初三数学三角函数经典复习讲义
九年级数学三角函数全章知识点整理
初中三角函数整理复习一．三角函数定义。
siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠二、特殊角的三角函数： sia 30°、cos45° 、 tan60° 归纳结果练习： 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)04530cos sia +ta60°-tan30°三．解直角三角形主要依据(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠例题评析：例1、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b=2 ，a=6，解这个三角形．例2、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）． 斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin例 3、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．例4、在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
四．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 例1如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．巩固练习：1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东340方向上的B处。
初三锐角三角函数精编讲义
FC
5 第 18 题图
例 1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3 ，求 AB 的长．
例 2．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5． 求：sin∠ABC 的值．
4
对应训练 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若 AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）
弦
斜边
c (∠A 为锐角)
余 cos A A的邻边 cos A b 0 cos A 1
弦
斜边
c (∠A 为锐角)
关系
sin A cos B cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
正 tan A A的对边 tan A a
tan A 0
切
A． 5
B． 2 5
C． 1
D．2
5
5
2
3．在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 3 ，那么 tanA 的值等于（ ）.
A
5
A． 3
B. 4
C. 3
D. 4
5
5
4
3
B
C
4. 若 sin 3 ，则锐角 ＝
.
2
5．将∠α 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tanα 的值是
1
5
25
α
A． B．2
B．
3
3
C．
4
4
D．
3
8． 如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ADC= 90°，若 sinA= 3 ，则 cos∠BCD 的值为 ．
5
C
九年级中考数学三轮复习专题++锐角三角函数+课件
广 东 中 考
12.(2014广州)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,
△ ABC的三个顶点均在格点上,则tan A＝( D
A.
3
5
B.
4
5
C.
3
D.
4
)
4
3
13.(2016广东)如图,在平面直角坐标系中,点A坐标
为(4,3),那么cos α的值是( D )
A.
3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
课 堂 测 评
cos
A30 30
2
2
B
sin 45
2
0 2
0
cos
B 45 45
2
3
tan 30
3
tan 450 1
0
0
0
3
C
sin 60
2
10
0
cos
C 60 60
2
0
tan 600
3
考 点 梳 理
3.(1)对于任意的锐角A，则有 sin A cos A 1
2
2
(2)已知∠A+∠B=90°,则有 sinA cos B
中考数学
复习专题
锐角三角函数
考 点 梳 理
1.锐角三角函数的概念
(1)锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
(2)在△ABC 中,∠C＝90°,
∠A 的正弦：sin A＝
∠A 的邻边
∠A 的余弦：cos A＝
斜边
∠A 的对边
斜边
,
三角函数讲义(最新)
三角函数复习讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=yx， 定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义
锐角三角函数与解直角三角形【考大纲求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特别角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实质问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热门为依据题中给出的信息建立图形，成立数学模型，而后用解直角三角形的知识解决问题 .【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的观点以下图，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，BcaAbC锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a .A的邻边b同理 sin B B的对边b； cos B B的邻边a； tan B B的对边 b ．斜边c斜边c B的邻边a重点解说：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条，，，不可以理解成s in 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不可以写成“tanAEF”；此外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞ 0．考点二、特别角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，概括以下：重点解说：(1)经过该表能够方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假如知道了一个锐角的三角函数值，就能够求出这个锐角的度数，比如：若，则锐角．(2)认真研究表中数值的规律会发现：sin 0、、、、sin90的值依次为0、、、、1，而cos0、、、、cos90的值的顺序正好相反，、、的值挨次增大，其变化规律能够总结为：当角度在0°＜∠ A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ②余弦值随锐角度数的增大 ( 或减小 )而减小 ( 或增大 ) ．考点三、锐角三角函数之间的关系以下图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°．(1)互余关系：，；(2) 平方关系：；(3)倒数关系：或；(4) 商数关系：．重点解说：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简易．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为a、b、 c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2( 勾股定理 ).②锐角之间的关系：∠A+∠ B=90° .③边角之间的关系：，，，，，.④， h 为斜边上的高 .重点解说：(1)直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90° ) ，是已知的值 .(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其余关系( 如不等关系 ).