八年级数学下册 第17章勾股定理学稿 沪科版
(精品教案)沪科版《勾股定理》讲课稿(精选6篇)
（精品教案）沪科版《勾股定理》讲课稿（精选6篇）帮大伙儿整理的沪科版《勾股定理》讲课稿（精选6篇），欢迎大伙儿借鉴与参考，希翼对大伙儿有所帮助。
勾股定理是学生在差不多掌握了直角三角形的有关性质的基础上举行学习的，它是直角三角形的一条很重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一具三角形三条边之间的数量关系，它能够解决直角三角形中的计算咨询题，是解直角三角形的要紧依照之一，在实际日子中用途非常大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析咨询题的能力，经过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；经过联系和比较，明白勾股定理，以利于正确的举行运用。
据此，制定教学目标如下：1、明白并掌握勾股定理及其证明。
2、可以灵便地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观看、比较、分析、推理的能力。
4、经过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
教学重点：勾股定理的证明和应用。
教学难点：勾股定理的证明。
教法和学法是体如今整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学日子动，让学生主动参与学习全过程。
2、切实体现学生的主体地位，让学生经过观看、分析、讨论、操作、归纳，明白定理，提高学生动手操作能力，以及分析咨询题和解决咨询题的能力。
3、经过演示实物，引导学生观看、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感觉，从而激发学生钻研新知的欲望。
本节内容的教学要紧体如今学生动手、动脑方面，依照学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公讲，把一根直尺折成直角，两端连接得到一具直角三角形。
假如勾是3，股是4，这么弦等于5。
如此引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是别是所有的直角三角形都有那个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
沪科版八年级数学下册勾股定理教案
第1课时勾股定理1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；（重点）2.掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.（重点）优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形. 各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧•你能说说其中的奥秘吗？、合作探究1ab× 4= c2+ qab × 4, ∙a2+ b2= c2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理.探究点二：勾股定理【类型一】直接利用勾股定理求长度（3如图，已知在厶ABC中，∠ ACB =90°,AB= 5cm, BC = 3cm, CD 丄AB 交AB于点D ,求CD的长.解析：先运用勾股定理求出AC的长，1 1再根据S SBC= ^AB ∙CD = 2AC ∙BC,求出CD的长.解：•••在厶ABC 中，∠ ACB = 90°, AB=5cm, BC = 3cm,∙∙由勾股定理得AC2= AB2- BC2=52—32= 42,∙∙∙AC = 4cm.又v SΔ们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、C的正方形，将4 × 3 12 12= = 三(Cm),故CD 的长是TTcm.5 5 5它们像下图所示拼成两个正方形•求证：a2+ b2= c2.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a + b,因此它们的面积相等. 我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a+b,∙∙∙它们的面积相等.左边的正方形面积可表示为a2+ b2+ 1ab × 4,右边的正一1 1方形面积可表示为c2+ ?ab × 4. V a2+ b2+ 1解析：因为AE =BE,∠ E = 90°,所1 1以S∆ABE= 2AE ∙BE= TAE2•又因为AE2+ BE2探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它1 1ABC = ^AB ∙CD = 2AC ∙BC,AC ∙BCAB边上高的积，它常与勾股定理联合使用.【类型二】利用勾股定理求面积如图，以Rt△ ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中厶ABE的面积为__________________ ,阴如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态影部分的面积为 _____________、情境导入=AB2,所以2AE2= AB2,所以S ABE=推219 1=-× 32= -；同理可得AHC + S A BCF= 1AC24 4 41+ -BC2又因为AC2+ BC2= AB2,所以阴影4IIII部分的面积为4AB2+ 4A B2= -AB2= - × 32=9 9 92■•故分别填4，夕方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系.【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )A. '5+ 1 B . — 5 + 1C. . 5 —1D. '5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A 点的坐标.图中的直角三角形的两直角边为1 和2,∙∙∙斜边长为,；12+ 22= ∕5,Λ—1 到A的距离是.5•那么点A所表示的数为■5 —1•故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离.【类型四】利用勾股定理证明等式D如图，已知AD是厶ABC的中线.求证：AB 2 + AC2= 2(AD2+ CD2).解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE丄BC交BC于点〔.在厶ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明.证明：如图，过点A作AE丄BC交BC 于点E.