有理递归数列通项公式的求法

*
,
/砂 ” “ 了 “ 。
(幻
、
_
’,
二卜 ~
:
们
R
沪 ` 、 、. 2
劣
劣
) ) 一刀
x
一 一
a
刀
, :
其中 刀
=
b
oa
`
a。
。 一 b 刀
以” +
a o u二 m+
=
a
bou
一
。
m
… + a 。 + … + b
`
(“ 为 已 知 )的 通 项 公式 为
: 1 1
(证 明 P} 各) 引
A (犷
”戈
+ 1
。
.
犷 =
a
”
一 +
:
(
。 t
)
” 一
故。
。
=
;
(
。 :
一
解 六 例
导数 法
.
)
用” 一 ,
(n》
n
2
)
.
求和
:
卜1
注
若规 定 A “
、 二
= a 0
“ `
.
’
= l
,
则 引理
3
和定 理 1 中
“ 一
(,
1一
+
“ 2+
… +
x
·
)
,
一
(
劣
一
劣”
的通项公式对
一 1 也 适用
,
1 一义
推论 1
。:
(
阴异
求通 项
得
.
。`
( R
,
a o
笋 o)若
是方 程 组
角 华
:
a
b一 一
12
。
= 凤
,
P P
。`
(
二
2 △= b
,
由推 论
招一
2
)=
。 产
(二 ) =
用
一
o
的解
o
,
则P
。:
(二 )
一
a
=
a。
(二 一
a
)
”
.
。
,
一 32
一 ( 灵; )
二 少 数列 嘴
,
,
3+
”
一 `
+ 2
姿
一
=
“
3-
52
1 一i
.
.
产
例 10
3
,
同例 5
, ,
1)
:
,
或 ( )=
P
。
。 ”
才
。
一 l
a。 。
(m = (二 一 a ) )
”
z
)
.
解 设 S 4 应有 S =
5 二
.
= b 3 n 3 + b Zo Z 魂 b , n + b。
一
1
,
5
。 ,
,
4 1
,
分别取 。 = 0 可 得方 程组 解 后 乃 得 3
1 2
,
,
证
2
(二 ) 一 a
a
=
。
” , ,
u
。
= P
川
(: :
,
。 一
:
) (。 )
沉
,
)
, ,
,
.
`
一
= P
l
,
(
, 一 1
一
。
a
=
a 。
(
u :
:
一
t
一 a
)
令
3
,
犷 =
。 u
:
一
a a
a
(。 =
=
a。“
,
2
,
,
… )则 V
一
a
=
`
a。
(犷
。 一
)
a
,
。`
由 引理
”
喜Qn 3+套`
+
言
S = 1 + Z x + 3戈 2 + … +
。
,
,
则
Zb
,
。 ,
= l
,
,
u。 + 1
。
,
+ Zu
,
,
二
`
+
a 。
,
。 明 叻 (沈 ) = b 劣 + …
,
1 1
.
,
a`
b. ( R
,
,
, = 1 b二 2
e
= o
△=
二。
故。 ( u
l
+ x ) , 卜` 一 x
2
、
b。 不 同 时 为o
切
)
,
且 (切 (二 )
x
,
砂( 二 ) ) =
=
方程 组
(a
一
b。
1+
)(u (u
:
一a ) , 一 a ) 6。才( 汤 万
证 明 提要
对 ” 用 数学归 纳 法
.
( a 二尹 )
.
扭
.
其中 前 尽
才”
,
。
,
夕
l
,
,
A
的 意 义同引 理
份l
l
2
,
但可 以 有
,
a
,
1
.
递 推式 为 ,
a
,
+ 1
二
+
a 戈。
,
+ 6
a ,
。
类型 1
戈
,
.
a a劣
,
b
;
均为
, ,
十
=
f (。
。
:
+
,
…
。
十
, 一 1
)
略证
{弋 入 定理 任{} 1
:
一
乏 d La 产
,
b
.
U
,
“ `
为已知 )
_
、
r
,
阶 递归 数 列
…
,
.
f 为 数列 的
.
定义 函 数
理 式时
,
,
常数 a ( i =
,
`
1 2
,
) 为初始 值 r
.
当 f 为有
由△ = b 2
公 式 即得 数 歹l」 {
定理 1
.
