第二章 一元二次方程 全章教学案

§2.2配方法（1）
学习目标： 1．会用开平方法解形如(x 十m )2＝n (n ≥0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
学习重点： 利用配方法解一元二次方程。

学习难点： 把一元二次方程通过配方转化为(x 十m )2＝n (n ≥0)的形式。

一、学前导读
1．什么是完全平方式？
2．利用公式计算： （1）(x +6)2
（2）(x －12
)2
3．解下列方程： （1）x 2=4
（2）(x +3)2=9
二、课堂导学
1、自学感知
① 用直接开平方法解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x +m )2＝n ，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程．解一元二次方程的关键是要设法将其转化为 ，即将原方程“ ”，“ ”是一种数学方法．
② 配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x 2＋12x ＋ ＝(x ＋6)2 （2）x 2―12x ＋ ＝(x ― )2 （3）x 2＋8x ＋
＝(x ＋ )2 2、合作探究
探索一：解方程 x 2+12x +36=5
探索二：解方程 x 2+12x －15=0
例、解方程：x 2+8x ―9=0
思考：用配方法解一元二次方程的解题步骤是什么？
三、反思感悟
1．什么叫配方法？
2．配方法的基本思路是什么？
四、知识反馈
1．方程4x 2=9的根是
2．方程（1－x ）2 =2的根是（ ）
A .－1、3
B .1、－3
C .1－2、1+2
D .2－1、2+1
3．下列将方程x 2+6x +7＝0配方变形正确的是 ( )
A ．(x +3)2＝－2
B ．(x +3)2＝16
C ．(x +3)2＝2
D ．(x +3)2＝－16
4.解下列方程
（1）2x + 12x + 25 =0
(2) 2x + 4x = 10
(3) 2x － 6x =11 (4)
013
82=-+x x
§2.2配方法（2）
学习目标：1．利用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。

2．进一步理解配方法的解题思路。

学习重点：利用配方法解一元二次方程。

学习难点：用配方法解一元二次方程的思路，给方程配方。

一、学前导读
1、什么叫配方法？
２、解方程：（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2―4x＋2＝0
二、课堂导学
1、自学感知
例：解方程：3x2+8x―3=0
2、合作探究
探索：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤是什么？
(1)
(2)
(3)
(4)
巩固练习:用配方法解下列方程.
1. x²－3x + 1 = 0
2. 2x² + 6 = 7x
3. 3x²－9 x + 2 = 0
4. 4x²+4x+10 =1－8x
做一做
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t－5t2 .小球何时能达到10m的高度?
三、反思感悟
配方法几个注意要点:
1. 系数化为1
2. 移项（把常数项移到方程的右边）
3. 配方（方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方）
4. 方程两边开平方
四、知识反馈
解下列方程
1. 3x ² － 9x +2 = 0
2. 2x ² +6=7x
3.
2
1x ² + x －3 = 0 4. －3x ²+22x －24=0
5. 用配方法证明：不论x 为何实数，代数式22818x x -+的值不小于0
§2.2配方法（3）
学习目标：1、经历用方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
2、进一步掌握用配方法解题的技能。

学习重点：列一元二次方程解方程。

学习难点：列一元二次方程的思路。

一、学前导读
1.本节内容的设计方案不只一种,只要符合条件即可,设计方案时,关键是列
2.一元二次方程的解一般有个,要根据实际情况舍去不满足题意的解。

二、课堂导学
1、自学感知
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。

你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
如图所示：
左图中：
（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
右图中：
（1） 设花园四角的扇形半径均为xm ，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？
（3）符合条件的解是多少？
2、合作探究
探索：在一幅长90cm 、宽60cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
三、反思感悟
根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理，本节则主要在于熟练运用配方法解方程。

四、知识反馈
1．用配方法解方程2y 2－5y =1时，方程的两边都应加上（ ）
A . 25
B . 45
C . 45
D . 16
5 2．用配方法解下列方程：
(1) x x 6132
=- (2) 3y 2－y －2=0
3．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）,另三边用木栏围成，木栏长40m。

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，给出设计方案。

§2.3公式法
学习目标：1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程。

学习重点：一元二次方程的求根公式。

学习难点：求根公式的推导，求根公式的条件：b2－4ac 0。

一、学前导读
用配方法解方程：2x2－7x+3=0
二、课堂导学
1、自学感知
用配方法求解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2、合作探究
(1)探索：概括用公式法解一元二次方程的方法与步骤。

① 化方程为一元二次方程的
② 确定a ,b ,c 的值
③ 求出b 2－4ac 的值，确定它是否大于0
④当b 2－4ac ≥0时， 它的根是 x 1= x 2= 注意：当b 2－4ac <0时，一元二次方程____________
(2)例题：解方程：x 2―7x ―18＝0
(3)巩固练习 用公式法解下列方程：
① 2x ² － 9x + 8 = 0 ② 9x ² + 6x + 1 = 0
③ 16x ² + 8 x = 3 ④
02222=-+x x
三、反思感悟
公式法是一种“万能”方法，在配方较复杂时，往往使用公式法，利用此方法，先将方程化为 ，再用公式法求解。