在Rt△ ABE、Rt△ ACE 和Rt△ ADE 中，AB2= AE2+ BE2, AC2= AE2+ CE2, AE2 =AD2—ED2,∙∙∙AB2+ AC2= (AE2+ BE2) + (AE2+ CE2) = 2(AD2—ED2) + (DB —DE)2+ (DC + DE)2= 2AD2—2ED2+ DB2—2DB DE + DE2+ DC2+ 2DC DE + DE2= 2AD2+ DB2+ DC2+ 2DE(DC —DB).又τ AD 是厶ABC 的中线，∙BD = CD , ∙AB2+ AC2= 2AD2 + 2DC2=2(AD2+ CD2).方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来•一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题.的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A',且BC =3 ,则AM的长是( )D . 2.5解析：连接BM , MB，•设AM = X,在Rt △ ABM 中，AB2+ AM2= BM2.在Rt △ MDB '中，B，M2= MD2+ DB, ∙.∙ MB = MB',：AB2+ AM2= BM2= B，M2= MD2+ DB，2,即P 92+ X2= (9 —X)2 + (9 —3)2,解得X =2, 即AM = 2•故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为X,然后用含有X的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用B在厶ABC 中，AB = 20, AC = 15, AD为BC边上的高，且AD = 12,求厶ABC 的周长.解析：应考虑高AD在厶ABC内和△ ABC外的两种情形.解：当高AD在厶ABC内部时，如图①•在Rt△ ABD中，由勾股定理，得BD2= AB2【类型五】的有关计算运用勾股定理解决折叠中如图，四边形ABCD是边长为9—AD2 = 202— 122= 162,∙∙∙ BD = 16.在RtA ACD中，由勾股定理，得CD2= AC2—AD2 =152—122= 81,∙∙∙CD = 9.∙∙∙BC= BD + CD =25 ,•••△ ABC 的周长为25+ 20+ 15= 60;当高AD在厶ABC外部时，如图②侗理可得BD = 16，CD = 9.∙∙∙ BC = BD —CD = 7, • △ ABC的周长为7+ 20+ 15= 42.综上所述，△ ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在△ ABC内的情形，忽视高AD在厶ABC外的情形.学园地”公众号各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧~。
沪科版八年级下册数学：18.1 勾股定理 课件(共16张PPT)
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90° a2+b2=c2
算一算 1.求下列直角三角形中未知边的长:
比
12
一
比8
17
看
看
x
谁
4x x
3
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
求一求
例1 在Rt△ABC中,∠Ｃ=90°.边BC,AC,AB
所对的边分别是a,b,c.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
s2 b
s3 c
a s1
割补 法
图1
图2
面积 关系
用三边 表示
直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.
A
s3
s1 s2
s1 b
s3 c
S1 S2 S3
112 9 16 25
S1+S2=S3 a2+b2=c2
a
C
s2 B
已知：如图在Rt△ABC中，
∠C=90°.AB=c割,BC补=a,AC
=b.
法
求证：a2+b2=c2
s3 s1
s2
S1 S2 S3
图1 1
1
2
图2 9
16 25
面积 关系
用三边 表示
S1+S2=S3 a2+b2=c2
s1 b
s3 c
a s2
割补 法
c b
a
Eb ac O bc
等面积法
Ra H
Eb
c ba c O
c
Q ab
c
a H
cb
Q ca
Fa Pb G
一 另一 方 方 面 面 ： ： S正 方 形 O PQ R=c2
沪科版数学八年级下册18.1《勾股定理》课件(共16张PPT)
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
小结
数学知识：
勾股定理
勾股定理的简单计算及运用
观 经历过程： 察
B
C
A
勾 股 定 理
一、情景引入
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电 线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线 杆折断之前有多高？
B
C
12米
A
电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长
SA+SB=SC C
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
a 勾
股 b 弦 c
a b c
2
2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？
沪科版数学八年级下册18.1《勾股定理》教学课件(共37张PPT)
美国总统证法
那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3 和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔 德答道：“是5呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5和7，那么这 个直角三角形的斜边长又是多少？”加 菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的 平方一定等于5的平方加上7的平方．” 小男孩说：“先生，你能说出其中的道 理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释 了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散 步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出 的难题。他经过反复思考与演算，终于 弄清了其中的道理，并给出了简洁的证 明方法。
A
13
?
C
12
B
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续 偶数,则它的三边长分别为 ( B )
A 2、4、6 Ｃ 4、 6、 8
Ｂ 6、8、10
Ｄ 8、10、12
试一试:
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则 BC的长为 B 4 C 4
5或
7
.
