高中数学211_数列的概念与简单表示法(1)(有答案)

2.1.1 数列的概念与简单表示法(1)
一、解答题。

1. 数列√2，√5，2√2，√11⋅…，的一个通项公式是（）
A.a n=√3n−3
B.a n=√3n−1
C.a n=√3n+1
D.a n=√3n+3
2. 已知数列{a n}满足a1>0，a n+1
a n =1
2
，则数列{a n}是（）
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不确定
3. 若数列{a n}的通项公式为a n=n
n+2
，则数列{a n}是（）
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
4. 数列{a n}中，a n=3n2−28n+1，则a n取最小值时n的值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
5. 数列{a n}的通项a n=n
n2+90
，则数列{a n}中的最大值是()
A.3√10
B.19
C.1
19D.√10
60
6. 设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）
A.[1, +∞)
B.[−2, +∞)
C.(−3, +∞)
D.(−9
2
, +∞)
7. 根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有________个点．
8. 写出数列−1，1
3，−9
35
，17
63
，−33
99
，…的一个通项公式a n=_________.
9. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n2−2λn(n∈N∗)，若数列{a n}为递增数列，则λ的取值范围是________.
10. 数列{a n}中，已知a n=n2+n−1
3
(n∈N∗)，
写出a10，a n+1，a n2；
792
3
是否是数列中的项？若是，是第几项？
11. 数列{a n}中，a n=√2012
n−√2013
，求该数列前100项中的最大项与最小项．（参考数据：442=1936,452=2025）
12. 已知数列{a n}的通项公式a n=(n+1)(10
11)
n
(n∈N∗)，试问数列{a n}有没有最大项？
若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．
参考答案与试题解析 2.1.1 数列的概念与简单表示法(1)
一、解答题。

1.
【答案】 B
【考点】
数列的概念及简单表示法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 2.
【答案】 B
【考点】
数列的概念及简单表示法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 3. 【答案】 A
【考点】
数列的概念及简单表示法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解析：a n =n n+2
=
n+2−2n+2
=1−
2
n+2
，可知答案为A ．
4.
【答案】 C
【考点】
二次函数的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解析：a n =3n 2
−28n +1=3(n −
143
)2
−1933
，对应二次函数的对称轴为x =
143
=42
3，
开口向上，离对称轴最近的整点为x =5，由而二次函数性质知，当n =5时，a n 取最
小值．故选C ． 5.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性基本不等式
【解析】
此题暂无解析【解答】
解析：因为a n=1
n+90
n ，由基本不等式得1
n+90
n
≤
2√90
.
由于n∈N∗，不难发现当n=9或10时，a n=1
19
最大．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：∵{a n}递增，
∴a n+1−a n>0
∴2n+1+b>0
∴b>−2n−1(n∈N∗)
∴b>(−2n−1)max=−3．
即b>−3．
7.
【答案】
n2−n+1
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：观察图中5个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+ 1，故第n个图中点的个数为（n−1)×n+1=n2−n+1．
8.
【答案】
(−1)n⋅2n+1
4n2−1
(n∈N∗)
【考点】
归纳推理
数列的概念及简单表示法【解析】
此题暂无解析 【解答】
解：正负交替出现，且奇数项为负，偶数项为正，所以用(−1)n 表示； 1, 1
3, 9
35, 17
63, 33
99，… ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 3
1×3,5
3×5,9
5×7,17
7×9,33
9×11
，… 分母是连续奇数相乘的形式，观察和项数n 的关系，用(2n −1)(2n +1)表示； 分子是21+1，22+1，23+1，24+1，用2n +1表示． 所以a n =(−1)n ⋅2n +1
(2n−1)(2n+1)
=(−1)n ⋅
2n +14n 2−1
(n ∈N ∗)．
9. 【答案】
λ<32
【考点】
数列的函数特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：若数列{a n }为递增数列，则有a n+1−a n >0，即2n +1>2λ对任意的n ∈N ∗都成立，于是有3>2λ，即λ<3
2． 10. 【答案】 a 10=
1093
，a n+1=
n 2+3n+1
3
，a n
2=
n 4+n 2−1
3
．
792
3是数列中的项，是第15项． 【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ a n =n 2+n−1
3
(n ∈N ∗)，
∴ a 10=102+10−1
3
=1093
，
a n+1=
(n+1)2+(n+1)−1
3
=n 2+3n+1
3
，
a n
2=
(n 2)2+n 2−1
3=
n 4+n 2−1
3
；
令792
3=
n 2+n−1
3
，解方程得n =15，或n =−16，
∵n∈N∗，∴n=15，即792
3
为该数列的第15项．11.
【答案】
a45，a44分别为最大项，最小项．
【考点】
数列的求和
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知条件判定数列单调性，注意n的取值范围．
∵a n=√2012
n−√2013=1√2013−√2012
n−√2013
，
由题意√2013∈(44,45)，
∴n∈[1,44]时，a n递减；n∈[45,+∞）时，a n递减．
结合f(x)=1+√2013−√2012
x−√2013
图象，知a45，a44分别为最大项，最小项．12.
【答案】
数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9=a10=1010
119
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵a n+1−a n=(n+2)(10
11)
n+1
−(n+1)(10
11
)
n
=(10
11
)
n
⋅(9−n
11
)，
当n<9时，a n+1−a n>0，即a n+1>a n；
当n=9时，a n+1−a n=0，即a n+1=a n；
当n>9时，a n+1−a n<0，即a n+1<a n；
故a1<a2<a3<⋯<a9=a10>a11>a12>⋯∴数列中有最大项，最大项为第9、10项，
即a9=a10=1010
119
．。