2021-2022学年浙江八年级数学上册第2章《特殊的三角形》竞赛题

2021-2022学年浙江八年级数学上册第2章《特殊的三角形》竞赛题
一．选择题（共8小题）
1．（2012•郫县校级自主招生）如图，在等腰直角△ABC中，CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，点M是斜边AB上一动点，则△CMD的周长的最小值是（）
A．1+ B．1+ C．1+2 D．1+ 2．（2011•瓯海区校级自主招生）代数式最小值为（）
A．4 B．5 C．D．3．（2017•涪城区校级自主招生）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）
A．54°B．63°C．27°D．27°或63°4．（2020•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）
A．5条B．6条C．7条D．8条5．（2012•桃源县校级自主招生）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X、Y表示直角三角形的两直角边（X＞Y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）
A．X2+Y2＝49 B．X﹣Y＝2 C．2XY+4＝49 D．X+Y＝13 6．（2019•顺庆区校级自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（）条．
A．5 B．7 C．9 D．10 7．（2014•涪城区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则P A2+PB•PC的值为（）
A．m2B．m2+1 C．2m2D．（m+1）2 8．（2007•温州校级自主招生）已知直角三角形有一条直角边的长是质数n，另外两条边
长是两个连续自然数，那么它的周长是（）
A．n2+1 B．n2﹣1 C．n2+n D．n2﹣n
二．填空题（共6小题）
9．（2018•武昌区校级自主招生）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为．
10．（2013•天心区校级自主招生）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝DB，DC＝CA，则∠BAC＝°．
11．（2020•西安自主招生）如图：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．则∠B＝．
12．（2020•浙江自主招生）在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且P A＝，PC＝5，则PB＝．
13．（2017春•武昌区期末）如图，四边形ABCD中，已知AB＝，BC＝5﹣，CD＝6，∠ABC＝135°和∠BCD＝120°，那么AD的长为．
14．（2001•安徽自主招生）已知：如图，在直角△ABC中，AD＝DE＝EB，且CD2+CE2＝1，则斜边AB的长为．
三．解答题（共4小题）
15．如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC＝，AD＝2，DB＝1，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．
16．（2020•浙江自主招生）若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．
17．（2014•市南区校级自主招生）发现问题：
如图（1），在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．
我们可以进行以下计算：
由题意可知：∠B＝30°，∠C＝90°，
可得到：c＝2b，a＝b，
所以a2﹣b2＝（b）2﹣b2＝2b2＝b•c．
即a2﹣b2＝bc．
提出猜想：
对于任意的△ABC，当∠A＝2∠B时，关系式a2﹣b2＝bc都成立．
验证猜想：
（1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程；
已知：△ABC中，∠A＝2∠B，∠A＝90°
求证：a2﹣b2＝bc．
（2）（验证一般三角形）如图（3），
已知：△ABC中，∠A＝2∠B，
求证：a2﹣b2＝bc．
结论应用：
若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．
18．（2004•鼓楼区校级自主招生）记三角形三边长为a、b、c，对应边上的高为h a、h b、
h c，请解答：
（1）已知h a：h b：h c＝2：3：4，且这三角形周长为26cm，求a、b、c．
（2）若三角形的三条高分别为2、x、6，求x的取值范围．
（3）若三条高分别为2、x、6的三角形是直角三角形，求x．（4）若三条高分别为2、x、6的三角形是等腰三角形，求x．
2021-2022学年浙江八年级数学上册第2章《特殊的三角形》竞赛题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，
∴AD＝2，CD＝1，
作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′，
∵点D于点D′关于直线AB对称，
∴AD＝AD′＝2，∠DAD′＝2∠BAC＝90°，
在Rt△ACD′中，
CD′＝＝＝，
∴△CMD的周长的最小值＝CD′+CD＝+1．
故选：D．
2．【解答】解：如图：原式可化为+，
则代数式的最小值是AC的长，AC＝＝5，
故选B．
3．【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
4．【解答】解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
5．【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确；
B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y＝，错误．
故选：D．
6．【解答】解：如图：
∴最多画9条，
故选：C．
7．【解答】解：作AD⊥BC交BC于D，
AB2＝BD2+AD2①
AP2＝PD2+AD2②
①﹣②得：
AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2，
∴AB2﹣AP2＝（BD+PD）（BD﹣PD），
∵AB＝AC，∴D是BC中点，