以 尸 ( 劣 ) 为定 义 函 数 的 递归数 列 {“ 卜
a 。。
。 ’ ”
尸
。
五
”
、
待定 系数 法
:
由上 述递推 方法可知
习
一 1 k
,
“
户
为
。。
+ 1
=
。
,
+
a : 。。
” , 一
1+
… +
,
” 一`
a
,
u : ,
已知
2
.
则其 通
,
项公式为
=
a 。` ( ” )
的P
一
(
。 ,
一
a
)
…
,
( ) ) l
一
义
=
x
劝 ( )
切“
,
’
( )
则
二
若a 二 “ ’ 劣 劝 ( ) ( j=
a o一
刀 是
l
,
= 2,
”
一 ,
, 一 1
=
士 了丁而万二巧万 ( ” )
切
)
、
2
,
* 二
。
.
,、
,
。
,
沉一
的二相异的解
a
义
定理 2
`
’
一
1
以 R 、 (~x ) = ~ 一
产
八 _
数的 递归数 列 毛 今 艺 令为 定 义 函 “ 叭幻 ~ ~ 叫 扒 心 洲 私
u
, :
.
易 解得
a
= 一
土
2口
又
川= 2
,
称 {“ } 为 有 理 递 归 牧 列
1
.
本 文研 究 了 两 类 一
一
阶有 理递 归数 列通 项 公 式 的 求 法
引理
l
,
圣
u ,
= 3
,
“
,
十1
。 = 3 u 之 一 1 2“
.
+ 14
,
设P
二
。;
(
a
二
)=
a ox 阴
+
a l% 阴
`
+ … +
a
+ 2
P
,
`
1’
(二 ) =
例2
甲
.
x :
=
一,
、 ,
, 十
二.
`
” + 2二
2,
利 用 有 关 多 项 式 的理 论 可 证 ( 略 ) 引理 2
+
内
,
.
求
通项公式
a 。二 m
.
设 R (, )=
(x ) ) 、 ) (
+ b
, 。
卿 二
( )= (。 》
+
,
a , 二川
一 ,
解
a
:
令
,
。
。
=
,
劣
e
=
b 2
“
,
,
则 递 归数 列
=
a Z
二
1
+ b。
。 一
l
的 通 项 公 式为
_
、 ,
一` 一 ’
( 四 川 省 资 阳 中学 )
又
“ `
+
定义
r
.
{ 。 对数 歹 l{ 企
:
,
,
。
:
。 `=
。
:
.
(f=
1 2
, ,
,
,
…
1
,
,
r
)
,
,
存在
,
b 2 a
产
、、 , 月 zl
一
元 函数 f ( 二 … 二 ) 使 加` N ) 则 称 数 列 {叭 } 为
+
a
( )
” 一
) 其中a
川一 1一 1 州一 1
卜 1次 函 数
(严 格 的论证 可 用 数 学 归 纳 法 )
:
从而
,
更 可得 出 一般 结 论
当a
.
。
=
了 ( 。 ) 是 。 的 P 次 函数 时
凡
的 意义 同 引 理 (
。 :
1
,
才
(n )=
,
1+ 川+ … 」 。
一
“
=
是 n 的p
:
+ 1次 函 数
,
玛! :
” , ,
犷 } 递归数 列 考
`
犷 已知
1
,
,
V
,
·
。
刀A
A`
(
”
.
o )
B” 一
爪
+ i
~
1一
(
B
一
。
( a 沪 刀)
a
)
城 N ) 则 其通项公式为 犷
1+ 。 +
~ A `川
犷; ,
” 一 ,
(” )
2
)
.
其 中 t (n ) =
:
… + 。
” 一 ,
“
1
云 i二云 b石 ) 而` 飞
·
,
递 归数 列 。
1
。
=
叫
。
一十
。
b 的通项公式 为
沪`
,
(”
+ l
)工
月
+
, x
’
`+ ,
(
1 一二
)
,
有 理 递 归 数 列 通 项 公 式 的 求法
( 四 川 内江 教 育 学院 )
欧述芳
刘世 华
a
,
推论
。。 2,
一
一
2
,
(一 全) 拦
+
(
·
一
为 已知 ,
“
。
·
c 若 △ 三夕 一 4 a
+
,
( ) 同定 理
B