高考数学第一轮复习用书利用导数研究函数的单调性文

第24课 利用导数研究函数的单调性
1．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有（ ）
A ．()()()()f x g b f b g x >
B ．()()()()f x g a f a g x >
C ．()()()()f x g x f b g b >
D ．()()()()f x g x f a g a >
【答案】C
【解析】设()()()F x f x g x =⋅，则()()()()()0F x f x g x f x g x '''=+<，
∴ ()F x 在R 上是减函数，得()()()F a F x F b >>，∴ ()()()()f x g x f b g b >．
2．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（
）
A ．(1,1)-
B ．(1,)-+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(,)-∞+∞
【答案】B
【解析】令()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，
∴()g x 在R 上为增函数，
∵(1)(1)2(1)40g f -=--⨯--=，
∴由()0g x >，得1x >-．
3．已知()1x f x e ax =--.
（1）求()f x 的单调增区间；
（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．
【解析】（1）∵ ()x f x e a '=-.
（1）若0a ≤，()0x f x e a '=->恒成立，即()f x 在R 上递增.
若0a >,()0x f x e a '=->,∴x e a >, ln x a >.
∴()f x 的单调递增区间为(ln ,)a +∞.
（2）∵()f x 在R 上递增，∴()0f x '≥在R 上恒成立.
∴x e a ≥，即x a e ≤在R 上恒成立.
∴min ()x a e ≤，又∵0x
e >，∴0a ≤.
综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．
4.（2012东城二模）已知函数21()2e 2
x f x x x a =-+-． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；
（2）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）由1a =，21()2e 2x f x x x =-
+-，3(1)e 2f =-， ∴()2e x f x x '=-+-，∴(1)1e f '=-，
∴所求切线方程为3(e)(1e)(1)2
y x --=--，
即2(1e)210x y --+=． （2）由已知21()2e 2
x f x x x a =-+-，得()2e x f x x a '=-+-． ∵函数)(x f 在R 上是增函数，
∴()0f x '≥恒成立，即不等式2e 0x x a -+-≥恒成立． 整理得2e
x x a -+≤
． 令2(),e x x g x -+=3().e x x g x -'= ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：
由此得3(3)e a g -≤-=，即a 的取值范围是(
3,e -⎤-∞-⎦．
5．（2012石景山一模）已知函数2()2ln f x x a x =+．
（1）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若函数2()()g x f x x
=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）2222()2a x a f x x x x
+'=+=， ……1分 由已知(2)1f '=，解得3a =-． ……3分
（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．
①当0a ≥时, ()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；
②当0a <时()f x '=
当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：
由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；
单调递增区间是)+∞．
（3）由22()2ln g x x a x x =++，得222()2a g x x x x
'=-++， 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，
则()0g x '≤在[1,2]上恒成立，即22220a x x x -
++≤在[1,2]上恒成立． 即21a x x
≤-在[1,2]上恒成立． 令21()h x x x =-，[1,2]x ∈，∴2211()2(2)0h x x x x x
'=--=-+<， ∴()h x 在[1,2]为减函数． min 7()(2)2
h x h ==-, ∴72
a ≤-．
6．（2012东莞一模）已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x
-=-+-∈． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）当12
a ≤
时，讨论()f x 的单调性． 【解析】（1）当1a =－时，2()ln 1,(0,)f x x x x x
=++∈+∞－， ∴212()1(2)ln 22f x f x x
'=+=+－，，(2)1f '=， ∴所求的切线方程为ln 2y x =－．
（2）∵11ln )(--+-=x a ax x x f ， ∴211()a f x a x x
-'=-+221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令,1)(2
a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x
当0a =时，()1, (0,)g x x x =+∈+∞－
∴(0,1)x ∈时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增，
当0a ≠时，由()=0f x '，解得1211,1x x a ==
-， ①若12
a =，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减， ②若102a <<，在1(0,1), (1)a +∞－，单调递减，在1(1, 1)a
－上单调递增． ③ 当0a <时，由于110a
-<， (0,1)x ∈时，()0g x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；
(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时函数()0f x '>，函数()f x 单调递增． 综上所述：
当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 当12
a =
时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在1(0,1), (1)a
+∞－，上单调递减； 函数 ()f x 在1(1, 1)a －上单调递增．。