内蒙古音德尔一中高二数学下学期期中试题 理 (1)

音德尔一中2021-2021学年下学期期中考试高二理科数学试卷
时刻:120分钟 总分值:150分 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．由变量x 与y 相对应的一组数据
)11y ，（、)5(2y ，、)7(3y ，、)13(4y ，、)19(5y ， 取得的线性回归方程为452+=∧
x y ，那么=y （ ） A 、135 B 、90 C 、67 D 、63
2.已知随机变量X 服从正态散布N(3，1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，那么p （X>4）=（ ）
A.0.1588
B.0.1587
C.0.1586
D.0.1585 3．如下图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED
＝4∶9，那么圆心到弦CD 的距离为( )． A.
2
143 B.289 C.273 D.809
4. 已知直线L 的参数方程为12332x t
y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩
（t 为参数 ），那么直线的倾斜角为（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
34
π D ．
56
π 5. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，天天安排1人，每人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排
在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有 （ ）
A 504种
B 960种
C 1008种
D 1108种
6．在4次独立重复实验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，那么事件A 在一次实验中发生的概率P 的取值范围是 （ ） A ．[0.4,1) B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1)
7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），
已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情形），那么ab 的最大值为 （ ）A ．
148
B ．
124
C ．
112
D ．
16
8. 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1
9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，那么事
件A 发生的概率P (A )是
( )．
A.29
B.118
C.13
D.23
9.如下图，在平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，假设AEF S ∆＝6cm 2，那么ADF S ∆为( )．
A ．54 cm 2
B ．24 cm 2
C ．18 cm 2
D ．12 cm 2
10．关于二项式()
,11999
x -有以下四个命题正确的选项是 （ ）
A.展开式中1000999
10001999T C x =. B.展开式中超级数项系数和是1.
C.展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
D.当2000=x 时，()
1999
1x -除以2000的余数是1
11. 把半圆弧分成4等份,以这些分点(包括直径的两头点)为极点,作出三角形, 从这些三角形中任取3个不同的三角形,那么这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X 的期望为（ ） A.
1019 B. 2 C. 3 D. 10
21 12．假设一个三位正整数123a a a 知足123a a a <>，那么称如此的三位数
为凸数， 那么所有的三位凸数的个数是 （ ） A.240 B.204 C.729 D.920 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴亚运会的四个不同场馆效劳，不同的分派方案有 种(用数字作答).
14. 设(5n x x -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，假设M-N=240，那么展开式3x 的系
数为___________.
15. 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点
P ,E 为⊙O 上
一点,弧AE 等于弧AC,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,那么PF 的长度为____________.
16.在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:3
C π
θ=，假设曲线C 1与C 2交于,A B 两点，那么线段AB 的
长度为 ．
三、解答题(要求写出必要的文字说明、演算或推理步骤，共70分.) 17.(此题总分值10分)
已知5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取1个,不放回的取两次, 求:(1)第一次取到新球的概率. (2)第二次取到新球的概率.
(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率. 18. (此题总分值12分)
某人身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高别离是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身
高有关，请用线性回归分析的方式预测他孙子的身高．
(回归直线方程参考公式：2
21
1
^
x n x y
x n y x b i n
i i i n
i -∑⋅-∑=
== ，x b y a
-=^
, )
19. (此题总分值12分)
最近几年空气质量慢慢恶化，雾霾天气现象显现增多，大气污染危害加重，大气污染可引发心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是不是与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查取得了如下的列联表：
已知在全数50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是不是有99.5%的把握以为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； 临界值表供参考：
P (K 2≥k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n=a+b+c+d)
20. (此题总分值12分)
某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每一个学生必需选修，且只能从当选一门。

该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的爱好相同。

（1）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的散布列及期望，方差. 21.（此题总分值12分）如图,A 是以BC 为直径的⊙O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作⊙O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；
(2) 假设32PB BC ==求PA 的长. 22. (此题总分值12分)
已知曲线C １的极坐标方程是22)4
cos(=+
π
θρ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，成
立平面直角坐标系，曲线Ｃ2的参数方程是：t t y t x (442⎩
⎨⎧==是参数).
（1）将曲线C 1和曲线Ｃ２的方程转化为一般方程；
（2）假设曲线C 1与曲线C 2相交于A 、B 两点，求证OA OB ⊥；
(3)设直线2y kx b C =+与曲线交于两点1122(,),(,)P x y Q x y ，且12(0y y a a a -=>且为常数)，过弦PQ 的中点Ｍ作平行于x 轴的直线交曲线Ｃ２于 点Ｄ，求证：PQD ∆的面积是定值．
音德尔一中2021-2021学年下学期高二年级期中考试 数学试卷（理科）参考答案
1-4 DBAD 5-8 CADD 9-12 CDDA 13.1080 14.150
15.3
17.(此题总分值10分)
解：设第i 次取到新球为i A 事件，第j 次取到旧球为j B 事件. （i,j=1，2） （1）5
3
)(1=
A P -----3分 （2） 第二次取到新球为C 事件， 5
3
43524253)()()(2121=⨯+⨯=+=A B P A A P C P ----4分 （3） 2
1
4323)/(12=⨯⨯=A A P ----10分 18. (此题总分值12分) 19. (此题总分值12分) 解： (1)列联表补充如下：
(2)因为K 2的观测值2
2
()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
因此K 2≈8.333，
又P (K 2≥7.789)＝0.005＝0.5%.
那么，咱们有99.5%的把握以为是不是患心肺疾病是与性别有关系的．
--------------------------------------12分
20. (此题总分值12分)
解： (1）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：
1P =169
4
3
222324=⋅⋅A C C --------------------------------------4
分
（2）设数学史这门课这3个学生选择的人数为ξ，那么ξ=0，1，2，3
P (ξ= 0 ) =6427)43(
3= P (ξ= 1) =64
27)43(4121
3=⨯⨯C P (ξ= 2 ) =64
9
43)41
(22
3=⨯
⨯C P (ξ= 3 ) =64
1
)41(
3=
--------------------------------------8分 散布列为：
∴ξ的∴
期
望
E ξ=np=43413=⨯
,16
9
43413=⨯⨯==npq D ε-----------------------------12分 21.（此题总分值12分）
(1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线，
EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．
易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．
BF CF EF CF
DG CG AG CG ==
∴，． BF EF
DG AG
=
∴
． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．
BF EF =∴． ------------------6分
(2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是圆O 的直径，90BAC ∠=∴°． 在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，
AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．
BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．
90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线．
因此2
326236PA PB PC === 因此6PA = -----------12分
22. (此题总分值12分)
解：1)2
12:40,:4C x y C y x --==；
２）1122(,),(,)A x y B x y 设， 联立方程并消元得：2
4160y y --=
12124,16y y y y +==-，
12121212(4)(4)0OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+++=． OA OB ∴⊥．
３）2
4y kx b
y x
=+⎧⎨
=⎩， 消x 得2
440ky y b -+=，
121244,b
y y y y k k
+=
=
， 由12(0y y a a a -=>且为常数)，得22
1212()4y y y y a +-=，
2216(1)a k kb ∴=-．
又可得ＰＱ中点Ｍ的坐标为1212222
(
,)(,)22x x y y bk k k
++-=， 因此点Ｄ212
(
,)k k
， 31221112232
PQD
bk a S DM y y a k ∆-=⋅-=⋅⋅=． 面积是定值．。