江苏省连云港市文达中学2018年高二数学文模拟试卷含解析

江苏省连云港市文达中学2018年高二数学文模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，若直线与圆相切，则
的取值范围是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
2. 在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是（）
A. α、β都垂直于平面γ
B. α内不共线的三个点到β的距离相等
C. L,m是α内两条直线且L∥β,m∥β
D. L,m是异面直线,且L∥α,m∥α,L∥β,m∥β
参考答案：
D
略
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A．2 B．3 C. 4 D．5
参考答案：
D
4. 命题“”的否定是（）
A. B.
C．D．
参考答案：
C
5. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
（）
A．B．
C． D．
参考答案：
D
略
6. 已知抛物线的焦点F和，点P为抛物线上的动点，则取到最小值时点P的坐标为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．
【详解】根据题意，作图．
设点P在其准线x＝﹣1上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|＝|PM|
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“＝”），
∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时），
点P的纵坐标y0＝1，设其横坐标为x0，
∵P（x0，1）为抛物线y2＝4x上的点，
∴x0，
则有当P为（，1）时，|PA|+|PF|取得最小值为3．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的定义和简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．
7. 若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则（）
A． B. C． D.
参考答案：
D
略
8. 用反证法证明命题: “a, b∈N, 若ab不能被5整除, 则 a与b都不能被5整除”时, 假设的内容应为（）
A. a, b都能被5整除
B. a, b不都能被5整除
C. a, b至少有一个能被5整除
D. a, b至多有一个能被5整除
参考答案：
C
9. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A．232 B．252 C．472 D．484
参考答案：
C
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
10. 对------------- 大前提
-------------- 小前提
所以---------------- 结论
以上推理过程中的错误为 ( )
A. 大前提
B. 小前提
C. 结论
D. 无错误
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为 .
参考答案：
0.5;
12. 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为__________.
参考答案：
13. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为
________．
参考答案：
略
14. 若，则a0+a2+a4+a6+a8的值
为．
参考答案：
128
15. 若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是．
参考答案：
16. 若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是.
参考答案：
（-∞,-1]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，
17. 已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．
参考答案：
3x+y﹣4=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．
【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）
所以切线方程为：3x+y﹣4=0
故答案为：3x+y﹣4=0
【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）某中学高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组．
(1)求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；
(3)试验结束后，同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74；同学B得到的试验数据为69,70,70,72,74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．
参考答案：
略
19. 设数列前n项和，且，令
（I）试求数列的通项公式；
（II）设，求证数列的前n项和.
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，
所以，即…………………………3分
当时，…………………………4分由等比数列的定义知，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，数列的通项公式为
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知……………………8分所以，①
以上等式两边同乘以得
②
①-②，得
，所以.
所以.………………………………14分
20. 已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若方程f（x）=0在区间[，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．参考答案：
解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣2lnx，x＞0，
∴f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜﹣1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，
（2）∵f′（x）=，x＞0，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增
a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
（3）由题意得：方程a=在区间[，e]上有且只有一个解，
令g（x）=，则g′（x）=，
令g′（x）=0，解得：x=，
∴g（x）在（，）上递减，在（，e）递增，
又g（）=＜g（e）=e2，
∴方程a=在区间[，e]上有且只有一个解时，
有＜a≤e2，或a=2e，
∴实数a的取值范围时：{a|＜a≤e2或a=2e}．
略
21. 已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C： +=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．
22. 在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．
根据上表数据统计，可知考试成绩落在[105,125]之间的频率为0.28．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩，其中近似为样本的平均数，
近似为样本方差，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于110~120分的人数；(以各组的区间的中点值代表该组的取值)(Ⅲ)现按分层抽样的方法从成绩在[85,95)以及[115,125]之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在[115,125]之间的人数为X，求X的分布列以及期望．
参考数据：若，则，
，．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）5436；（Ⅲ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）根据考试成绩落在之间的频率为，可知频数为140，结合样本数可求m、n；
（Ⅱ）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于分的人数；
（Ⅲ）求出X的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可得解得.
（Ⅱ）依题意，
故，
．
则，
所以，
故所求人数为．
（Ⅲ）依题意成绩在之间的抽取9人，成绩在之间的抽取3人，故X的可能取值为0，1，2，3．
故，，
，．
故X的分布列为
故E．
【点睛】本题主要考查利用样本估计总体和随机变量的分布列及期望，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.。