四、知识反馈
1、用公式法解方程2x 2+43x =22,其中求的b 2－4ac 的值是（ ）
A .16
B . ±4
C . 32
D .64
2、如果分式1
22--+x x x 的值为零，那么x = . 3．解下列方程
（1）152
=-x x （2） 12)3)(2(=--x x
（3） 18)3(22=-x （4）x ² + 2x + 2 = 0
§2.4分解因式法
学习目标：会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。

学习重点：掌握分解因式法解一元二次方程。

学习难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。

一、学前导读
把下列各式分解因式
(1) x2－3x(2) (x+1)2－3(x+1) (3) 9y2 + 6y + 1
二、课堂导学
1、自学感知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
2、合作探究
（1）探索：如何更快捷地求方程x2=3x的解
（2）方法小结
方法名称
解题步骤：①先将原方程右边化为0
②对方程左边进行因式分解，变成两个因式的乘积，即a·b=0的形式
③ a =0或b =0，从而解出未知数。

例：解下列方程
1. 5x 2=4x
2. x － 2=x (x － 2)
想一想: 你能用几种方法解方程x 2 － 4=0, (x +1)2 － 25=0
三、反思感悟
1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、分解因式法体现了怎样的数学思想?
四、知识反馈
解下列方程
(1) 0)4)(2(=-+x x (2) )12(3)12(4+=+x x x
(3))32(4)32(2
+=+x x (4) （3x +2）2－4x 2 =0
(5)x x x 22)1(3-=- (6)一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
[拓展题]分解因式法解方程：x 3
－4x =0
§2.5为什么是0.618（1）
学习目标：1、掌握黄金分割中黄金比的来历。

2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。

学习重点：列一元二次方程解应用题。

学习难点：利用一元二次方程解决有关实际问题。

一、学前导读
什么叫黄金分割？黄金比是多少？
二、课堂导学
1、自学感知 黄金比的来历
如图，如果AC AB ＝CB
AC
，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点。

A
B
由AC AB ＝CB AC ，得AC 2＝AB ·CB 你能根据上式求出黄金比 5 ―12 么？
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。

2、合作探究
探索一：运用勾股定理列式解应用题
例1：如图,某海军基地位于A 处,在其正南方向200海里处有一目标B ,在B 的正东方向200海里处有一重要目标C .小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛．．F ．位于．．BC ．．上且．．恰好处于小岛．．．．．．D ．的正南方向．．．．．。

一艘军舰沿A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。

（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？ （2）已知军舰的速度是补给船的．．．．．．．．．．2．倍，军舰在．．．．． 由．B ．到．C ．的途中与补给船相遇于．．．．．．．．．．E ．处，．．那么相 遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
『分析』（设置一些小问题）：
①这是一个路程问题，路程=____________×___________。

②在本题中，从出发到相遇，军舰、补给船的航线路线分别是图中的哪些线段？两艘船的时间、速度、路程已知吗？两艘船的时间、速度、路程各有什么关系？ ③你能用含有一个未知数的代数式来表示军舰和补给船各自的路程吗？ ④你能借助图中的特殊图形解决本题的两个问题吗？ 解：
探索二：增长率问题
例2、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48．4万元,该公司缴税的年平均增长率为多少?
三、反思感悟
列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。

四、知识反馈
1．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？
2．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发,分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动
,它们的速度都是1m /s .几秒后△PCQ 的面积是Rt △ACB 面积的一半?
§2.5为什么是0.618（2）
学习目标：能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决实际问题。

学习重点：通过列方程解应用题，来提高学生的分析问题和解决问题的能力。

学习难点：如何全面地比较几个对象的变化状况。

一、学前导读
列方程解应用题的三个重要环节：
(1)整体系统的审清题意；(2)寻找等量关系；(3)正确求解并检验解的合理性。

二、课堂导学
1、自学感知
假如你是新华商场的经理，现在这个商场要销售某种冰箱，经市场调查，发现有如下问题，那么你该如何处理呢?
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?
『分析』
设每台冰箱的定价为x元，则列表如下：
解：
2、合作探究
探索一：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?
探索二：
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0．3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0．1元，那么商场平均每天可多售出300张．商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元?
三、反思感悟
本节课我们的学习程序为：发现问题－分析问题－建立一元二次方程模型－解决问题
四、知识反馈
春秋旅社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费为1000元，如果人数超过25人，每增加1人，人均费用降低20元，但人均费用不得低于700元。

