平面与平面立体面相交

§4-2 平面与平面立体表面相交

平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。

一、平面立体的截交线和断面

如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。

如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。

作图过程如图4-16b中的红色图形所示：

（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线P v的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。

（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。

如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。

因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在P v上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。从已知的正面投影可以直观地看出，断面的水平投影和侧面投影都是可见的。

作图过程如图4-17a中的红色图形所示：

（1）在五棱柱正面投影右侧的适当地位画表示后棱面有积聚性的侧面投影的竖直线，用水平投影中从后棱面向前的距离y和y1，按侧面投影与水平投影宽相等和前后对应，以及五棱柱顶面、底面的正面投影和侧面投影应分别在同一水平线上的原则，就可由已知的正面投影和水平投影作出完整的五棱柱的侧面投影。

（2）在截交线已知的正面投影上，标注出棱线AA0、BB0、EE0与截平面P的交点F、G、J的正面投影f＇、g＇、j＇，标注截平面P与顶面的交线HI的正面投影h＇i＇，HI是正垂线，它的正面投影积聚成一点，这就标明了截交线五边形FGHIJ的正面投影f＇g＇h＇i＇j＇。

在aa0、bb0、ee0上分别标出f、g、j，由h＇i＇作出hi，于是就画出了截交线五边形FGHIJ的水平投影fghij，也就补全了五棱柱被切割后的水平投影。

由f＇、g＇、j＇分别在a″a0″、b″b0″、e″e0″上作出f″、g″、j″；由于点I在顶边边侧垂线ED上，所以可直接在积聚成一点的e″d″上标注出i″；在顶面的侧面投影上，从i″向前量取水平投影中h在i前的距离y2，就可作出h″。连j″与f″、f″与g″、g″与h″，h″i″、i″j″分别积聚在顶面、后棱面的侧面投影上，便画出截交线五边形FGHIJ的侧面投影f″g″h″i″k″。因为棱线AA0在点F之上的一段已被切割掉，而棱线CC0仍是全部存在的，所以在侧面投影中应将f″以上的粗实线改为细虚线，仅表示侧面投影不可见的棱线CC0的上部的一段；同时还应将h″以前和g″以上的五棱柱被被切割掉的侧面投影的轮廓线擦去或改为细双点划线，也就作出了五棱柱被切割后的侧面投影。

二、平面立体的缺口

在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的交线，并画出截平面之间的交线，就可作出具有缺口的平面立体的投影图。

如4-18a中的黑色图形所示，已知一个缺口三棱锥的正面投影，要补全它的水平投影和侧面投影。从正面投影中可见：缺口是由一个水平面和一个正垂面切割三棱锥而形成的，左棱线SA有一段被切割掉，在正面投影中画成细双点划线，而在水平投影和侧面投影中，则于未经作图确定SA被切割掉的一段棱线的投影之前，暂时先将sa和s″a″都画成细双点画线。

可以想象：因为水平截平面平行于底面，所以它与前、后棱面的交线DE、DF分别平行于底边AB、AC，正垂截平面分别与前、后棱面交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以它们的交线EF一定是正垂线。想象的结果如图4-18a右下角的立体图所示。画出这些交线的投影，也就画出了这个缺口的投影。

作图过程如图4-18a中的红色图形所示：

（1）因为这两个截平面都垂直于正面，所以d＇e＇、d＇f＇和g＇e＇、g＇f＇都分别重合在它们的有积聚性的正面投影上，e＇f＇则位于它们的有积聚性的正面投影的交点处。于是在正面投影中标注出这些交线的投影。

（2）由d＇在sa上作出d。由d作de∥ab、df∥ac，再分别由e＇、f＇在de、df上作出e、f。由d＇e＇、de作出d″e″，由d＇f＇、df作出d″f″，它们都重合在水平截平面的积聚成直线的侧面投影上。

（3）由g＇分别在sa、s″a″上作出g、g″，并分别与e、f和e″、f″连成ge、gf和

g″e″、g″f″。

（4）连e和f，由于ef被三个棱面SAB、SBC、SCA的水平投影所遮而不可见，画成细虚线；e″f″则重合在水平截平面的有积聚性的侧面投影上。

（5）用粗实线加深在棱线SA上实际存在的SG、DA段的水平投影sg、da和侧面投影s″g″、d″a″；原来用细双点划线表示的GD段的三面投影g＇d＇、gd、g″d″实际上是不存在的，不应画出。

由此就补全了缺口三棱锥的水平投影和侧面投影，作图结果如图4-18b所示。

三、两平面立体相贯

两个或多个立体相交（也称为两个或多个立体相贯）形成的形状，称为相贯体，立体表面的交线，称为相贯线。相贯体是一个整体，将相贯体看作两个或多个立体相交，仅是在对相贯体各部分的形状和相对位置进行分析时的一种假设。

两立体相贯有两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯、两曲面立体相贯三种情况。由于在§4-1中已述及本书对曲面立体只着重讲述常见的回转体，所以后两种情况将分别在§4-3、§4-4中讲述。下面将通过两平面立体相贯的一个例图讲述相贯线、相贯体的投影及其画法。

两平面立体的相贯线通常是一组或两组闭合的空间折线，在特殊情况下可能是不闭合的（例如当两立体具有连在一起的公共的平面表面时），也可能是平面上的闭合折线，即平面多边形（例如一个立体只在另一立体的一个棱面上全部穿进或穿出时）；折线的每一折线段都是两立体各一个平面表面的交线，每一个折点都是一个立体的棱线或底边与另一个立体的交点。因此，只要分别作出一个立体的诸平面表面与另一个立体的平面表面的交线，就可连接成两立体的相贯线。

图4-19是一个正垂的三棱柱和铅垂的六棱柱相交形成的相贯体、相贯线的三面投影和立体图。在立体图中，用红色的图形和大写字母表示了这个相贯体上的相贯线。

从图4-19中可见：这个相贯体可假设为正垂三棱柱从前方全部穿入铅垂六棱柱，穿入后就不穿出来了，所以这两个立体的表面有一组相贯线，就是顺次将三棱柱的左棱面与六棱柱的左前棱面、前棱面的交线AB、BC，三棱柱的右棱面与六棱柱的前棱面、右前棱面的交线CD、DE，三棱柱的下棱面与六棱柱的右前、前、左前棱面的交线EF、FG、GA，连接而成闭合的空间折线ABCDEFGA。

相贯体和相贯线投影的画法是：按铅垂六棱柱和正垂三棱柱的投影图画法和它们之间的相对位置（它们有共同的左右对称面，三棱柱下棱面在六棱柱底面之上的距离，三棱柱端面在六棱柱前棱面之前的距离），先用黑色图形画出这两个棱柱的正面投影和水平投影，再用红色图形按正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上，且保持前后方向的宽度相等和前后对应，由已作出的正面投影和水平投影画出这两个棱柱的侧面投影。然后，用红色图形讲述和作出两立体的相贯线。最后，确定在画相贯体和相贯线过程中，前阶段未能完全确定的暂时先用细双点画线表达的棱线的部分投影，从而完成这个相贯体的投影图。读者应该注意的是：由于相贯体是一个整体，看作两个立体相交，仅是一种假设，所以不应画出一个立体穿入另一个立体内部的轮廓线，只要想到很多机械零件都是用熔化后的钢铁浇铸成毛坯后，再经机械加工而成的，是一个整体，不是两个立体相交，因而若一立体的轮廓线穿入或穿出另一立体，只能画到穿入或穿出的贯穿点为止，即只能画到相贯线的折点为止，实际上一立体