∴CE2+BE2=BC2，
解得BE=CE=3
2
√2cm.
∴EB1=BE=3
2
√2，
∵CE为△BDB1中位线，
∴DB1=2CE=3√2cm，
△ADB1的高与EB1相等，
∴S△ADB
1=1
2
×DB1×EB1=1
2
×3
2
√2×3√2=9
2
cm²，
故答案为9
2
cm².
根据翻折变换的性质可知AC垂直平分BB1，且B1F平行AC，得到AC为三角形ADF中位线，从而求解．
本题主要考查了翻折变换的性质、三角形面积的求法，解题关键是能够明确AC为△ADF 的中位线从而得出答案．
20.【答案】5：13
【解析】解：设第一次生产总量为x，第二次生产总量为y，
由题意得：榴莲味蛋糕增加的数量为1
3
y，
草莓味的总数量为1
4
(x+y)，
第一次草莓味的生产量为3
3+5+2x=3
10
x，
∴草莓味的增加量为1
4(x+y)−3
10
x=1
4
y−1
20
x，
第一次生产芒果味数量为5
3+5+2x=1
2
x，
芒果味增加量=第二次生产总量-榴莲味增加量-草莓味增加量=y−1
3y−(1
4
y−1
20
x)=
5 12y+1
20
x，
∴芒果味总量为1
2x+5
12
y+1
20
x=5
12
y+11
20
x，
，
整理得y=3x，
∴芒果味蛋糕第一次与第二次制作的数量之比是1
2x：5
12
y+1
20
x=5：13，
故答案为5：13.
分别设出第一次生产总量为x，第二次生产总量为y，根据题意列出数量关系求比值即可．
本题主要考查二元一次方程的知识，根据题目中数据等量关系列出相应的方程解出比例关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)2−2+(π−3)0+(−2)2；
=1
4
+1+4
=51 4 .
(2)去分母，可得：6−3(x−1)=2(2+x)，
去括号，可得：6−3x+3=4+2x，
移项，可得：−3x−2x=4−6−3，
合并同类项，可得：−5x=−5，
系数化为1，可得：x=1.
【解析】(1)首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．此题主要考查了实数的运算方法，零指数幂、负整数指数幂的运算运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握．
22.【答案】解：(1)原式=2x3y−x2y2+2x2y；
(2)原式=xy−x2−2y2+2xy
=3xy−x2−2y2.
【解析】(1)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
(2)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
本题考查了整式的运算，正确运用单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则是解题的关键．
23.【答案】解：原式=[x2+9y2+6xy−(x2+9y2−6xy)−(9y2−x2)−x2]÷3y
=(x2+9y2+6xy−x2−9y2+6xy−9y2+x2−x2)÷3y
=(−9y2+12xy)÷3y
=−3y+4x，
∵x2+4x+4+|y+1|=0，
∴(x+2)2+|y+1|=0，
则x+2=0，y+1=0，
解得：x=−2，y=−1，
当x=−2，y=−1时，
原式=−3×(−1)+4×(−2)
=3−8
=−5.
【解析】直接利用整式的混合运算法则进而计算，再结合非负数的性质得出x，y的值，即可得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
24.【答案】解：如图，∠AOB 为所作．
【解析】先作∠AOC =∠α，然后作∠BOC =∠β.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25.【答案】(1)证明：∵AB//CD ，
∴∠C =∠B ，
∵CE =BF ，
∴CF =BE ，
在△CDF 和△BAE 中，
{CD =AB ∠C =∠B CF =BE
∴△CDF ≌△BAE(SAS)，
∴AE =DF ；
(2)解：∵△CDF ≌△BAE ，
∴∠C =∠B =47∘，
∵∠AEB =62∘，
∴∠A =180∘−∠AEB −∠B =180∘−62∘−47∘=71∘.
