浑南区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

浑南区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（）
A．0B．1C．2D．以上都不对
2．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．（1，4]B．（0，1]C．[﹣1，1]D．（4，+∞）
3．图1是由哪个平面图形旋转得到的（）
A．B．C．D．
4．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线
C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线
5．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（
）
A．B．C．﹣6D．6
6．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
7． 已知平面向量与的夹角为，且，，则（
）
3
π
32|2|=+b a 1||=b =||a A ．
B ．
C ．
D ． 38． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 的图象是（
）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
9． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（
）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
10．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是（ ）
A ．不存在x ∈R ，使∃x 2﹣2x+3≥0
B ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0
11．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（
）
A ．2sin 2cos 2αα-+
B ．sin 3
αα-+
C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1
αα-+12．已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ）
A ．5
B ．18
C ．24
D ．36
二、填空题
13．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
14．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
　15．在正方形中，,分别是边上的动点，当时，则ABCD 2==AD AB N M ,CD BC ,4AM AN
⋅=MN 的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想
和基本运算能力．
16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．17．若
与
共线，则y= ．
18．设MP 和OM 分别是角
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ，其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切钱EP 交CB 的延长线于P ，己知∠PAB=25°．（1）若BC 是⊙O 的直径，求∠D 的大小；（2）若∠DAE=25°，求证：DA 2=DC •BP ．
20．（本小题满分12分）已知点,直线与圆
()()(),0,0,4,4A a B b a b >>AB 相交于两点, 且,求.
22:4430M x y x y +--+=,C D 2CD =（1）的值；()()44a b --A （2）线段中点的轨迹方程；AB P （3）的面积的最小值.
ADP ∆21．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．
（1）若p=，求A ∩B ；
（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．
22．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数
图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
23．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点ABCD 60BAD ∠=
E F CD CB 与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面E C D EF AC ⊥EF AC O = EF CEF ∆PEF ∆PEF ⊥平面．
ABFED Ⅰ求证：平面；
BD ⊥POA Ⅱ记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且
，求此时线段的长．P ABD -1V P BDEF -2V 124
3
V V =PO 24．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB=2，AA 1=4，E 为AA 1的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线AF ∥平面BEC 1（2）求A 到平面BEC 1的距离．
P
A
C
D
O E
F F
E
O D
C
A
浑南区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵a=3，，A=60°，
∴由正弦定理可得：sinB===1，
∴B=90°，
即满足条件的三角形个数为1个．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，
则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则，
解得：1＜a≤4．
故实数a的取值范围为（1，4]．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
3．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念.
4．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
5．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
6．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
7．【答案】C
考点：平面向量数量积的运算．
8．【答案】D
【解析】解：幂函数y=x为增函数，且增加的速度比价缓慢，
只有④符合．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h=
=3
故V=
=2
故选C
10．【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0．故选：C ．　
11．【答案】A 【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()
ααcos 22cos 2-112
2
1-=+=S ；利用三角形知识得出四个等
腰三角形面积ααsin 2sin 112
1
42=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角
形面积公式ααsin 2
1
sin 1121=⨯⨯⨯=
S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()
αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()
ααcos 22cos 2-112
21-=+=S ，最后得到
答案.