(3)对这些式子的理解和记忆要联合图形，能够更为清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常有种类及解法已知条件解法步骤Rt △ ABC两两直角边(a，b)由边求∠ A，∠ B=90°－∠ A，由斜边，向来角边( 如 c， a)求∠ A，∠ B=90°－∠ A，锐角、邻边( 如∠ A，b)，一边向来角边一和一锐角∠ B=90°－∠ A，角锐角、对边( 如∠ A，a)，斜边、锐角 ( 如 c，∠ A)，重点解说：1．在碰到解直角三角形的实质问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意注明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，而后按先确立锐角、再确立它的对边和邻边的次序进行计算. 2．若题中无特别说明，“解直角三角形”即要求出全部的未知元素，已知条件中起码有一个条件为边 .考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很宽泛，重点是把实质问题转变为数学模型，擅长将某些实质问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实质应用问题的重点.解这种问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等观点，而后依据题意画出几何图形，成立数学模型 .(2)将已知条件转变为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实质问题转变为解直角三角形的问题 .(3) 依据直角三角形( 或经过作垂线结构直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形 .(4) 得出数学识题的答案并查验答案能否切合实质意义，得出实质问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实质问题时，常常会用到以下观点：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式 .(2)仰角、俯角：视野与水平线所成的角中，视野中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图 .(3)方向角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方向角，如图①中，目标方向 PA， PB， PC的方向角分别为是40°， 135°， 245° .(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA， OB， OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西 45° .重点解说：1．解直角三角形实质是用三角知识，经过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的表示图.2．非直接解直角三角形的问题，要察看图形特色，适合引协助线，使其转变为直角三角形或矩形来解 . 比如：3．解直角三角形的应用题时，第一弄清题意( 重点弄清此中名词术语的意义) ，而后正确画出示企图，从而依据条件选择适合的方法求解.【典型例题】种类一、锐角三角函数的观点与性质1． (1) 以下图，在△ABC中，若∠ C＝ 90°，∠ B＝ 50°， AB＝ 10，则 BC的长为 ( )．A．10· tan50 ° B ． 10· cos50 ° C ． 10· sin50 ° D ．10 sin 50°(2)以下图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝3，求 cosA+tanB 的值．5(3)以下图的半圆中， AD是直径，且 AD＝3， AC＝2，则 sinB 的值等于 ________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的定义，能够用某个锐角的三角函数值和一条边表示其余边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，能够用比率系数k 表示各边．(3)要求 sinB 的值，能够将∠ B 转变到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其余三角函数值时，常用的方法是：利用定义，依据三角函数值，用比率系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还能够直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2 A+cos 2 A ＝1，读者可自己试试达成．贯通融会：【变式】 Rt △ ABC中，∠ C=90°， a、 b、 c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边，那么 c 等于 ( )(A) acosA bsin B(B)a b(D) (C)sin Bsin A种类二、特别角的三角函数值asin A bsin Ba b cosA sin B2．解答以下各题：(1)化简求值： tan60° tan45° sin 45°sin 30°； sin60° cos30° cos45°(2)在△ ABC中，∠ C＝ 90°，化简12sin A cos A ．．【总结升华】由第 (2) 题可获得此后常用的一个关系式：1± 2sin α cos α =(sin α± cos α ) 2．比如，若设 sin α +cos α＝ t ，则sin cos1(t 2 1)．贯通融会：【变式】若 sin 23sin，(2α，β为锐角)，求tan(2)的值.， cos233． (1) 以下图，在△ABC中，∠ ACB＝ 105°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，求 AB 和 BC的长；(2)在△ ABC中，∠ ABC＝ 135°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，怎样求 AB和 BC的长 ?(3) 在△ ABC中， AC＝ 17， AB＝ 26，锐角 A 知足sin A 12，怎样求BC的长及△ABC的面积？13若 AC＝ 3，其余条件不变呢?【思路点拨】第 (1) 题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝ 45°；过点C 作 CD ⊥ AB 于 D，则 Rt △ ACD是可解三角形，可求出 CD的长，从而 Rt △ CDB可解，由此得解；第 (2) 题的条件是“两角一对边” ；第 (3) 题的条件是“两边一夹角” ，均可用近似的方法解决．种类三、解直角三角形及应用4．以下图， D 是 AB上一点，且 CD⊥ AC于 C，S△ACD: S△CDB 2 : 3 ， cos DCB 4，5AC+CD＝ 18，求 tanA 的值和 AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考察多以选择题、填空题为主．例 1 如图 28－ 123 所示，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 1，AB＝ 2，则以下结论正确的选项是()A ． sin A＝3B ．tan A＝122C． cosB＝3D． tan B＝ 3 2例 2 在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， cosA＝3,则 tan A 等于() 5A ．3B ．4C．3D．4 5543专题 2特别角的三角函数值【专题解读】要熟记特别角的三角函数值．例 4计算|－3|＋2cos 45°－(3 － 1)0．例 5计算－ 1 ＋9 ＋ (－ 1)2007－ cos 60°．2例 6计算|－ 2 |＋ (cos 60°－ tan 30° )0＋8 ．131例 7计算－ (π－ 3.14)0－ |1－ tan 60° |－.232专题 3锐角三角函数与有关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其余知识综合起来运用，考察综合运用知识解决问题的能力.例 8如图28－124所示，在△ ABC中，AD是BC边上的高，E为AC4边的中点， BC＝ 14， AD＝ 12， sin B＝．(1)求线段 DC 的长；(2)求 tan∠EDC 的值 .