某单位组织员工到天水湾旅游，共支付给春秋旅社27000元，请问该单位该有多少员工去天水湾旅游？
回顾与思考（1）
复习目标：1. 掌握一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单
的一元二次方程。

2.利用一元二次方程解决有关实际问题。

复习重难点：一元二次方程的解法与应用。

一、 一元二次方程的定义：
1．一个方程若整理可以后化为___________________，称原方程为一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式：________________________，我们应记住此方程的特点：（1）a ≠0；b 、c 可以为____（2）最高次项的次数为____ （3）它是一个_______方程(分母中不含未知数)
二、 一元二次方程的解法：
1、直接开平方法： 当方程直接可以化为2
x a =或（mx n +）2
=a 时，且a ≥0时有解；否
则a ＜0时无解。

2、配方法：应掌握方法原理和使用前提：
方程先化成：)0(2
≥=+n n mx x ⇒ (x + )2=n 当n ≤0时，方程无解。

3、 因式分解法解一元二次方程的使用前提：先将方程的右边化为____。

注意到一个最简单的知识：A ·B =0 ⇒ A =0或B =0； （ ）（ ）=0 ⇒ 则两个括号都可能为0
也就是说用此方法解一元二次方程，事前一定要将原方程化为右边为____，而左边为_______
形式，但不是每一个方程都可以用因式分解的方法来求解。

4、求根公式法：这是一种最基本的方法，适合于任何一个一元二次方程，当方程化为
20ax bx c ++=后：
步骤： ①写出ａ=？，ｂ=？，ｃ=？
②计算△=ac b 42
-？（△<0 ⇔ 方程_________________；△=0 ⇔ 方程_________________；△>0 ⇔ 方程_________________）
③ 在△≥0时才可以代人求根公式 X =
三、巩固练习 （一）选择题
1、方程（m －2）x 2+（m +1）x +3=0是关于x 的一元二次方程，则m 满足（ ）
A . m ≠2
B . m ≠－1
C . m ≠2且m ≠－1
D . m ≠2或m ≠－1
2、把2x 2+4x －1化成a (x +h )2+k 的形式为（ ）
A .2(x +1)2－3
B .2(x +1)2－2
C .2(x +2)2－3
D .2(x +2)2－9
3、方程3x 2=3x 的解是（ ）
A .x =0
B .x =1
C .x =0或x =1
D .x =－1或x =0
4、方程（x －3）2=3－x 的根是（ ）
A . x =2
B . x =4
C . x =3
D . x =2或x =3
5、若方程kx 2－4x +3=0是关于x 的方程，且有实根，则k 的非负整数值为（ ）
A .0，1
B .0，1，2
C .1
D .1，2，3
6、若方程4x 2+(a 2－3a －10)x +4a =0的两根互为相反数，则a 的值是（ ）
A . 5或－2
B . 5
C . －2
D .非以上答案
（二）、填空题
1.方程
33
212-=
+x
x
化为一般形式为__________.
2.一元二次方程x2+2x－m=0，当m=__________时，方程有两个相等的实根；当m__________时，方程有两个不等实根；当m=__________时，方程有一个根为0.
3.如果－3是方程3x2+kx－6=0的一个根，那么k的值为__________，另一个根为__________. （三）、解答题
求证：（1）对于任意实数m,关于x的方程（x－2）(x－1)=m2有两个不相等的实数根. （2）无论x为何实数时，代数式x²－4x + 5的值恒大于零。

回顾与思考（2）
复习目标：1. 掌握一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单
的一元二次方程。

2.利用一元二次方程解决有关实际问题。

复习重难点：一元二次方程的解法与应用。

一、按要求解下列方程：
1、（分解因式）t t 232=
2、（分解因式）22)32()2(+=-s s
3、（配方法）0982=--y y
4、（公式法）2x 2－4x －1=0
二、用最适合的方法解下列方程：
1、4)5(2=-y
2、0)2)(12(=+-x x
3、022=--x x
4、01092=-+x x
5、)3(5)3(2-=-y y y
6、4)2(222-=-x x
三、一元二次方程的应用
1、（1）方程0122=++x x 的根为1x = ，2x = ，21x x += ；21x x =
（2）方程0132=--x x 的根为1x = ，2x = ，21x x += ；21x x =
（3）方程07432=-+x x 的根为1x = ，2x = ，21x x += ；21x x = 由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？
小结根与系数的关系：
（1）方程02=++q px x ，两根与系数的关系： 。

（2）方程02=++c bx ax ，两根与系数的关系： 。

2、学校图书馆去年年底有图书100万册,预计到明年年底增加到144万册，求这两年的年平均增长率。

3、一块矩形耕地，大小尺寸如右图，要在这块地上横纵分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，且余下的面积为9600平方米，问水渠要挖多宽？
4、文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？。