9.5.2椭圆

考点二 椭圆性质的应用
[训练 2] (1)(2018· 贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面 积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A．1 B. 2 C．2 D．2 2
解析 (1)设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大， 1 所以 × 2cb＝1，bc＝1， 2 而 2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 2
b2 1－ a
＝
1－
1 6 2 . 答案 (1)A ＝ 3 3
考点一 椭圆的性质
x2 y2 [例 1] (2)已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 a b l：3x－4y＝0 交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小 4 列出含有a，b，c的不等式，借 于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 助于b2＝a2－c2消去b，转化为 5 含有e的不等式求解 3 3 3 3 A.0， B.0， C. ，1 D. ，1 4 2 4 2
考点二 椭圆性质的应用
利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标 准方程中 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系．(2)求解与椭圆几 何性质有关的问题时，要结合图形进行分析， 当涉及顶点、焦点、长 轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(当且仅当 b＝c＝1 பைடு நூலகம்取等号)，故选 D. 答案 (1)D
考点二
椭圆性质的应用
x2 y2 [训练 2] (2)(2017· 全国Ⅰ卷)设 A，B 是椭圆 C： ＋ ＝1 长轴的两个端点．若 3 m C 上存在点 M 满足∠AMB＝120° ，则 m 的取值范围是( ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0， 3]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0， 3]∪[4，＋∞)
因为过 F2 且与 x 轴垂直的直线为 x＝c，
由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为
因为 AB 平行于 y 轴，且|F1O|＝|OF2|， 所以|F1D|＝|DB|，即 D 为线段 F1B 的中点，
所以点 D
b2 的坐标为0，－ ， 2a
2 2 b b Ac， ，Bc，－ . a a
又 AD⊥F1B，所以 kAD· kF1B＝－1，
x y 【训练 1】 (2)设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 a b 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD⊥F1B，则 椭圆 C 的离心率等于________．
考点三 直线与椭圆(多维探究)
命题角度 2 直线与椭圆的位置关系(易错警示)
x2 [例 3－2] (2018· 沈阳质检)已知 P 点坐标为(0，－2)，点 A，B 分别为椭圆 E： 2＋ a y2 ＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线 BP 交 E 于点 Q，△ABP 是等腰直角三角形，且 b2 → 3→ PQ＝ QB. (1)求椭圆 E 的方程；(2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两 2 点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围． 解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得 a＝2，B(2，0)． x ＝6， 0 5 → 3→ 代入椭圆方程得 b2＝1， 设 Q(x0，y0)，则由PQ＝ QB，得 2 4 y0＝－5， 2 x 所以椭圆 E 的方程为 ＋y2＝1. 4
考点三 直线与椭圆(多维探究)
又由 x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
12 16k ＝(1＋k )· －2k· ＋4>0， 1＋4k2 1＋4k2
由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以 c＝1，
c 1 又离心率 e＝ ＝ ，解得 a＝2，b2＝a2－c2＝3， a 2 x2 y2 所以椭圆方程为 ＋ ＝1，故选 A. 4 3
答案 (1)A
考点二 椭圆性质的应用
【例 2】(2)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的 → → 一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小值是( ) A．0 B．1 C．2 D．2 2 x2 2 解析 (2)椭圆的标准方程为 ＋y ＝1， 2 因为原点 O 是线段 F1F2 的中点， → → → 所以PF1＋PF2＝2PO， → → → 即|PF1＋PF2|＝|2PO|＝2|PO|， 椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长， 即|PO|的最小值为 b＝1， → → 所以|PF1＋PF2|的最小值为 2. 答案 (2)C
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，先把直 线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用 根与系数的关系建立方程，解决相关问题
考点三 直线与椭圆(多维探究)
(2)依题意得，直线 l 的斜率存在，方程设为 y＝kx－2.
y＝kx－2， 2 2 消去 y 并整理得 (1 ＋ 4 k )x －16kx＋12＝0.(*) 2 联立 x 2 ＋ y ＝1， 4
M
考点一 椭圆的性质
求椭圆离心率的方法 (1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解． (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝a2－c2 消去 b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解．
x2 y2 【训练 1】 (1)(2016· 全国Ⅲ卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 2＋ 2＝ a b 1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 1 1 2 3 的中点，则 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 3 2 3 4
1 1 1 因此所求直线方程是 y－ ＝－ x－ ， 2 2 2
化简得 2x＋4y－3＝0.
