河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测
数学试题（答案在最后）
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{
}29
A x x =≤，{}2
log B x y x ==，则A B ⋂等于（
）
A.
[]
3,3- B.[0,3]C.(0,3]
D.
[)
3,+∞2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）
A .
第一象限角
B.第二象限角C .
第三象限角
D.第四象限角3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.
()
3,4 B.
()2,3 C.()1,2 D.
()
0,14.函数()e e
x x
x
f x -=
+的部分图象大致为（）
A. B.
C
.
D.
5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）
A.a c b
>> B.a b c
>> C.c a b
>> D.b c a
>>6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）
A.1
B.
2
C.2
D.227.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（
）参考数据：
lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771
≈≈≈A.2024年
B.2023年
C.2026年
D.2025年
8.已知2)()log (2x
g x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212
()()
2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围
是（
）
A .
[0,)
+∞ B.1
[,)
8
-+∞ C.1
[,)4
-
+∞ D.1
[,)2
-
+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是（）
A.函数()e x
f x -=-与()e x
g x =的图象关于原点对称
B.函数()1
(0x f x a
a -=>，且1)a ≠恒过定点()
0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）
A.sin(2024π)sin αα
-=- B.tan(2025π)tan αα
-=C.11πsin(
)cos 2
αα+=- D.7πcos(
)sin 2
αα-=
11.已知函数(2)1,0,(),0,a
a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩
则以下说法正确的是（）
A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数
B.若0a =，则()f x 有最小值
C.若1
2
a =
，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()
002f x f x =-12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）
A.()()f
f x 是偶函数
B.()()
f g x 是奇函数
C.()()
g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()
g f x 在[)0,∞+上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13.若扇形的半径为2，面积为
4
π3
，则扇形的周长为________．14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.
15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2
f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.
16.已知()1e x
f x x
=-
的零点为0x ，若000e ln 2x
x x m +>，则整数m 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.计算､求值：
（1）32
log 2335
lg 2lg23lg0.01lne 272
++-++；
（2）112519sin cos tan 634
πππ⎛⎫⎛⎫
-
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.18.已知幂函数()()
2
6m
f x m m x =-在()0,∞+上是增函数
（1）求()f x 的解析式；
（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．
19.已知函数()2
2log log 42
x x f x =.（1）当[]
2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；
（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]
4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.
20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是
1835,068
14,6
x x S x x ⎧
+
+<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；
（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求3
3cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫
-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值；（3）求()1
tan tan θθ
π--
的值.22.已知定义域为R 的函数()122x
x b f x a
+-=+是奇函数．
（1）求实数a ，b 的值；
（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．
2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测
数学试题
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{
}29
A x x =≤，{}2
log B x y x ==，则A B ⋂等于（
）
A
.
[]
3,3- B.[0,3]C.(0,3] D.
[)
3,+∞【答案】C 【解析】
【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由29x ≤，得33x -≤≤，则[3,3]A =-，函数2log y x =有意义，得0x >，则(0,)B =+∞，所以(0,3]A B = .故选：C
2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】D 【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得sin 0,cos 0αα<>，再求出角α所在象限.
【详解】由sin tan 0αα>，cos tan 0αα<，得2sin 0cos α
α
>，sin 0α<，
因此sin 0,cos 0αα<>，所以角α是第四象限角.故选：D
3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.
()
3,4 B.
()2,3 C.()
1,2 D.
()
0,1【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.
【详解】函数()()1lg11210,2lg222lg20f f =+-=-=+-=.又()f x 为单调增函数，所以()f x 有唯一零点，且在区间()1,2内.故选：C.4.函数()e e x x
x
f x -=
+的部分图象大致为（
）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.
【详解】由于()e e x x x f x -=+，x R ∈，()()e e
x x
x
f x f x ---==-+，故()f x 为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B 和C ；又因为1
1
(1)1e e f -=
<+，故排除D 项，故选：A.
5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）
A.a c b >>
B.a b c
>> C.c a b
>> D.b c a
>>【答案】B 【解析】【分析】
根据指数函数0.3x y =的单调性，可以判断,b c 的大小；根据作商法可得1>a
b
,可得答案.【详解】0.3x y = 是减函数，
0.30.40.30.3∴>，即0b c >>，
而
0.30.30.44
(()10.33
a b ==>，即a b >，a b c ∴>>，
故选：B
6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）
A.1
B.