例 9 如图 28－ 125 所示，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高， tan B＝ cos∠DAC .(1)求证 AC＝ BD ；12(2)若 sin C＝，BC＝12，求AD的长．例 10 如图 28－ 126 所示，在△ ABC 中，∠ B＝ 45°，∠ C＝ 30°， BC＝ 30＋30 3 ，求 AB 的长．专题 4用锐角三角函数解决实质问题【专题解读】增强数学与实质生活的联系，提升数学的应企图识，培育应用数学的能力是现在数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐渐成为命题的热门，其主要种类有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各种应用问题时要注意掌握各种图形的特色及解法．例 13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点 A 处观察到对岸 C 点，测得∠ CAD＝45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得∠ CBA＝ 30°，请你依据这些数据算出河宽是多少 ?(结果保存小数点后两位 )例 14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的 A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立刻派三名救生员前往救援． 1 号救生员从 A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边(岸边能够当作是直线)向前跑到 C 点再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑300 米到离 B 点近来的 D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米／秒，在水中游泳的速度都是 2 米 /秒．若∠ BAD ＝ 45°，∠ BCD＝ 60°，三名救生员同时从 A 点出发，请说明谁先抵达救援地址B．(参照数据 2 ≈， 3≈ 1.7)例 15 如图 28－ 133 所示，某货船以 24 海里 /时的速度将一批重要物质从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在它的北偏东 60°方向上，该货船航行 30 分钟后抵达 B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在 C 岛周围 9 海里的地区内有暗礁，若货船持续向正东方向航行，该货船有无触礁危险 ?试说明原因．例 16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距 8 米的 A， B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为45°和 60°，且 A，B，F三点在一条直线上，若BE＝ 15 米，求这块广告牌的高度．( 3 ≈，结果保存整数 )例 17如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝，坝高 4 m，背水坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1：，求坝底宽BC.例 18如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m，某人在点A 处测得塔底 C 的仰角为20°，塔顶 D 的仰角为23°，求这人距CD 的水平距离 AB． (参照数据： sin 20°≈，cos 20°≈，tan 20°≈， sin 23°≈，cos23°≈，tan 23°≈ 0.424)二、规律方法专题 专题 5公式法【专题解读】本章的公式好多，娴熟掌握公式是解决问题的重点．1 sin2例 19 当 0°＜ α＜90°时，求的值．cos三、思想方法专题 专题 6类比思想【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程， 求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形， 所以对解直角三角形的观点的理解可类比解方程的观点． 我们能够像解方程 (组 )同样求直角三角形中的未知元素．例 20 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a＝ 5 ， b2＝15，解这个直角三角形．2．专题 7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数” ，二者奇妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．例 21 如图 28－ 137 所示，已知∠ α的终边 OP ⊥ AB ，直线 AB 的方程为 y ＝－3 x ＋ 3 ，则 cos α等于()33A ．12B ．2 2C ．33D ．专题 8分类议论思想【专题解读】当结果不可以确立，且有多种状况时，对每一种可能的状况都要进行议论．例 22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在 A 的北偏东45°方向上还有一个加油站 C， C 到高速公路的最短距离是30 km ， B， C 间的距离是60 km ．要经过 C 修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交错口P 到 B，C 的距离相等，求交错口P 与加油站 A 的距离． (结果可保留根号 )专题 9转变思想例 24如图28－140所示，A，B两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修建一条高速公路(即线段 AB)，经丈量，丛林保护中心P 在 A 城市的北偏东30°和 B 城市的北偏西45°的方向上．已知丛林保护区的范围在以P 点为圆心， 50 km为半径的圆形地区内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区．为何?(参考数据： 3 ≈， 2 ≈ 1.414)例 25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图 28－ 141 所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰巧四个极点都在横格线上．已知α＝ 36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题． (结果保存整数；参照数据： sin 36°≈ 0．6，cos 36°≈0． 8， tan 36°≈ 0.7)例 26 如图 28－ 142 所示，某居民楼 I 高 20 米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离 CM 为 2 米，窗户 CD 高 1． 8 米．现计划在 I 楼角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼全部住户的采光，新建Ⅱ楼最高只好盖多少米?。
初三数学三角函数知识点整理
初三数学三角函数知识点整理
三角函数知识：
（一）基本概念：
1. 三角函数：三角函数是一类变化比较复杂的可以描述出来的函数，它们可以用来描述各种具有特殊的几何关系的函数关系。
2. 周期性特征：三角函数都具有周期性的特征，正弦函数的周期长度为2π，余弦、正切函数的周期有π。
3. 区间形态特征：三角函数的话，一个比较方便的办法是先分析函数图像的区间变化形态，分析一下函数的一般变化规律，进而猜测出变化规律。
（二）三角函数求值
1. 小角度求值法：小角度求值法是把角极限值和角转换为弧度来进行求解，这种方法的优点是可以把角的大小任意进行变量，从而实现任意角度的三角函数求值。
2. 单位圆三角等价：单位圆三角等价是把圆上的位置用三角函数来表示，其中圆心为(0,0)，半径为1。
3. 唯一方程法：唯一方程法就是把三角函数问题变成一般代数方程来求解，这样就可以利用代数方法解决三角函数问题了。
（三）三角函数运算
1. 三角函数对数：三角函数对数可以得到两个三角函数的乘积，除法
或求幂的值。
2. 三角形关系：三角形关系是指把一个等腰三角形的一条边的长度按照给定的一定比例缩放得到另外两边的长度。
3. 余弦定理：余弦定理是指任意一个三角形的两边的长度乘积等于它的最短的三条边的三次方再乘以一个特别的常数。
九年级三角函数复习课件PPT(共19张PPT)
则a= 2 ，∠B= 60°，∠A= 30°.
