武汉市武钢实验学校高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，
90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）
A ．85
B ．97
C ．12
D ．230
2．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，
11D P
D B
λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）
A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．13
4．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；
（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A BC D -，有以下四个结论：
①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；
③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等； ④()
1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，
6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）
A ．()0,6
B ．()6,+∞
C ．()
0,63
D ．()
63,+∞
6．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值
为（ ） A ．
2
6
B ．
36
C ．
56
D ．
13
7．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱
11A B 上的一点，且1
(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )
A ．23
B 2
C ．
223
λ
D 25
8．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面
11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）
A ．
25
5
B ．
55
C ．
45
D ．1
9．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．105- B ．105
C ．155
-
D ．
155
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）
A ．
2
3
B ．
22
3
C ．
23
3
D ．
43
11．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）
A ．增大
B ．先增大再减小
C ．减小
D ．先减小再增大
12．以下命题
①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；
②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．
14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．
15．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．
16．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，6AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．
17．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________． 18．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()
·22c a b -=-，则x = __________．
19．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D
的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________．
20．在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，
90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________．
三、解答题
21．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中
60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.
（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．
（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；
（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为1
3
，求PE 的长．
23．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形
ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．
（1）证明：AD CF ⊥．
（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．
24．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，
24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．
（1）证明：EF ⊥平面ABC ；
（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．
25．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AAC
C 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，
D 为AB 的中点.
（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；
（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值. 26．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点.
（1）证明：1//BC 平面1AD E ； （2）求直线1BC 到平面1AD E 的距离； （3）求平面1AD E 与平面ABCD 夹角的余弦值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】
记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152
b c ⋅=
，10a c ⋅=，
由空间向量加法法则得AC a b c '=++，
∴2
2
2
2
2()222AC a b c a b c a b b c a c
'=++=+++⋅+⋅+⋅22215
4352210852
=+++⨯
+⨯=， ∴85AC '=
AC '=． 故选：A ． 【点睛】
方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．
2．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即
0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】
如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，
()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，
所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，
()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，
由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即0PA PC ⋅>，
所以()()2
2110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103
λ<<
， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以1
03
λ≤<， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即
0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
3．D
解析：D 【分析】
建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得
222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性
质，即可求得2
HP 的范围.
根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥ 作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =
由两点间距离公式可得()()
22
12x x z =-+-()2
212x z -=-,则210x -≥解不
等式可得12
x ≥ 综上可得
1
32
x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中
222HP HM MP =+()()2
2
2332x z =+-+-()2
2
3321x x =+-+-()2
213
x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
所以213HP ≥（当时2x = 取等） 故选:D 【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.
4．D
解析：D 【分析】
根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】
对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同，故①错误； 对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反，不会相等，故
对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin
4
ABCD
BC AC BC AC S
π
⨯=⋅⋅=，则
6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；
对于④，1AB AB ⨯与CB 的方向相反，则()
10AB AB CB ⨯⋅<，故④错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.
5．C
解析：C 【分析】
画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段
BC 长的范围即可求出.
【详解】 如下图所示：
AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.
又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .
OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，
在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30
AO
OB ∴=
=.
在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即
063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.
故选C. 【点睛】
本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6．A
解析：A 【分析】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26
． 【详解】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），
()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1
,AE DC ＞=422
6922
-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为2
6
． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
解析：D 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，
()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，
设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，
则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩
，取1x =，得()1,0,2n =，
∴点G 到平面1D EF 的距离为
25
EG n d n
⋅=
=
=，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
8．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值. 【详解】
以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有
()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由
于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形
PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故
()0,2,PB a b =--
=
PBC 的面积为
(1
2
2
BC PB
⨯⨯==126
105
a =
=时，面积取得最小值为=，故选A. 【点睛】
本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再
结合函数最值相应的求法来求最值.
9．B
解析：B 【分析】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值． 【详解】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，
∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，
设平面1B BD 的法向量为()
,,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1
n BB ⊥， ∴220
20
x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,5
n BE n BE n BE
⋅=
=
⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10
sin cos ,5
n BE θ==，故选B ． 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．
10．D
解析：D 【分析】
建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可. 【详解】
以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .
设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，
1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-
则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩
令1z =，得(2,2,1)n =. 又
11(2,0,0)
BC =-， ∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||24
3||221
n B C h n ⋅-=
==++，
故选：D . 【点睛】
本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
11．D
解析：D 【分析】
设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，
,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求
出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】
设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，
以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，
1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，
则(3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，
设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD
m ED ⎧⊥⎨⊥⎩
，
即30
2(1)0s t k t x k ⎧-++=⎪⎨+-=⎪⎩
，令23k =，则33,1t x s x =-=+，
所以平面BDE 的一个法向量(1,33,23)m x x =+-， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，
22223
3
cos |cos ,|115(1)3(1)12
()24
m n x x x α=<>=
=
++-+-+
当1
(0,)2
x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2
x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.
【点睛】
本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.
12．B
解析：B 【分析】
①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；
③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】
①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，
||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；
②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，
则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；
③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．
其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】画出题目描述的图形判断直线mn 的所成的角通过解三角形即可【详解】如图:α‖平面CB1D1α∩平面ABCD=mα∩平面ABA1B1=n 可知:m//CD1m//B1D1因为△CB1D1是正三角形
解析：
32
【分析】
画出题目描述的图形，判断直线m 、n 的所成的角，通过解三角形即可. 【详解】 如图:
α‖平面CB 1D 1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA 1B 1=n, 可知:m//CD 1,m//B 1D 1, 因为△CB 1D 1是正三角形. 所以m 、n 所成角就是∠CD 1B 1=60°
则m 、m 所成角的正弦值为:3 2
故选:A 【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角.
14．【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1
解析：
2
π
【解析】 连结A 1B ， ∵AA 1⊥面ABC ，平面A 1B 1C 1∥面ABC ， ∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，
∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1， ∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形，AB ⊥AC ， ∴A 1B 1⊥A 1C 1，
∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1， ∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，
∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1， ∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，
结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2
π
． 故答案为
2
π．
15．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为
解析：
33
【解析】
以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴，
SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，
设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，
112,,222E ⎛- ⎝⎭
， 所以312,22AE ⎛= ⎝⎭
，(1,1,2)SD =--，
∴31
1
322cos ,911
112442
AE SD -+-=
=++⋅++ 故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为
33
． 16．【分析】如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量平面的法向量利用夹角公式计算得到答案【详解】设中点为则故故两两垂直如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量设平面的法向量为则解得：则法向量夹角故二面角B ﹣ 5【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD 的法向量
()
21,3,1n =，利用夹角公式计算得到答案.
【详解】
设BD 中点为O ，则3AO CO ==6AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.
平面ABD 的法向量()11,0,0n =，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，
()()
()0,0,3,3,0,0,0,1,0A C
D ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，
解得：(
)
21,3,1n =，则法向量夹角1212
35
cos 553
n n n n θ⋅=
=
=⋅⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为55
. 故答案为：
5
5
.
【点睛】
本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
17．【解析】距离 14
【解析】 距离222(1)2314d =
-++=
18．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案
解析：2 【解析】
因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则
()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

19．1【分析】以D 点为原点的方向分别为轴建立空间直角坐标系求出各顶点的坐标进而求出平面的法向量代入向量点到平面的距离公式即可求解【详解】以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则所以设 是平
解析：1 【分析】
以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】
以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2
F ， 所以(1,1,0)DB =，1
(0,,1)2
DF
，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF ⎧⊥⎨⊥⎩
，即0
1
02m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩， 令1y =，可得1
12x z =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，故1(1,1,)2m =--，
设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，
所以点1A 到平面BEFE
的距离
11
11A D m d m
+⋅==
=
．
【点睛】
本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【解析】连接因为所以根据即所以则而根据余弦定理得点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解以及余弦定理的应用同时考查了空间象限能力计算推理的能力属于中档试题立体几何是高中数学中的重要内容也是高考重点考查