C.2
D.【答案】A 【解析】
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.
【详解】因为0,0x y <<
，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即
21x y ==-时，等号成立，
故选：A ．
7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（
）参考数据：
lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771
≈≈≈A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年
【答案】C 【解析】
【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n (
)N n *
∈时投入资金为()12019%n
⨯+亿元，
设2020年后第n (
)N
n *
∈年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
则()12019%200n
⨯+>,得5
1.093
n
>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg310.30100.4771
5.9973lg1.09lg1.090.037
n ----->
==≈，所以6n ≥，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C ．
8.已知2)()log (2x
g x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有
1212
()()
2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围
是（）
A.[0,)+∞
B.1
[,)
8
-+∞ C.1
[,)4
-
+∞ D.1
[,)2
-
+∞【答案】B 【解析】
【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式
12121222
11)())02]()2[(2]
([g x x g x g x g x x x x x x ++-->-⇔>--，
令22222()()2)2(22)log (2log log x
x
x
x
f x
g x a x a -=⋅++=+=+，则
1212
()()
0f x f x x x ->-，依题意，1212,(1,2),x x x x ∀∈<，1212
()()
0f x f x x x ->-，因此函数22()(22)log x x f x a =⋅+在(1,2)上单调递
增，
令222x x u a =⋅+，而2log y u =在(0,)+∞上单调递增，则函数222x x u a =⋅+在(1,2)上单调递增，且恒有2220
x x a ⋅+>令2(2,4)x t =∈，显然函数2x t =在(2,4)上单调递增，因此2v at t =+在(2,4)上单调递增，且(2,4)t ∀∈，
20at t +>，
当0a >时，2v at t =+在(2,4)上单调递增，当0a =时，v t =在(2,4)上单调递增，且20at t +>恒成立，因此0a ≥；
当a<0时，由2v at t =+在(2,4)上单调递增，得1
42a -
≥，解得108
a -≤<，由(2,4)t ∀∈，20at t +>，得420a +≥，解得12a ≥-，因此1
08
a -≤<，所以实数a 的取值范围是1
[,)8
-+∞.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是（）
A.函数()e
x
f x -=-与()e x
g x =的图象关于原点对称
B.函数()1
(0x f x a
a -=>，且1)a ≠恒过定点()
0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件【答案】AC 【解析】
【分析】A ：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B ：令10x -=，由此确定出所过定点坐标；C ：通过修改量词否定结论可得结果；D ：根据0x >与3x >的互相推出情况进行判断.【详解】对于A ：设()e
x
f x -=-上任意一点()
00,P x y ，其关于原点的对称点为(),Q x y ，
所以00x x y y
=-⎧⎨=-⎩，所以()e x y ---=-，所以e x y =，即Q 为e x y =图象上任意一点，故A 正确；
对于B ：令10x -=，所以1x =，此时()0
11f a ==，所以()f x 过定点()1,1，故B 错误；
对于C ：修改量词否定结论可得2:0,10p x x x ⌝∀>-+≥，故C 正确；
对于D ：0x >不能推出3x >，但3x >一定能推出0x >，所以0x >是3x >的必要不充分条件，故D 错误；故选：AC .
10.下列化简正确的是（）
A.sin(2024π)sin αα
-=- B.tan(2025π)tan αα
-=C.11πsin(
)cos 2
αα+=- D.7πcos(
)sin 2
αα-=【答案】ABC 【解析】
【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.