5.如果 cos A 1 3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
6.直角三角形纸片的两直角边BC为6， AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
8.如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A 处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发， 2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．
谢 谢！
让我们共同进步
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直
仰角
线
俯角
水平线
视线
2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度，用字母i表
示，则 i h tan
l
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12B 3C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A 2．2 C ．1 D ．2D CB A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是（）A.23 cm2B.43 cm2C.63 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．2552．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC∆绕着点A逆时针旋转得到''BAC∆，则'tan B的值为（）A.41B.31C.21D.14．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan AOB∠的值是（）A．55 B.2 55 C.12 D. 2CABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ） A ．100m B ．3．150m D ．3m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α37AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°ONP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）αABCEF i FC =1:1045°31°CFD E5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B 3 C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A 2．2 C ．1 D ．2D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.11.414≈1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．3mC ．150mD ．3m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:1035m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°OMNP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABCF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
三角函数专题复习讲义
三角函数专题复习讲义1. 弧度与角度1.1 弧度的定义弧度（radian）是角度的一个度量单位。
它是一种以弧长为单位来衡量角度的方式。
在一个半径为1的圆中，角度θ对应的弧长与半径的比值就是角度θ的弧度表示，数学上用符号rad来表示。
1.2 角度与弧度的互相转换角度与弧度的转换关系可以用以下公式表示：- 弧度转角度：角度 = 弧度× (180/π)- 角度转弧度：弧度 = 角度× (π/180)其中π表示圆周率，约等于3.。
2. 三角函数2.1 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。
对于一个角度θ，其正弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的纵坐标。
2.2 余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中的一种，用cos表示。
对于一个角度θ，其余弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的横坐标。
2.3 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。
对于一个角度θ，其正切值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点纵坐标与横坐标的比值。
3. 三角函数的基本性质3.1 周期性三角函数具有周期性，即一个三角函数图像在一个周期内重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
3.2 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)，而正切函数既不是奇数也不是偶数函数。
3.3 反函数三角函数都有反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们可以用来求解给定三角函数的值的角度。
4. 三角函数的应用4.1 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，例如通过已知两个边长求解夹角、求解三角形的面积等。
4.2 物理应用正弦函数和余弦函数在物理学中有很多应用，例如描述质点的周期性运动、波动现象和振动等。
4.3 工程应用三角函数在工程学中也有许多应用，例如在三角测量、建筑设计和信号处理等方面的应用。
初三数学复习资料(三角函数)
初三数学复习资料（三角函数）一、知识要点(一)、三角函数1．定义：在Rt △ABC 中，∠C=90，则sinA= ;cosA= ;tanA= ;2.互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cos α;…3.三角函数值随角度变化的关系 (二)、解直角三角形1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系：222c b a =+②角的关系：A+B=90° ③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
（三）、对实际问题的处理1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：（坡比）二、练习题1．在△ABC 中，AB=2，，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______． 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 4．在△ABC 中，若，AC=3，则cosA=________． 5、若α为锐角，化简αα2sin sin 21+-＝ 。
6、计算020*******sin 21cot 90cos 48tan 42tan 27sin +⋅-⋅+＝ 。
7、已知，在△ABC 中，∠A ＝600，∠B ＝450，AC ＝2，则AB 的长为 。
8.如图31—3—1，大坝横截面是梯形ABCD ，CD ＝3 m, AD ＝6 m. 坝高是3 m ，BC 坡的坡度i ＝1:3, 则坡角∠A ＝__________，坝底宽AB ＝_____________。
α h i i=h/l=tg α9.在△ABC 中,若︱sinA-21︱+(23-cosB)2=0, 则∠C=___________________.10.若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA-3=0，则∠A=__________________. 11. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子不成立的是（ ）A ．222a cb =- B.sin aA c=C.tan a b A =D.cos c b B = 12.在Rt △ABC 中,各边都扩大四倍，则锐角A 的各三角函数值 （ ） A.没有变化 B.分别扩大4倍 C.分别缩小到原来的41D.不能确定 13.已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）A 、600＜α＜900B 、00＜α＜600C 、300＜α＜900D 、00＜α＜30014、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是（ ）A 、200B 、300C 、400D 、50015、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ）A 、βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、βcos 100米 D 、βcos 100米 16、已知m =+ααc o s s i n ，n =⋅ααcos sin ，则m 与n 的关系是（ ）A 、n m =B 、12+=n mC 、122+=n mD 、n m 212-= 17、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022=--b ab a ，则tanA 等于（ ） A 、1 B 、251+ C 、251- D 、251± 18、△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，试确定△ABC 的形状。
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90则∠A 的正弦可表示为：sinA0, ∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA，它们称为∠ A 的锐角三角函数①( )sin A ＝______，斜边②( )cos A ＝______，斜边③( )tan A ＝______，A的邻边【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。