∴BD+PD＝PC，BD﹣PD＝PB，
∴AB2﹣AP2＝PB•PC．
∴P A2+PB•PC＝AB2＝m2．
故选：A．
8．【解答】解：设另外两个数是x、y（x＞y）
则x2﹣y2＝n2，
即（x+y）（x﹣y）＝n2，
∴x+y＝n2，
∴三角形的周长是x+y+n＝n2+n．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．
故答案为7或8．
10．【解答】解：设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，
∵DC＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x，
在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，
解得x＝36°．
∴∠BAC＝108°．
故答案为：108．
11．【解答】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示：
∵AB+AC＝BE，
∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，
∴∠F＝∠BEF＝，
∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，
∴∠F AE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°，
∴∠F AE＝∠CAE，
在△AFE和△ACE中，
∵，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴∠F＝∠ACE，
又∵∠ACE为△ABC的外角，
∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°，
∴∠F＝∠B+18°，
∴∠B+18°＝，
则∠B＝48°．
故答案为：48°
12．【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE 在△APD中，P A2＝PD2+AD2＝5，
在△PCD中，PC2＝PD2+CD2，且AD+CD＝5，
解得AD＝，CD＝，PD＝，
在Rt△ABC中，BE＝AE＝，
所以在Rt△BPF中，PB2＝PF2+BF2＝＝10，
所以PB＝．
13．【解答】解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，
则四边形AEFG四个内角均为直角，
∴四边形AEFG为矩形，AE＝FG．EF＝AG
∠ABE＝180°﹣135°＝45°，∠DCF＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝EB＝×＝，CF＝×CD＝3，FD＝CF＝3 ，
∴AG＝EF＝8，DG＝DF﹣AE＝2 ，
∴AD＝＝．
故答案为．
14．【解答】解：作EM⊥BC，DN⊥BC．
∵∠C＝90°，
∴∠BME＝∠BND＝90°，
设AB＝3x，则BE＝DE＝AD＝x
设BC＝3y，则BM＝MN＝NC＝y，2ME＝ND，
在Rt△CME中，ME2+MC2＝EC2．（1）
在Rt△CND中，ND2+NC2＝CD2．（2）
（1）+（2）得：5ME2+5y2＝1，ME2+y2＝，
在Rt△BME中：BE2＝BM2+ME2，即：x2＝y2+ME2＝，∴AB＝3BE＝．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
15．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，
设DE＝x，则AE＝2﹣x，
在Rt△DCE中，∠ADC＝60°，
∴CE＝x，
在Rt△AEC中，
根据勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，
∴（2﹣x）2+（x）2＝（）2，
解得：，
∴BE＝CE＝，
又∵∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝45°，
又∵∠DCE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝15°．
16．【解答】解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，则有
（2）代入（1）得
即
因为ab≠0所以ab﹣4a﹣4b+8＝0
所以（a，b为正整数）
所以b﹣4＝1，2，4，8，
所以b＝5，6，8，12；
a＝12，8，6，5；
c＝13，10，10，13，
所以，三边长为6，8，10或5，12，13．
17．【解答】解：（1）由题意，得∠A＝90°，c＝b，a＝b，∴a2﹣b2＝（b）2﹣b2＝b2＝bc；
（2）小明的猜想是正确的．
理由如下：如图，延长BA至点D，使AD＝AC＝b，连接CD，则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC＝2∠ACD，又∠BAC＝2∠B，
∴∠B＝∠ACD＝∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD＝CB＝a，
又∠D＝∠D，∴△ACD∽△CBD，
∴，
即，
∴a2＝b2+bc，
∴a2﹣b2＝bc；
结论应用：
由于三边长为三个连续整数，
设三个连续的偶数是2n﹣2，2n，2n+2，
则（2n+2）2﹣（2n﹣2）2＝2n（2n﹣2），
解得：n＝5，则三个数分别是：8，10，12．
可知：a＝12，b＝8，c＝10．
18．【解答】解：（1）设h a＝2k，h b＝3k，h c＝4k，则ah a＝bh b＝ch c，
即a×2k＝b×3k＝c•4k，
∴2a＝3b＝4c，
∴a：b：c＝6：4：3，
又∵a+b+c＝26cm，
∴a＝12cm，b＝8cm，c＝6cm；
（2）设三角形的面积为s，则
s＝ah a＝a，s＝bh b＝bx，s＝ch c＝3c，
∴a＝s，b＝，c＝，
又a﹣c＜b＜a+c，
即s﹣＜＜s+，
∴＜＜，
∴＜x＜3；
（3）设三角形的面积为s，由（2）知a＝s，b＝，c＝．
显然a＞c，分两种情况：
①如果a为斜边，那么a2＝b2+c2，
即s2＝+，
解得x＝；
②如果b为斜边，那么b2＝a2+c2，
即＝s2+，
解得x＝．
故所求x的值为＝或；
（4）设三角形的面积为s，由（2）知a＝s，b＝，c＝．
显然a＞c，分两种情况：
①如果a＝b，那么s＝，解得x＝2；
②如果b＝c，那么b+c＜a，不满足三角形三边关系定理，故舍去．故所求x＝2．。