【详解】对于A ，sin(2024π)sin()sin ααα-=-=-，A 正确；对于B ，tan(2025π)tan(π)tan ααα-=+=，B 正确；对于C ，11πππsin(
)sin[6π()]sin()cos 222αααα+=--=--=-，C 正确；
对于D ，7πππcos()cos[4π()]cos()sin 222
αααα-=-+=+=-，D 错误.故选：ABC
11.已知函数(2)1,0,(),0,a
a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩
则以下说法正确的是（）
A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数
B.若0a =，则()f x 有最小值
C.若1
2
a =
，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【答案】ABC 【解析】
【分析】把选项中的a 值分别代入函数()f x ，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A ，若1a =-，1
31,0
(),0
x x f x x x --+≤⎧=⎨
>⎩，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故A 正确；对于B ，若0a =，21,0,
()1,0,x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，当0x ≤时，()21f x x =-+，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，
()(0)1f x f ≥=，则()f x 有最小值1,故B 正确；
对于C ，若1
2a =，1
2
3
1,0,2(),0,
x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x ≤时，3()12=-+f x x ，()f x 在区间(],0-∞上单调
递减，()(0)1f x f ≥=；当0x >时，1
2()f x x =，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()(0)0f x f >=，则
()f x 的值域为(0,)+∞，故C 正确；
对于D ，若3a =，3
1,0,(),0,
x x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩当0(1,)x ∈+∞时，()3
001=>f x x ；当()020,1-∈x 时，()()()3
00220,1-=-∈f x x ；
当(]002,-∈-∞x 时，()(]003,21-=-∞∈-f x x ，即当(]
02,0x ∞-∈-时，()(]012,-∈-∞f x ，所以不存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，故D 错误.故选：ABC
12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（
）
A.()()f f x 是偶函数
B.()()f g x 是奇函数
C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增
D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇偶性定义可判断AB ；根据复合函数单调性可判断CD.
【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，
所以()()()()f
f x f f x -=，()()()()()()f
g x f g x f g x -=-=，所以()()f f x 和()()f g x 均为偶函数，A 正确，B 错误；
又因为()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，
所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()g x 在R 上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在[)0,∞+上()()g g x 单调递增，()()
g f x 单调递减，故C 正确，D 错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13.若扇形的半径为2，面积为
4π3
，则扇形的周长为________．【答案】
4π43+【解析】
【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.
【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322
S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.
【答案】1a ≤
【解析】
【分析】函数|1|()2x f x -=是由指数2x y =变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得|1|()2x f x -=的单调性，从而解出答案.
【详解】因为1112,1()21,12x x x x f x x ---⎧>⎪==⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭
⎩，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得()f x 在
()1,+∞单调递增，在(],1-∞单调递减.
因为函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减所以1a ≤.故答案为：1a ≤.
15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2
f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.【答案】2
【解析】
【分析】根据偶函数的性质可知，(3)(3)
f f -=【详解】因为()y f x =是偶函数，所以()()2
3(3)39333f a a f -=--=-==，解得2a =.故答案为：2
16.已知()1e x f x x
=-的零点为0x ，若000e ln 2x x x m +>，则整数m 的最大值是______.【答案】0
【解析】
【分析】根据题意分析()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()000
1e 0x f x x =-=，得到()020000000
11e ln x x x x x x x x +=+⋅-=-，通过判断()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的范围即可得到答案.【详解】函数()1e x f x x
=-的定义域为()(),00,∞-+∞U ，当0x <时，()0f x >恒成立，不存在零点；
当0x >时，()f x
单调递增，且1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
，()1e 10f =->，所以()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0001e 0x f x x =-=，
即00
1e x x =，两边同时取对数，即00ln x x =-，即00ln x x =-，所以()020********e ln x
x x x x x x x +=+⋅-=-，所以200112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记()2111,122
h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，显然，()h x 单调递减，所以()()112h h x h ⎛⎫<<
⎪⎝⎭，所以()708
h x <<
，所以整数m 的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断()1e x
f x x =-的零点0x 的范围，并通过001e x x =和00ln x x =-代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：
（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272
++-++；（2）112519sin cos tan 6
34πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）17
（2）2【解析】
【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.
（2）运用诱导公式直接化简求值即可.
【小问1详解】原式5lg lg 42239lg102212172
=+++++=+++=；【小问2详解】原式ππ3113sin
cos tan πtan π2634224⎛⎫=++-=+-= ⎪⎝⎭.18.已知幂函数()()
26m f x m m x =-在()0,∞+上是增函数
（1）求()f x 的解析式；
（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．
【答案】（1）()12f x x
=（2）{|24}
a a <≤【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；
（2）利用()f x 的单调性与定义域即可得解.