2、取值范围<sinA< ，<cosA< ，tanA>例1. 锐角三角函数求值：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM 中，∠TMN ＝90°，MR⊥TN 于R 点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR 、tan∠TMR．2．已知：如图，⊙O 的半径OA＝16cm，OC⊥AB 于C 点，sin AOC 求：AB 及OC 的长．3 4类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°．D 是AC 边上一点，DE⊥AB 于E 点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cosB、tanB．2．如图，直径为10 的⊙ A 经过点C (0，5) 和点O (0，0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则c os∠OBC 的值为（）A．y 12B．32C．35D．45CAxO DB第8题图35.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为2，AC 2 ，则sin B 的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片A BCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB 8 ，BC 10 ，AB=8,则t an∠EFC 的值为()A DEＡ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45BFC7. 如图6，在等腰直角三角形ABC 中， C 90 ，AC 6 ，D为A C 上一点，若tan1DBA ，则A D 的长为( )5A． 2 B ．2 C．1 D ．2 2类型三. 化斜三角形为直角三角形8.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2 ，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC 的面积是（）2 B.43 cm2A.2 3 cm2 D.12 cm2C.6 3 cm类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）12 A．B．55C．10102 55D． ACO BA B2．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC'B'，则tan B' 的值为（）A. 14B.13C.12D. 14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则tan∠AOB 的值是（）A ．55B.2 5512C.D. 2知识点二：特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．29.计算：tan 60 sin 45 2 cos30 －1+(2 π－1)0－10.计算：333tan30 －°tan45 °3．计算：122 cos60 sin 4532tan 30 4．计算：t an 45 sin 301 cos60例2．求适合下列条件的锐角．(1)1cos (2)23tan (3)32sin 2 (4) 6 cos( 16 ) 3 32（）已知为锐角，且tan( 30 ) 3，求tan 的值1 22（）在ABC 中，cos A (sin B ) 0 ，A， B 都是锐角，求 C 的度数2 2例3.三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 12，那么∠A 的取值范围是A. 0 <°A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °4. 已知 A 为锐角，且0cos A sin 30 ，则（）A. 0 <°A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E，BE＝16cm，sin A 1213求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC BC 3 ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD 和tan∠BAD．11. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD＝90°，∠CAD 、tan∠CAD．1tan B ，求：sin∠CAD、cos3312. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sin B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6 ，求tan ∠BAD5的值．AB D C5（.本小题 5 分）如图，△ABC 中，∠A=30°，AC 4 3．求AB 的长.tan3B ，2CAB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐角之间的关系：__________________________________ ．③边与角之间的关系：sin A cos B______；cos A sin B _______；1 1tan A _____；tan Btan B tan A______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于D．2＝_________；AC2＝_________； CD2＝_________；AC·BC＝_________． BC例1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°．(1)已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠A、∠B，c；(2)已知：2sin A ，c 6 ，求a、b；3（3）．已知：△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD为100 米，点 A 、D、B 在同一直线上，则A B 两点的距离是（）A ．200 米B．200 米C．220 米D．100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在A北偏西31 的方向上，沿河岸向北前行20 米到达B 处，测得C 在B北偏西45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31 °≈35，sin31 °≈12）图133.如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3 3 米，小聪身高AB 为1.7 米，求这棵树的高度.CADB E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C，从C 处测得树梢A的仰角为45°，沿BC 方向后退10 米到点D，再次测得点 A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1 米．参考数据： 2 1.414， 3 1.732)A45°30°BCD5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为30 米．这时，一辆测点设知识检测车速．如图，观为8 秒，∠BAC=75°．小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间（1）求B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin75 °≈0.96，59cos75°≈0.258，8 tan75°≈ 3.73，23 ≈ 1.73，260 千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角13.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1： 3 ，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB 的长度是（）A．100m B．100 3 m C．150m D．50 3 m14.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i=1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知tanα= CD =1.6m，请帮小明计算出旗杆AB 的高度. 37，升旗台高AF =1m，小明身高BA i FC = 1:10αD FC E15.如图，有两条公路OM，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80 米处有一所学校A，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50 米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18 千米/时.(1)求对学校 A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校 A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪影响的时间.NP30°O M80米 A16.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4 米，AB=6 米，中间平台宽度DE =1 米，EN、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC 于F，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1 米，参考数据：sin31 °≈0.，52cos31°≈0.8，6tan31°≈0.）60CE D 45° F31°A N MB5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
九年级数学三角函数全章知识点整理
一、角度与弧度制度量1.角度的定义与表示方法：度、分、秒2.角度的换算：度与弧度的换算3.弧度制度量的定义与表示方法4.弧度与角度之间的换算二、三角函数的定义与基本性质1.正弦函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）2.余弦函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）3.正切函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）4.函数值的范围与周期性5.三角函数的基本关系式和恒等式6.正弦、余弦的诱导公式和和差公式7.三角函数的同角关系式三、常用角的三角函数值1.0度、30度、45度、60度和90度的三角函数值2.零点的三角函数值3.常用角的三角函数值的对称性四、图像与性质1.角度对应的弧度的图像与性质2.角度对应的三角函数图像与性质3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性4.幅度与峰值五、三角函数的性质与变换1. 函数y=A*sin(Bx+C)+D和y=A*cos(Bx+C)+D的基本性质和变换2.三角函数的峰值、最小值和最大值3.三角函数图像的平移、伸缩、翻转等变换4.三角函数的同位角恒等式与诱导公式的应用5.反三角函数的性质与定义六、三角函数的应用1.正弦定理与余弦定理：直角三角形、任意三角形的应用2.解三角形的基本步骤和技巧3.短边与短边之间的关系（余弦定理）4.弧度与扇形面积、扇形弧长的关系5.三角函数在测量、工程设计等方面的应用七、用三角函数解直角三角形1.斜边和斜边所对应的角的关系2.已知两边求角度3.已知两边求第三边4.解一般直角三角形问题的基本步骤八、平面向量与复数1.平面向量的定义、表示方法和性质2.平面向量的共线与平行3.向量在平面内的平移九、极坐标与复数1.平面极坐标系的定义与性质2.复数的定义与基本性质3.复数运算：加法、减法、乘法、除法4.复数的共轭、模和辐角5.复数的指数形式与三角形式以上为九年级数学三角函数全章的知识点整理，其中包括角度与弧度制度量、三角函数的定义与基本性质、常用角的三角函数值、图像与性质、三角函数的性质与变换、三角函数的应用、用三角函数解直角三角形、平面向量与复数、极坐标与复数等内容，共计1200字以上。
