昌邑市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

昌邑市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列判断正确的是（ ）
A ．①不是棱柱
B ．②是圆台
C ．③是棱锥
D ．④是棱台
2． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250
4． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<
5． 已知向量=（1，），=（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
tan35°
D ．tan35°
6． 曲线y=
在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A ．y=x ﹣2
B ．y=﹣3x+2
C ．y=2x ﹣3
D ．y=﹣2x+1
7． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知一组函数f n （x ）=sin n x+cos n x ，x ∈[0，]，n ∈N *，则下列说法正确的个数是（ ）
①∀n ∈N *，f n （x ）≤
恒成立
②若f n （x ）为常数函数，则n=2
③f 4（x ）在[0，]上单调递减，在[，
]上单调递增．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（ ）
A
． B
． C
． D
．
10．过点（2，﹣2
）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A
．
﹣
=1
B
．
﹣
=1 C
．
﹣=1 D
．
﹣=1
11．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ） A
．
B
．
C
． D
．
12．实数
a=0.2，
b=log
0.2，
c=
的大小关系正确的是（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
二、填空题
13．已知（ax+1）5的展开式中x 2
的系数与
的展开式中x 3
的系数相等，则a= ．
14．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
15．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则22
(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
17．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1
=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
18．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）；
②g （x ）≠0； ③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）；
若，则a= ．
三、解答题
19．已知等差数列的公差
，
，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，记数列前n 项的乘积为
，求
的最大值．
20．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
21．已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系； （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P （x ，y ）是曲线C 上的一个动点，求3x+4y 的最大值．
22．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BC 的中点．求证：
（I ）AB ∥平面EFG ； （II ）平面EFG ⊥平面ABC ．
23．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的
最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
24．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交
点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．
昌邑市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；
②的两个底面不平行，不是圆台；
③是四棱锥；
④不是由棱锥截来的，
故选：C．
2．【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数
则f（﹣x）+f（x）=0
即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0
则k=1
又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
3．【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A．
4．【答案】B
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 5． 【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（
，x ）共线，
∴x==
==
，
故选：B ．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
6． 【答案】D
【解析】解：y ′=（）′=
，
∴k=y ′|x=1=﹣2．
l ：y+1=﹣2（x ﹣1），则y=﹣2x+1． 故选：D
7． 【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C 83
=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
8．【答案】D
【解析】解：①∵x∈[0，]，∴f
（x）=sin n x+cos n x≤sinx+cosx=≤，因此正确；
n
②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，
当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则f n（x）=+=g（t），g′（t）=﹣
=，当t∈时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；
当t∈时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数f n（x）不是常数函数，因此②正确．
③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，当x∈[0，
]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上单调递减，当x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上单调递增，因此正确．
综上可得：①②③都正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．【答案】B
【解析】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与
∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选B，
故答案为B
10．【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，
把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A ．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
11．【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为：
a ，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C
12．【答案】C
【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log 0.2＜0，0＜0.2
＜1，，
即0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1，
∴b ＜a ＜c ． 故选：C ．
【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：（ax+1）5
的展开式中x 2
的项为
=10a 2x 2，x 2的系数为10a 2，
与
的展开式中x 3
的项为
=5x 3，x 3的系数为5，
∴10a 2
=5，
即a 2
=，解得a=
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．
14．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.
15．【答案】2
【解析】
16．【答案】
【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2=c2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，
所以=，
解得a2=36，b2=108，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．
17．【答案】
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，
则DM∥C1B1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，
则DM=，AD===，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA
=，M为A1B1的中点，
1
∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
18．【答案】．
【解析】解：由得，
所以．
又由f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ），即f （x ）g'（x ）﹣f'（x ）g （x ）＞0，也就是
，说明函数
是减函数，
即，故．
故答案为
【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】（Ⅰ）由题意，得
解得 或
（舍）． 所以
． （Ⅱ）由（Ⅰ），得．
所以． 所以只需求出的最大值．
由（Ⅰ），得． 因为，
所以当，或时，
取到最大值．
所以
的最大值为
．
20．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增.（2）7b e a ≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不
等式()'0h x >得b x e >
求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种
情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7b
a <，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a
b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e
≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
52?2230553e b b
a b e e b e
----=>=>，∴当35b e a e >
-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36得4x 2+9y 2
=36，
化为
；
（Ⅱ）设P （3cos θ，2sin θ），
则
3x+4y=
，
∵θ∈R ，∴当sin （θ+φ）=1时，3x+4y
的最大值为
．
【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】 【解析】证明：（I ）在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，G 分别是AC ，BC 的中点．
所以AB ∥EG …
因为EG ⊂平面EFG ，AB ⊄平面EFG
所以AB ∥平面EFG … （II ）因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 所以AB ⊥CD …
又BC ⊥CD 且AB ∩BC=B 所以CD ⊥平面ABC …
又E ，F 分别是AC ，AD ，的中点 所以CD ∥EF 所以EF ⊥平面ABC …
又EF ⊂平面EFG ，
所以平面平面EFG ⊥平面ABC ．…
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．
23．【答案】
【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）
当2n ≥时，2n n S n a +=，
① 11(1)2n n S n a --+-=，
②
①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=. 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.
即12n n a +=故21n n a =-（*
n N ∈）.
（5分）
24．【答案】
【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P（x0，y0），则，
①直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），
联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，
∴x Q=，y Q=，
∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣，
要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，
将k=代入，即证：x M•x N=，
由①的证明过程可知：|x M|•|x N|=，
而x M与x N同号，∴x M•x N=，
即A、Q、N三点共线．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。