【解析】
连接AC ，因为04,3,90AB AD BAD ==∠=，所以5AC =,
根据cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠''，
即
1cos 22A AC '=∠，所以045A AC ∠=
'，则0135C CA ∠=', 而5,5AC AA '==,
根据余弦定理得AC '
点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间象限能力，计算推理的能力，属于中档试题，立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点，此类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．
三、解答题
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）217
【分析】
（Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面
ADG ⊥平面BDG ；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值． 【详解】
（Ⅰ）证明：在BAD 中，
22AB AD ==，60BAD ∠=︒．
由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，3BD ， 222AB AD DB =+，
AD DB ∴⊥，
在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥， 又AD
GD D =，,AD DG ⊂平面ADG
BD ∴⊥平面ADG ．
又因为BD ⊂平面BDG ， 所以平面ADG ⊥平面BDG ；
（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，
45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，
(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，3,2)E ，(0G ，0，1)，(13,2)AE =-，
(1,0,1)AG =-，(0,3,1)GB =-，
设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·320·
0n AE x y z n AG x z ⎧=-+=⎪
⎨
=-+=⎪⎩令1x =，得
3
3
y -=
，1z =， ∴3(1,,1)3
n =-，
设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，
∴21
sin |cos ,||
|7||||
GB n GB n GB n θ=<>==， 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为
21
7
．
【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）证明见解析 ；（2）2PE = 【分析】
（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，由//OE PB 即可证明； （2）建立空间坐标系，利用向量法求解. 【详解】
（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，
因为O ，E 分别为BD ，PD 的中点， 所以//OE PB
又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC
（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PA AC ⊥，由1PA =，3PC =，得2AC =， 因为底面ABCD 为菱形且1AB =，所以222AB BC AC +=，
所以AB BC ⊥，所以底面ABCD 为正方形，从而,,AB AD AP 两两互相垂直， 分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ， 不妨设(0,1,1)PE PD λλ==-，
所以(0,0,1)(0,,)(0,,1)AE AP PE λλλλ=+=+-=-，
(1,1,0)AC =，(1,1,1)PC =-，
设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，
由()100n AE
y z x y n AC λλ⎧⊥⎧+-=⎪⇒⎨⎨+=⊥⎩
⎪⎩，
令1x =，则1y =-，1z λλ=
-，所以1,1,1n λλ⎛
⎫=- ⎪-⎝⎭
，
设直线PC 与平面AEC 所成角为α，
则sin |cos ,|||||
31PC n
PC n PC n α⋅=〈〉=
=
⋅
．
由1sin 3α=，解方程得12λ=，故PE =．
【点睛】
方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直线与法向量的夹角，取绝对值可得线面角的正弦值． 23．（1）详见解析；（2）73
【分析】
（1）易知GC CE ⊥,再根据平面ABCDE ⊥平面CEFG ，得到GC ⊥平面ABCDE ，进而有GC AD ⊥，再由CE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得 平面BFG 的一个法向量(),,n x y z =，再由平面ABCDE 的一个法向量()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α，由cos m n m n
α⋅=
⋅求解.
【详解】
（1）因为四边形CEFG 为正方形， 所以GC CE ⊥,
又因为平面ABCDE ⊥平面CEFG ，且平面ABCDE ⋂平面CEFG CE =， 所以GC ⊥平面ABCDE ，又AD ⊂平面ABCDE ， 所以GC AD ⊥，
又因为四边形ACDE 是正方形， 所以CE AD ⊥,又CE CG C ⋂=， 所以AD ⊥平面CEFG ， 又CF ⊂平面CEFG ， 所以AD CF ⊥.
（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：
则(()
()0,0,42,4,4,42,1,2,0G F B -， 所以()(4,4,0,1,2,42GF BG ==-， 设平面BFG 的一个法向量为：(),,n x y z =，
则00
n GF n GF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即440
2420x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，
令1x =，则32
1,y z =-=，则321,1,n ⎛=- ⎝⎭
， 又平面ABCDE 的一个法向量为：()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α
32
373
8cos 91132
m n m n
α⋅===
⋅++
【点睛】
方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝
AC BD AC BD
⋅⋅.
2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
24．（1）证明见解析；（2）34
. 【分析】
（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面
ABC ，根据O ，F 分别为AC ，BC 的中点，可得四边形DEFO 为平行四边形，即
//EF DO ，即可得证；
（2）如图建系，求得各点坐标，进而求得所需向量坐标，分别求得平面ADC 和平面
DCE 的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.
【详解】
（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，如图所示：
∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，
∵平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC =AC ， ∴DO ⊥平面ABC ，
∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =， ∴//OF DE OF DE =，，
∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ； （2）∵DO ⊥平面ABC ，
∴DO ⊥BC ， DO AO ⊥，又AC BC ⊥，
∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， ∴(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -，
∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ︒∠=， ∴tan6023DO EF BF ︒=== ∴(0,0,23)D ，(1,2,23)E -， 取平面ADC 的一个法向量(0,1,0)m =， 设平面DCE 的一个法向量(,,)n x y z =， ∵(1,0,23)CD =，(0,2,23)CE =，
则2302230
n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(23,3,1)n =--， ∴222||(23)(3)14n =
-+-+=，||1m =，3m n ⋅=-，
∴33
cos ,||||14m n m n m n ⋅-<>=
==⋅⨯， 设平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ， 则3
cos |cos ,|4
m n θ=〈〉=
， ∴平面DCE 与平面ADC 3 【点睛】
解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理，并灵活应用，利用空间向量求解二面角的步骤为：1，建系求得所需点的坐标；2，求得所需向量的坐标；3，求出两个平面的法向量12,n n ；4，代入公式121212
cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅即可求得二面角的余弦值；需要结
合图象判断所求角为锐角还是钝角. 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ2.