数学初三三角函数讲解
数学初三三角函数讲解三角函数是数学中一个非常重要的概念，它主要用来描述角度和边长之间的关系。
在初三数学中，三角函数的学习是一个重要部分。
一、三角函数的定义1. 锐角三角函数：在直角三角形中，锐角三角函数有三种基本形式，分别是正弦、余弦和正切。
正弦（sin）定义为对边与斜边的比值，余弦（cos）定义为邻边与斜边的比值，正切（tan）定义为对边与邻边的比值。
2. 特殊角三角函数：对于30度、45度和60度等特殊角度，三角函数有特定的值。
例如，sin30度等于1/2，cos30度等于√3/2，tan30度等于√3/3。
二、三角函数的性质和关系1. 互余角关系：如果两个角的和为90度，则它们的正弦和余弦、正切和余切都互为反函数。
例如，如果一个角为α，则90度-α的正弦等于α的余弦，正切等于余切。
2. 平方关系：在一个直角三角形中，一个角的正弦、余弦的平方和等于1，即sin^2α+cos^2α=1。
3. 积的关系：正弦和余弦的乘积等于两边的乘积除以斜边，即si nαcosα=sinα×cosα=1/2×sin2α。
三、三角函数的计算和应用1. 计算方法：对于任意角度的三角函数，可以通过查表或使用计算器来得到其值。
对于一些特殊角度，可以直接记忆其三角函数值。
2. 应用：三角函数在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在测量、工程、物理和天文等领域中，经常需要用到三角函数来解决各种问题。
以上是数学初三三角函数的一些讲解，希望对你有所帮助。
如需更详细的资料或学习视频等其他形式的学习资料，建议向数学老师咨询或者查看数学教材配套的学习资料。
中考复习初中数学三角函数复习重点整理
中考复习初中数学三角函数复习重点整理数学三角函数是中学数学中一个较为重要的内容，对于中考来说，复习三角函数是非常重要的。
下面是初中数学三角函数的复习重点整理。
一、基本概念1. 角度与弧度制：角度制是我们常用的度数表示方法，弧度制是更精确的表示方法，可以通过角度制与弧度制的换算进行转化。
2. 正弦、余弦和正切：正弦是一个角的对边与斜边的比值，余弦是一个角的邻边与斜边的比值，正切是一个角的对边与邻边的比值。
3. 特殊角的三角函数值：例如，30°的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。
二、基本关系1. 三角函数的正负：在不同象限中，正弦、余弦和正切的正负情况是不同的，要根据象限关系来确定正负值。
2. 三角函数的基本关系：在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切之间存在一定的关系，可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理进行推导和计算。
三、诱导公式1. 正弦和余弦的诱导公式：通过三角函数的基本关系，可以得到正弦和余弦的诱导公式，例如，sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
2. 正切的诱导公式：通过正切的定义和基本关系，可以得到正切的诱导公式，例如，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。
四、同角三角函数间的关系1. 同角三角函数的关系：在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切之间存在一定的关系，例如，tanα=sinα/cosα。
2. 同角三角函数的平方和关系：例如，sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，等等。
五、解三角形问题1. 利用正弦定理和余弦定理解三角形问题：通过正弦定理和余弦定理，可以求解各种类型的三角形问题，例如，已知两边和夹角，求第三边或第三角；已知两边和一个对角，求其他未知量等等。
六、图象与性质1. 正弦曲线、余弦曲线和正切曲线：三角函数的图象具有一定的特点，通过观察和探究，可以得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的性质。
三角函数经典讲义全集
三角函数专题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）终边与终边相同( 的终边在终边所在射线上) 2k (k Z) ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25 ；536）（2）终边与终边共线( 的终边在终边所在直线上) k (k Z) .（3）终边与终边关于x 轴对称2k (k Z) .（4）终边与终边关于y 轴对称2k (k Z) .（5）终边与终边关于原点对称2k (k Z).（6）终边在x 轴上的角可表示为：k , k Z；终边在y 轴上的角可表示为：kk , k Z；终边在坐标轴上的角可表示为：,k Z . 如的终边与2 2 6的终边关于直线y x对称，则＝____________。
（答：2k , k Z ）34、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若是第二象限角，则是第22_____象限角（答：一、三）5. 弧长公式：l | | R，扇形面积公式： 1 1 | |2S lR R ，1 弧度(1rad) 57.3 . 如已知扇形2 2AOB 的周长是6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。
（答：2 2cm ）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x, y) 是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是y x2 2 0r x y ，那么sin ,cosr ry，tan , x 0x，cotxy( y 0) ，sec rxrx 0 ，csc y 0y。
九年级数学《三角函数》讲义
老师姓名学生姓名上课时间学科名称数学年级九年级备注【课题名称】九年级数学《三角函数》讲义【本章要点】1.了解正切、正弦、余弦的含义含义；2.掌握300、450、600等特殊角的三角函数值，并且会做相关的计算题；3.知道解直角三角形的思路；4.会灵活运用三角函数解决四类基本应用题。
【典型例题】例题1：如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A．B．C．2D．例题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．例题3：已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．例题4：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．（例题5）例题5：如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为m（结果保留根号）．例题6：如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）例题7：如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）例题8：如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．例题9：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高m（结果保留根号）．例题10：计算sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【综合练习】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．2.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=．4．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为．5．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为．6．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．7.某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE=90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（第8题）8．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．9．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）10.计算：tan30°+﹣（π﹣3.14）0．11．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？12．计算：﹣（﹣4）﹣1+﹣2cos30°．13.某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）。
初三讲义-三角函数及解直角三角形复习一教师版
