离散数学 练习题及答案

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例3
请画出 4 个顶点 3 条边的所有可能不同构 的无向简单图？
2014-2-25
总复习
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例4
试证 若无向图 G 中恰有两个奇数度结点，则 这两个结点必是连通的。 证明
设 G 中两个奇数度结点分别为 u ,v。 若 u 与 v 不连通,则至少有两个连通 分支 G1 和 G2，u G1,v G2。 于是 G1 和 G2 各含一个奇数度结点， 这与握手原理的推论矛盾， 因此 u 与 v 必是连通的。
s ( R) R R
2014-2-25
r ( R) R I X
C
{ a, b , b, c , b, a , c, b }
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例5（续） X {a, b, c}, R { a, b , b, c }
R { a, c }
2014-2-25 总复习
例: 求幺元、零元、逆元
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例1
G 是一个有 15 条边的简单图， G有 13 条边，请问 G 中有多少个结点?
解：
结点数与 G 相同，设为 n，根 据定理4， n(n-1)/2 = 28 n=8
2014-2-25 总复习
G G 共有 15 + 13 = 28 条边， G G是一个完全图，它的
2014-2-25 总复习 16 of 65
X {1,2,3}, Y { p, q}, Z {a, b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p, b , q, b }
求g f
例12 求复合函数
g f { 1, b , 2, b , 3, b }
例3 给出下列公式的真值表
PQ 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
2014-2-25
R 0 1 0 1 0 1 0 1
( P Q R) P PQ PQ R
A
0 0 0 0
成真指派：100，101，110，111
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1 1
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
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例4
试求下面公式的主析取（主合取）范式，并写 出成真指派和成假指派。
(P Q) (Q P) ( P Q) (Q P) (P Q) Q P (P Q) (Q (P P)) ( P (Q Q)) (P Q) ( P Q) ( P Q)
总复习 21 of 65
2014-2-25
例6 判断下列图哪些是 E 图、H图？
H E
非E
2014-2-25 总复习
非H
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设 G 是一个有 v 个结点, e 条边的连通简单平面 图，若 v 3，则有ｅ ３v－６。
例7 证明
证 明
设 G 有 r 个面， 当v = 3, e = 2时，ｅ 3v-6 显然成立。 若 e 3, 则每一个面至少由 3 条边围成，所以
2e 3r
2 ver ve e 3
6 3v e
2 r e 3 2
e 3v 6
e 2v 3
2014-2-25
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例10 求图的最小生成树
1 B
4
A
3
5
2 E
6
B
4
1
A
2 E
6
C
7
D
C
D
2014-2-25
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24 ofБайду номын сангаас65
例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的 都是4度顶点，则T有几个4度顶点？ • 解:设T有x个4度顶点 顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1) x=1
2014-2-25 总复习 17 of 65
• N, I, Q, R上的普通加法 + 和乘法 * +：幺元 0，a-1 = -a； *：幺元 1，零元 0， a-1 = 1/a； • 命题公式集合上的 和 ：幺元F，零元T ：幺元T，零元F • 幂集P(S)上的∪和∩ ∪：幺元 ，零元S ∩：幺元S，零元
因为 x 是任意的,所以有
x A ( A B)
x (( x A ( A B)) ( x A B)) 的真值为T, 因此 A ( A B) A B
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例4 判断关系的性质
R 1 { a, a , a, b , b, b , c, c }
1 3
2
设对应于 i 的等价关系为Ri ,则：
R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} = IA
1
2
3
1 3
2
1 3
2
1 3
4
5
R2={<1,2>,<2,1>} ∪ IA
R3={<1,3>,<3,1>} ∪ IA R4={<2,3>,<3,2>} ∪ IA R5={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>, <3,1>,<3,2>} ∪ IA
1 1 0 0 1 0 0 0 1
a c
总复习
MR1
R1
b
R1 是自反的、反对称、传递的。
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例5 求关系的闭包 X {a, b, c}, R { a, b , b, c }
解：
R { a, a , b, b , c, c } { a, b , b, c , a, a , b, b , c, c }
总复习 3 of 65
2014-2-25
例1 符号化下列命题
a)不是所有的男人都比女人高。 M(x):x是男人，W(x):x是女人，H(x,y):x比y高。
x (M ( x) y (W ( y) H ( x, y)))
2014-2-25
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例2 证明
a)x(A( x) B( x)), xB( x) xA( x) P 证明 1)x (A( x ) B ( x )) 2)A(u ) B (u ) US1) 3)xB ( x ) P 4)B (u ) US 3) 5) A(u ) T 2)4) 6)xA( x ) EG5)
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x1 x2
x3
总复习
x4
满射
双(入、满)射
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X {1,2,3}, Y { p, q}, Z {a, b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p, b , q, b }
求g f
例11 求复合函数
g f { 1, b , 2, b , 3, b }
f
g
B={a,b,c,d,e,f,g}
b
c a
2014-2-25
d
上界： h,i,j,k e 下界：无 无上（下）确界
总复习 14 of 65
x1 x2
x3
例10 判断函数的类型 y x
1 1
y1 y2
y3
y2
y3
映射函数
x2
x3
入 射
y4 y1 y2
y3
y4 y1 y2
y3
x1 x2
x3
2014-2-25
2014-2-25 总复习 5 of 65
例1 求集合的幂集
P( ) {x x } { }
P({ }) { ,{ }}
P({ ,{}}) { ,{},{{}}, { ,{}}}
2014-2-25
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例2
• n 个元素的集合上，可以定义多少个关系？
0,2,3 1
( P Q)
2014-2-25
成真指派：00，10，11 成假指派：01
总复习 2 of 65
例5 试证 Q ( P ( P Q)) Q P
证明
Q ( P ( P Q)) Q ( P ( P Q)) Q (( P P) ( P Q)) Q ( P ( P Q)) ( Q P ) ( P Q Q ) Q P QP
2014-2-25 总复习 12 of 65
P { a , b , c }, R 例8 画出哈斯图 {a, b, c}
{a, c}
{a, b}
{a} {b}
{b, c} {c}
2014-2-25
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例9 求极大（小）元，最大（小）元、上（下） 界，上（下）确界 j k 极大元：j,k 极小元:a,b,e h 最大元：无 i 最小元：无
(2 )
• 设集合X,Y, |X|=m, |Y|=n，可以定义多少个 从X到Y的函数？
n2
nm (|Y||X| )
2014-2-25
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例3 对任意两个集合A, B,试证
证明 对于任意的x
A ( A B) A B
x A B
2014-2-25
x {x x A x ( A B)} x {x x A ( x A B)} x {x x A ( x A x B)} x {x x A ( x A x B)} x {x x A x B}
( 2)
R
( 3) ( 3)
t ( R) R R R
( 2)
{ a, b , b, c } { a, c } { a, b , b, c , a, c }
2014-2-25 总复习 11 of 65
解：先求A的各种划分：
2
例7 设 A={1,2,3}, 求出A上所有的等价关系 1 3 2