线面所成角的求法

★线面所成角的求法：]2,0[
之青柳念文创作
⒈作图——证明——计算
求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影.一般地通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线来找角.角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有关的三角形中，从而把空间的计算转变成平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题.
3.向量法：
如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝
A，a为l的方向向量，n为平面α的
法向量，φ为l与α所成的角，则
sinφ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n| |a||n|
.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中对角线B1D与平面A1BC1所成的角大小为()
2．如图，在棱长均为1的三棱锥S
－ABC中，E为棱SA的中点，F为
△ABC的中心，则直线EF与平面
ABC所成角的正切值是
()
3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱
长与底面边长相等，则AB1与正面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A.
6
4
B.
10
4
C.
2
2
D.
3
2
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝
BC＝2，A1D与BC1所成的角为π
2
，则BC1与
平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.
6
3
B.
1
2
C.
15
5
D.
3
2
5.．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
6.如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
7．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA
＝AC＝1
2
AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB、BC
的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
8．如图，在五棱锥P­ABCDE中，PA⊥平面
ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝
22，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；
(3)求四棱锥P­ACDE的体积．
9.如图所示，在正方体ABCD—
A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的
角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使
B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
10.如图，四棱锥PABCD中，底面
ABCD为矩形，PD⊥底面
ABCD，AD＝PD，E，F分别为
CD，PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB；
(2)设AB＝2BC，求AC与平
面AEF所成角的正弦值．
11．如图，四棱锥P­ABCD
中，底面ABCD是矩形，PA⊥底
面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝
3，点F是PB的中点，点E在
边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试断定EF与平面PAC的位置关系. 并说明来由；
(2)证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
(3)当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？。