三角函数及解直角三角形复习一学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 课程主题： 三角函数三角函数及解直角三角形复习一授课时间：学习目标掌握解各类型直角三角形教学内容【内容回顾】常见三角函数的数值 【知识梳理】知识点1： 锐角三角比概念在R t △ABC 中，sin cos A A A A ∠∠==的对边的邻边，斜边斜边，tan cot A A A A A A ∠∠==∠∠的对边的邻边，的邻边的对边定义中需注意：1. sinA,cosA,tanA,cotA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2. sinA,cosA,tanA,cotA 是一个比值（数值）.3. sinA,cosA,tanA,cotA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.知识点2：几个特殊角的锐角三角比30°45°60°sin α1222 32 cos α 3222 12tan α 331 3 cot a3133知识点3： 锐角三角比随角度的变化规律当角度在0°~ 90°间变化时，正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦、余切值随角度的增大而减小知识点4：同角三角比的关系22sin sin cos 1,tan cot 1,tan cos ααααααα+===知识点5：解直角三角形及其应用 1. 直角三角形角的关系∠A +∠B=90° 2. 直角三角形边的关系222a b c += 3. 直角三角形边角的关系tan cot ,tan cot a bA B B A b a====4. 解直角三角形的基本类型及解法：在R t △ABC 中，∠C=90° 类型 已知条件 图形 解法 两边两直角边,a b(1) 22c a b =+(2)由tan aA b=求出∠A (3) ∠B=90°-∠A一直角边a ，斜边c(1) 22b c a =-(2)由sin aA c=求出∠A (3) ∠B=90°-∠A一边一锐角一直角边a ,锐角A(1) ∠B=90°-∠A (2) cot b a A =(3) sin ac A =斜边c, 锐角A(1) ∠B=90°-∠A (2) sin a c A = (3) cos b c A =知识点一：三角函数 【例题精讲】基础题型一：锐角三角函数的概念.【例1】(2015浙江丽水)如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示αcos 的值，错误．．的是（ ）A ．BC BDB ．AB BCC ．AC AD D ．ACCD【分析】由图可知∠α=∠ACD ，所以cos α=cos ∠ACD ，∠α是RT △ABC 、△BCD 的内角，∠ACD 是RT △ACD 的内角，共有三种表示方法，故可做出判断． 【解析】根据ACCDACD AB BC BC BD =∠===cos cos α，所以选项A 、B 、D 正确，选项C 错误． 故选C ．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【点评】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决． 【变式】（2016•怀化）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【分析】根据三角函数的定义求得BC 和AB 的比值，设出BC 、AB ，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，又∵AC2+BC2=AB2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），则BC=4x=8cm，故选：C．【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．基础题型二：特殊角的三角函数值【例2】（2016•天津）sin60°的值等于（）A． B． C． D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：sin60°=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．【变式】（2016•玉林）sin30°=（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：sin30°=．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．基础题型三：解直角三角形【例3】1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=0.5A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．【变式】如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=【答案】26.【解析】 在Rt△ABC 中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4， ∴AB=BC•sin∠C=4×22=22． 在Rt△ABC 中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=22， ∴BD=2226tan 3033AB ==︒.基础题型四：方位角【例4】（2015江苏苏州）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）A ．4kmB ．()22+kmC ．22kmD ．()42-km 【答案】B【解析】根据题意中方位角的特点，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，由∠CAB=45°，AB=2km ，可知BE=2km ，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22.5°，因此CB 是∠ACD 的角平分线，根据角平分线的性质可知BD=BE=2km ，因此CD=AD=AB+BD=（2+2）km. 故选B【点评】本题考查了方位角的问题，能正确地识图，选择知识点是解题的关键，属中等题.【变式】（2013江苏苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【思路分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=x km，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1 km，再解Rt△BCF，得出BC= BF=km．【解】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=x km．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°－45°=45°，∴BD=PD=x km．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°－60°=30°，∴AD=PD=x km．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=－1，∴点P到海岸线l的距离为（－1）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴点C与点B之间的距离为km．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【易错警示】不会作辅助线，构造直角三角形，无法解决问题．基础题型五：俯角和仰角【例5】盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB ．（3取1.73，结果精确到0.1m ）【答案】195.3m. 【解析】设AG=x ， 在Rt△AFG 中， ∵tan∠AFG=AGFG， ∴3xFG =， 在Rt△ACG 中， ∵tan∠ACG=AG CG，∴3tan 30xCG x ==︒，∴32243xx -=， 解得：x≈193.8．则AB=193.8+1.5=195.3（米）． 答：电视塔的高度AB 约为195.3米． 【变式】（2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D 处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E 点，在点E 处测得雕像顶端A 的仰角为60°，求雕像AB 的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．基础题型六：坡度和坡角【例6】（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．【变式】（2016·重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG 是解决问题的关键．【课堂练习】1．（2016•绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250米 B．250米 C．米 D．500米【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题．【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，∵AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∴AB=AO=250米．故选A．【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型．2．（2016•泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，∴PA=PN•sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）故选：B．【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．3．（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．故选A．【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．4.（2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得到∠B=α=43°，然后利用∠B的正弦计算AB的长．【解答】解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．【课后巩固】一、选择题1.（2016•无锡）sin30°的值为（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．【解答】解：sin30°=，故选A．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值分别等于多少．2.（2016•永州）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故选D．【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．3．（2016•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4.（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．5．（2016•菏泽）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△B A C=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△B A C：S△A′B′C′=25：9．故选A．6．（2016•苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC 即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故选B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．