【分析】
（Ⅰ）连结1BC ，与1BC 交于点O ，连结OD ，由平几知识可证得1//AC OD ，再由线面平行的判定可得证；
（Ⅱ）方法一：由已知可得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =，再由线面垂直的判定可得AO ⊥平面11BB C C ，从而有1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角，解三角形可解得直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.
方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，运用线面角的空间向量的求解方法可求得答案． 【详解】
解：（Ⅰ）连结1BC ，与1BC 交于点O ，连结OD ， 四边形11BB C C 是平行四边形，O 为1BC 中点，
D 为AB 中点，得1//AC OD ，又OD ⊂平面1CDB ，故1//AC 平面1CDB ；
（Ⅱ）方法一：
由12AB AC ==，12AC AB ==，且O 为1BC ，1BC 的中点， 得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =， 又1BC ，1CB 为平面11BB C C 内两条相交直线，
得AO ⊥平面11BB C C ，故1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角； 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，2BC =，
得四边形11BB C C 为菱形，又11B C BC =，故四边形11BB C C 为正方形，122BC =， 则1ABC 为等腰直角三角形，且12
BAC π
∠=
，故14
AC B π
∠=
，12
sin 2
AC B ∠=
， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为
22
.
方法二：
以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，
则()0,0,0D ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()
13,0A -，()
13,0B ， 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，ABC 为正三角形， 故CD AB ⊥，又1B D AB ⊥，所以AB ⊥平面1CDB ， 设()0,,C y z ，由2CA =，123CA =
得(2
2
223,38,y z y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩即326y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故3260,C ⎛ ⎝⎭， 由11
B C BC ，得12326C ⎛- ⎝⎭，所以12326AC ⎛= ⎝⎭
，
()
13,0BB =-，3261,BC ⎛=- ⎝⎭
； 设平面11BB C C 的一个法向量为()111,,n x y z =，
由10,0,n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111130,
33260,
x y x z ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可取(
3,1,2n =，
设直线1AC 与平面11BB C C 所成角为θ， 则1112
sin cos ,2
AC n AC n AC n
θ⋅==
=
， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 2 【点睛】
思路点睛：线面角的二种求法：
1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.
}2. 向量法：直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n .直线a 的方向向量和平面
α所成的角θ满足: ||
sin .||||n m n m θ⋅=
⋅
26．（1）证明见解析；（2）23；（3）23
. 【分析】
建立空间直角坐标系A xyz -，设正方体的棱长为2
（1）求出平面1AD E 的法向量和1BC ，由11BC n ⊥可得答案；
（2）直线1BC 到平面1AD E 的距离即为点B 到平面1AD E 的距离，利用AB n d n
⋅=可得
答案；
（3）求出平面ABCD 的一个法向量设平面1AD E 与平面ABCD 夹角为θ，
111
cos cos n n n n n n θ⋅=⋅=
可得答案.
【详解】
如图建立空间直角坐标系A xyz -，设正方体的棱长为2
则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)D ，1(2,2,2)C ， (0,2,1)E ， （1）设平面1AD E 的法向量为1111(,,)n x y z =，10
0n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩220
20
x z y z +=⎧∴⎨+=⎩，
令1x =，则1,z =-1,2y =
111,,12n ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
，1(2,0,2)BC =， 111(2,0,2)1,,12202C n B ⎛⎫
⋅=⋅-=-= ⎪⎝⎭
，∴11BC n ⊥，
1C B ⊄面1AD E 1//BC ∴平面1AD E .
（2）
1//BC 平面1AD E ，直线1BC 到平面1AD E 的距离即为点B 到平面1AD E 的距离，
(0,2,0)AB =，111,,12n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，11
AB n d n ⋅=
=1
0120(1)21114
⨯+⨯+⨯-++
=23，
∴直线1BC 到平面1AD E 的距离为23
. （3）平面ABCD 的一个法向量为(0,0,2)n =，设平面1AD E 与平面ABCD 夹角为θ，
111,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111cos cos n n n n n n
θ⋅=⋅===23， 所以平面1AD E 与平面ABCD 夹角的余弦值
23. 【点睛】
方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力.。