【解析】(1)证明△CDF ≌△BAE(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论；
(2)由全等三角形的性质可得出∠C =∠B =47∘，由三角形内角和定理可得出答案． 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
26.【答案】解：(1)设每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为x 元、y 元，
由题意得：{y =x +10200y −300x =1200
，
解得：{x =8y =18
， 答：每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为8元、18元；
(2)设剩下的福建蜜柚和泰国青柚打a 折，才能使这批水果的利润率为20%， 由题意得：23×300×(12−8)+34×200×(24−18)+13
×300×(12×0.1a −8)+14×200×(24×0.1a −18)=(300×8+200×18)×20%，
解得：a =5，
答：剩下的福建蜜柚和泰国青柚打5折，才能使这批水果的利润率为20%.
【解析】(1)设每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为x 元、y 元，由每个泰国青柚的进价比每个福建蜜柚的进价多10元，且购进泰国青柚比福建蜜柚多花费1200元，列出方程组，解方程组即可；
(2)设剩下的福建蜜柚和泰国青柚打a 折，才能使这批水果的利润率为20%，由利润关系列出方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用；弄清数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键．
27.【答案】864
【解析】解：(1)由题意：最大的“相异数”为：987，最小的“相异数”为：123. ∵987−123=864，
∴最大的“相异数”与最小的“相异数”的差为：864.
故答案为：864.
(2)∵“相异数”n 满足个位上的数字是百位上的数字的2倍，
∴c =2a.
∵“相异数”n =100a +10b +c(其中a 、b 、c 都是正整数，1≤a <b <c ≤9)，
∴F(n)=10a +b +10a +c +10b +a +10b +c +10c +a +10c +b
=22a +22b +22c
=22(a +b +c).
∴D(n)=F(n)11
=2(a +b +c). ∵D(n)能被7整除，
∴2(a +b +c)能被7整除．
∴a+b+c=7或14或21.
∵c=2a，a、b、c都是正整数，1≤a<b<c≤9，
∴a、b、c都是正整数，1≤a<b<c≤9，且1≤a≤4
∴当a+b+c=7时，不存在符合条件的a，b.c.
当a+b+c=14时，3a+b=14，
∴a=3，b=5，c=6.
∴n=356.
当a+b+c=21，不存在符合条件的a，b，c.
综上，满足条件的“相异数”n=356.
(1)利用“相异数”定义找出最大的“相异数”和最小的“相异数”，两数相减即可；
(2)利用“相异数”的定义和两个已知条件得到关于a，b，c的式子，利用数位上的数字的特征取出a，b，c的正整数解即可得出结论．
本题主要考查了列代数式，有理数的混合运算，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键．
28.【答案】(1)解：由图知，AB=√12+22=√5，AF=√42+22=√20，BF=√32+42= 5，
则AB2+AF2=(√5)2+(√20)2=25，而BF2=52=25.
所以BF2=AB2+AF2，
∴△ABF是直角三角形，
∴△ABF的面积=1
2AB⋅AF=1
2
×√5×√20=5；
(2)证明：由图知，AC=√42+22=2√5，AF=√42+22=2√5，∴AC=AF；
(3)解：存在，在图3中标出点P的位置如图：
Q与C重合，H与F重合，
∴△AQH是等腰直角三角形，
由图知，AP=√12+32=√10，PQ=√12+32=√10，PH=√12+32=√10，∴AP=PQ=PH，
∴AP⊥QH，
∴∠APQ=∠APH=90∘，
在△APQ和△APH中，
{AP=AP
∠APQ=∠APH PQ=PH
，
∴△APQ≌△APH(SAS).
【解析】(1)根据勾股定理得到AB，BF，AF，再根据勾股定理的逆定理即可得到△ABF 是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可；
(2)根据勾股定理得到AC，AF即可；
(3)存在，连接CF，交方格纸于格点P，根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理可得△QPA与△APH全等．
本题考查了勾股定理，三角形的面积和全等三角形的判定定理，正确借助网格利用勾股定理求出线段的长是解题关键．。