考点三 直线与椭圆(多维探究)
弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系： 直线与椭圆方程联立， 消元， 利用根与系数关系 表示中点； (2)点差法： 利用弦两端点适合椭圆方程， 作差构造中点、 斜率．
解析 (2)设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B， 则四边形 AFBF0 为平行四边形． ∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2. 4b 4 设 M(0，b)，则 ≥ ，∴1≤b＜2. 5 5 a2－b2 4－b2 c c2 3 离心率 e＝ ＝ ＝ ＝ ∈ 0， . 答案 (2)A 2 2 4 a a a 2
因直线 l 与 E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 2 2 2 3 故 Δ＝(－16k) －48(1＋4k )>0，解得 k > . 4 x1＋x2＝ 16k ， 1＋4k2 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根与系数的关系得 12 x1x2＝ 2， 1＋4k 因坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外， → → 所以OM· ON>0，即 x1x2＋y1y2>0，
解析 (2)①当焦点在 x 轴上，依题意得 ∠AMB 3 0＜m＜3，且 ≥tan ＝ 3. 2 m ∴0＜m＜3 且 m≤1，则 0＜m≤1. ∠AMB m ②当焦点在 y 轴上，依题意 m>3，且 ≥tan ＝ 3， 2 3 ∴m≥9， 综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)． 答案 (2)A
b2 b2 b2 － － － －0 a 2a a 即 × ＝－1， c－0 c－(－c) 整理得 3 b2＝2ac，所以 3(a2－c2)＝2ac， c 又 e＝ 且 0＜e＜1，所以 3e2＋2e－ 3 ＝0， a 3 解得 e＝ (e＝－ 3舍去)． 3 3 答案 (2) 3
考点一 椭圆的性质
解析 (1)设 M(－c，m)，则
则
am D0， ，又 2( a － c )
am E0， ，OE a － c
y
的中点为 D，
A
l E
P M
B，D，M 三点共线，
F
O
B
x
m m 1 所以 ＝ ， 所以 a＝3c，所以 e＝ . 3 2(a－c) a＋c
考点三 直线与椭圆(多维探究)
弦及弦中点问题可以用根与系 命题角度 1 弦及中点弦问题 数的关系及点差法解决 2 x [例 3－1] 已知椭圆 ＋y2＝1，(1)过 A(2，1)的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦 2 1 1 的中点轨迹方程；(2)求过点 P ， 且被 P 点平分的弦所在直线的方程． 2 2 x 1 (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为 k＝－ ＝－ ， 2 2y
§9.5.2 椭
最新考纲
圆
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
考点一
x2 y2 [例 1] (1)(2017· 全国Ⅲ卷)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1， a b A2， 且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切， 则 C 的离心率为( ) 6 3 2 1 列出含有a，b，c的齐次方程， A. B. C. D. 借助于b2＝a2－c2消去b，转化 3 3 3 3
答案 (1)A
x2 y2 【训练 1】 (2)设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 a b 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD⊥F1B，则 椭圆 C 的离心率等于________．
考点一 椭圆的性质
解析 (2)由题意知 F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 c＝ a2－b2，
考点一 椭圆的性质 2 2
考点二 椭圆性质的应用
1 【例 2】(1)(2018· 湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝ ，且 2 它的一个焦点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 2 x2 2 A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋y ＝1 D. ＋y ＝1 4 3 8 6 2 4 x2 y2 解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b
考点三 直线与椭圆(多维探究)
弦及弦中点问题可以用根与系 命题角度 1 弦及中点弦问题 数的关系及点差法解决 2 x [例 3－1] 已知椭圆 ＋y2＝1，(1)过 A(2，1)的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦 2 1 1 的中点轨迹方程；(2)求过点 P ， 且被 P 点平分的弦所在直线的方程． 2 2 解 (1)设弦的端点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 其中点是 M(x，y)． 2 x 1 ＋y2 1＝1，① y2－y1 x2＋x1 x 2 2 ①－②得 ＝－ ＝－ ， 2y x － x 2( y ＋ y ) 2 1 2 1 x2 2 ＋y2＝1，② 2 x y－1 所以－ ＝ ， 2y x－2 2 x 化简得 x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆 ＋y2＝1 内部的部分)． 2
为含有e的方程求解
椭圆的性质
解析 (1)以线段 A1A2 为直径的圆是 x2＋y2＝a2， 又与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，
2ab 所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝ 2 ＝a， 2 a ＋b
y
b 1 整理为 a ＝3b ，即 ＝ . a 3
2 2
A1
0
A2
x
a2－b2 c ∴ e＝ ＝ ＝ a a