7．（2016•聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）A．169米 B．204米 C．240米 D．407米【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，在Rt△BCO 中，求得OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，在Rt△BCO中，OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m，∴A0=AD﹣OD=CD•tan33°﹣CD•tan21°=55m，∴CD==≈204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．故选B．【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．二、填空题：8.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米．【答案】26.【解析】如图：由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1∶2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i=AE∶BE =1∶2.4 ，即10∶BE =1∶2.4，∴BE=24.∴在Rt△ABE中，2222=+=+=（米）．AB AE BE1024269. （2016·青海西宁·2分）⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为75°或15°．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．【解答】解：有两种情况：①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；故答案为：75°或15°．【预习】。
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济川中学初三数学锐角三角函数复习讲义一．基础训练：1.△ABC 中a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA=aB ．bcosB=cC ．atanA=bD ．ctanB=b2.如图，从热气球C 上测定建筑物A 、B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD 为150米，且点A 、D 、B 在同一直线上，建筑物A 、B 间的距离为（ ） A ． 150米 B ． 180米 C ． 200米 D ． 220米3.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为第2题 第3题 第4题 第5题 4.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．5.如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan∠BCD 的值是6.如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P•是AB•延长线上一点，•BP=2cm ，则tan∠OPA 等于7..计算： （1）-3－2+(2π－1)0－33tan30°－cos45° （2）00000245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +⋅+8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A 到斜坡底C 的水平距离为8. 8m ．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m ，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m ．已知斜坡CD 的坡比i=1：3，求树高AB 。
（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）C B AABC30189.如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12，sinB=0.8 求：（1）线段DC 的长； （2）tan ∠EDC 的值。
二．典型例题例1：如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别是小正方形的顶点，在△ABC 与 △DEF 中，下列结论成立的是（ ） A ．∠BAC=∠EDF B ．∠DFE=∠ACB C ．∠ACB=∠EDF D ．以上都不对 例2.（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA ·tanB= sinA cosBcosA sinB sin 2A+cos 2A=（2）已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么∠A 的范围是（3）若α为锐角，且cos α=,则m 的取值范围是 例3：水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图9所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．例4：如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=AB ，用尺规作图，作一个角等于22.5°(不写作法，保留作图痕迹)，并求tan22.5°的准确值。
例5：求证：三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半；EDC BAABC A B CD E例6：如图，在航线的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）二．课堂作业1.已知锐角α的正弦值是方程(21)(3)0x x --=的根，则∠α的正弦值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3 D ．3002.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m3.如图，2014年12月10日，中国渔民在中国钓鱼岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60o方向的B 地，有一艘日本军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民。
此时，C 地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）4.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集 热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架 DE=76厘米，∠CED=60°. (1)求垂直支架CD 的长度。
（结果保留根号） （2）求水箱半径OD 的长度。
（结果保留根号）北东CDB E Al60° 76°课后作业：1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中一定正确的是（ ） (A)sinA ＝sinB (B)sinA ＝cosB (C)tanA ＝tanB (D) cosA ＝cosB2.表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分。
如图，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分？ ( )A ．3322－B ． ＋16C ．18D ．193.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距m.4.如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =135°，BC 的长约是25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．5、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE=DF=14BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan∠ABE=_________．第2题 第3题 第4题 第5题6、等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.为了迎接青奥，社区组织奥林匹克会旗传递仪式．需在会场上悬挂奥林匹克会旗，已知矩形DCFE 的两边DE 、DC 长分别为1.6m 、1.2 m ．旗杆DB 的长度为2 m ，DB 与墙面AB 的夹角∠DBG 为35°．当会旗展开时如图 （1）求DF 的长；（2）求E 点离墙面AB 距离．（结果精确到0.1 m.参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）30°60°北A B C 135°AB CD hE FCDAB8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）的仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点的距离为18.6m，自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度；（tan35°≈0.7，结果保留整数）（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据．③请说出你的测量方案9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F,过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）若OD=2，OP=8，求EF的长；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．聚焦中考1.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF 交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．2.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm．(1)求证：AC∥BD；(2)求cos∠OEF值(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由。
（参考数据：sin61.90.882,cos61.90.471,tan28.10.533︒≈︒≈︒≈）命题：许小玲审核：顾玉先D BFEOC A。