【小问1详解】
因为()()
26m f x m m x =-是幂函数，所以261m m -=，解得12
m =或13m =-，又()f x 在()0,∞+上是增函数，故0m >，
12
m ∴=，则()12f x x =.【小问2详解】
由（1）知()1
2f x x =在()0,∞+上是增函数，
又()()822f a f a -<+，()1
2f x x =的定义域为[)0,∞+，82282020a a a a -<+⎧⎪∴-≥⎨⎪+≥⎩
，解得24a <≤，
a ∴的取值范围是{|24}a a <≤．
19.已知函数()22log log 42
x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；
（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.
【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
（2）3,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】（1）换元令2log x t =，结合二次函数的性质求值域；
（2）换元令2log x t =，整理可得23+
-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】
因为()()()2222log log log 2log 142
==--x x f x x x ，由对数函数单调性可知，当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈，
令2log x t =，[]1,3t ∈，即可得()()()2
2132=--=-+g t t t t t ，[]1,3t ∈，可知()2
32g t t t =-+的开口向上，对称轴为32
t =，由二次函数性质可知当32t =时，()min 14=-g t ，当3t =时，()max 2=g t ，所以可得当[]2,8x ∈时，函数()f x 的值域为1,24⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
.【小问2详解】当[]4,16x ∈时，可得[]2log 2,4x ∈，令2log x t =，[]2,4t ∈，
可得()()2
2132--=-+≥t t t t mt ，即232t t mt -+≥在[]2,4t ∈上有解，整理可得23+
-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，因为函数()23=+-h t t t 在[]2,4t ∈上单调递增，当4t =时，()max 32=h t 所以m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是
1835,06814,6
x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；
（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】（1）1822,06811,6
x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元
【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.
【小问1详解】
设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6
x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6
x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】
当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣
⎦
186≤-=，当988x x
-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，
所以当5x =时，max 6y =，
所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.
21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；
（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值；（3）求()1tan tan θθ
π--的值.【答案】（1
）1a =（2
2
（3
1
【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a .（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.
（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.
【小问1详解】
sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根，所以sin cos sin cos a a
θθθθ+=⎧⎨=⎩，()2440,0a a a a a ∆=-=-≥≤或4a ≥，由sin cos a θθ+=两边平方得212sin cos 12a a θθ+=+=，2210a a --=
，解得a =（舍）或1a =
所以1a =【小问2详解】
3333cos sin sin cos 22θθθθππ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()
22sin cos sin sin cos cos θθθθθθ=+-+()(
112a a =-=-⨯=.
【小问3详解】()11tan tan tan tan θθθθ
π--=--22sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭
1
1
a =-=-=.22.已知定义域为R 的函数()122x x
b f x a
+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；
（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．
【答案】（1）2a =，1
b =
（2）4(,)
3
-∞【解析】
【分析】（1）根据题意可得()00f =，()()11f f -=-求解即可；
（2）由函数单调性可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，再将问题转化为2(3)(1)320x x k -+->对任意1x ≥恒成立，再设3x t =，根据二次不等式恒成立问题列式即可.
【小问1详解】()f x 在R 上为奇函数，故()00f =，即102b a -=+，解得1b =，故()1122x x f x a
+-=+.又()()11f f -=-，∴1112214a a
--=-++；解得2a =.故2a =，1b =.
【小问2详解】112(21)211()222(21)221
x x x x x f x +--++===-++++；x 增大时，21x +增大，121
x +减小，()f x 减小；()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；
()f x 为奇函数，∴由(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>得，(3)(932)x x x f k f ⋅>--；又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；
3932x x x k ∴⋅<--，该不等式对于任意1x ≥恒成立；
2(3)(1)320x x k ∴-+->对任意1x ≥恒成立；
设3x t =，则2(1)20t k t -+->对于任意3t ≥恒成立；
设2()(1)2g t t k t =-+-，△2(1)80k =++>；
k ∴应满足：132(3)430
k g k +⎧<⎪⎨⎪=->⎩；解得43
k <；
k ∴的取值范围为4
(,3-∞．。