12．【答案】D
【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x 4﹣2r ，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a 5，∴a 3a 7=a 52=36，故选：D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】　（1，2）　．
【解析】解：∵f （x ）=log a x （其中a 为常数且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），∴0＜a ＜1，x ＞0，
若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），则
，
解得：1＜x ＜2，故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．　
14．【答案】 ．
【解析】解：如图，将AM 平移到B 1E ，NC 平移到B 1F ，则∠EB 1F 为直线AM 与CN 所成角
设边长为1，则B 1E=B 1F=，EF=
∴cos ∠EB 1F=，故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　
15．【答案】2]
（，）上的点到定点，最大值为，故的取值02x ££02y ££(,)x y (2,2)2MN
范围为．
2]
x
16．【答案】　75　
【解析】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
17．【答案】　﹣6　．
【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．
18．【答案】
②
【解析】解：由MP ，OM 分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵
，
∴OM ＜0＜MP ．故答案为：②．
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵EP 与⊙O 相切于点A ，∴∠ACB=∠PAB=25°，又BC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=65°，
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=115°．
证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB ，∠D=∠PBA ，∴△ADC ∽△PBA ，∴
，
又DA=BA ，∴DA 2=DC •BP ．
20．【答案】（1）；（2）；（3）．
()()448a b --=()()()2222,2x y x y --=>>6
【解析】
试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离
，再进行化简，即可求
2CD =2d =2解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨()()44a b --A P (),x y 2
2
a x
b y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩AB P 迹方程；（3）将面积表示为，再利用基本
()()()11
4482446224
ADP b S a a b a b a b ∆
==+-=+-=-+-+A 不等式，即可求得的面积的最小值.
ADP ∆（3
）,(
)()()11
4482446662
24
ADP b S a a b a b a b
∆=
=+-=+-=-+-+≥+=A 当时, 面积最小, 最小值为.
∴4a b ==+6+考点：直线与圆的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于()()446ADP S a b ∆=-+-+中档试题.21．【答案】
【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x ≤}，∴A ∩B={x|2＜x ≤}；（2）当A ∩B=B 时，B ⊆A ；
令2p﹣1＞p+3，解得p＞4，此时B=∅，满足题意；
当p≤4时，应满足，
解得p不存在；
综上，实数p的取值范围p＞4．
22．【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由题意转化为在区间上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围．
试题解析：（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又，所以在区间上恒成立，
记，只需，即，解得．
（2）由，得，
①当时，有；，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以函数在取得极大值，没有极小值．
②当时，有；，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．
（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为
，
当时，
，
当且仅当，即或时取等号；
当时，
，
当且仅当，即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
23．【答案】
ABCD
【解析】Ⅰ证明：在菱形中，
∵，∴．
⊥
⊥BD AO
BD AC
∵，∴，
EF AC ⊥PO EF ⊥∵平面⊥平面，平面平面，且平面，PEF ABFED PEF ABFED EF =PO ⊂PEF ∴平面，
PO ⊥ABFED ∵平面，∴．BD ⊂ABFED PO BD ⊥∵，∴平面．
AO PO O = BD ⊥POA Ⅱ设．由Ⅰ知，平面， AO BD H = PO ⊥ABFED ∴为三棱锥及四棱锥的高，
PO P ABD -P BDEF -∴，∵，
1211
,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形1243
V V =∴，∴， 3344ABD CBD BFED S S S ∆∆=
=梯形1
4
CEF CBD S S ∆∆=∵，
,BD AC EF AC ⊥⊥∴，∴∽． ∴， //EF BD CEF ∆CBD ∆21
(
)4
CEF CBD S
CO CH S ∆∆==∴ ∴．
111
222
CO CH AH ===⨯=PO OC ==24．【答案】
【解析】解：（1）取BC 1的中点H ，连接HE 、HF ，则△BCC 1中，HF ∥CC 1且HF=CC 1
又∵平行四边形AA 1C 1C 中，AE ∥CC 1且AE=CC 1
∴AE ∥HF 且AE=HF ，可得四边形AFHE 为平行四边形，∴AF ∥HE ，
∵
AF ⊄平面REC 1
，HE ⊂平面REC 1∴AF ∥平面REC 1．…（2）等边△ABC 中，高
AF=
=
，所以EH=AF=
由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，得C 1到平面AA 1B 1B 的距离等于∵Rt △A 1C 1E ≌Rt
△ABE ，∴EC 1=EB ，得EH ⊥BC 1可得S △
=BC 1•EH=×
×
=
，
而S △ABE =AB ×BE=2
由等体积法得V A ﹣BEC1=V C1﹣
BEC ，∴S △
×d=
S △ABE ×，（d 为点A 到平面BEC 1的距离）
即×
×d=×2×
，解之得d=
∴点A到平面BEC1的距离等于．…
【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．。