B
3
A
A
3
C
2.求下列直角三角形中未知边的长:
a c b
2
C
c2－b2
2
2
=c2-a2 b= c2-a2
2
a
B
c a b
勾股小常识：勾股数
1.基本勾股数如：大家一定要熟记
3、、 45
1、 1、 2
5、 12、 13
7、 24、 25
1、3、 2
2.如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整 数）也是一组勾股数， 如： 6、8、10 ； 9、12、15； 15、36、39……
方法 小结
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
沪科版数学八年级下册1勾股定理课件(2)
a2
c2 c
b
b2
ab
a
b
a2 + b2 = c2
练一练
19.1 勾股定理
——————————————
1.判断正误： 在△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）若a=3, b=4, 则c=5
（ ）×
（2）若∠B=900，a=3, b=4, 则c=5 （ ）
×
练一练
19.1 勾股定理
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
学以致用
19.1 勾股定理
——————————————
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求：
⑴已知： a＝3， b＝4，求c
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab
——————————————
谢谢
F
A
D
C
B
E
例题分析
19.1 勾股定理
——————————————
已知:△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16.
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
A
17 ?
B8 D C
拓展延伸
19.1 勾股定理
A ——————————————
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17，
BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝
赵爽证法
19.1 勾股定理
——————————————
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 整体角度
也可以表示为 4• ab +(b- a)2 局部角度
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(一)课件
△ 17．如下图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E是
BC上的一点，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF 的延长线于点D. (1)求证：AE＝CD； (1)∵DB⊥CB，CF⊥AE，
∴∠CBD＝∠AFC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCD＋∠ACF＝90°， ∠CAE＋∠ACF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD又∠ACE＝∠CBD，
∴∠B＝∠ACB＝70°，∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，∴∠DCB＝20°；
(2)∵CD⊥AB，AB＝AC＝10，CD＝8，
∴AD＝
＝6，∴BD＝10－6＝4.
第十二页，共十九页。
课后巩固
(gǒnggù)
△ 14．如下图，Rt ABC中，∠C＝90°，AD平分
∠CAB，DE⊥AB于E，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)若AC＝6，AB＝10，求BD的长．
(1)∵AD平分(píngfēn)∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE＝DC＝3.
△ (2)在Rt ABC中，由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ 得 lǐ)
BC2＝AB2－AC2＝64
∴BC＝8
∴BD＝BC－CD＝5.
第十三页，共十九页。
b＝_____8_____．
第九页，共十九页。
课后巩固(gǒnggù)
8．如下图，写出下列图形阴影部分的面积(将结 果填在相应的横线上)：
(1)
(2)
(1)S＝____2__5____；
(2)S＝____4_π_____．
9．点P(6，－8)到原点的距离( jùlí)是____1__0____．
第十页，共十九页。
课后巩固(gǒnggù)
沪科版八年级数学下册《【说课稿】 认识勾股定理》
沪科版八年级数学下册说课稿勾股定理各位评委老师大家好：今天我说课的课题是《勾股定理》，下面就教材分析、教学方法选择、学法指导、教学程序设计等四个方面，谈谈我对本课题的理解和认识。
一、教材分析（一）、教材地位作用这节课是沪科版八年级下册第十八章第一节第一课时。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。
（二）、教学目标(八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。
因此，我制定如下教学目标) 1、知识与技能目标（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用；（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
2、过程与方法目标在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。
（2）利用远程教育资源突出介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（3）培养数形结合的思想。
（三）、教学重点及难点【教学重点】勾股定理的证明与运用【教学难点】用面积法和拼图法等方法证明勾股定理【难点成因】对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难二、教学方法及教学手段的选择针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课选择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题,引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代精神。
利用勾股定理解三角形—2023-2024学年八年级数学下册(沪科版)(解析版)
利用勾股定理解三角形 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．【典例1】如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∠CBE =45°，BE 分别交AC 、AD 于E 、F ．（1）如图1，AB =12，BC =8，求AF 的长度；（2）如图2，取BF 中点G ，若BF 2+EF 2=CG 2，求证：AF =BC ；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DN ⊥AC 于点N ，并延长ND 交AB 延长线于点M ，请直接写出BMDM 的值． ◆知识点总结 ◆思维方法◆典例分析（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD=4，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF=4，最后由线段的差可得结论；（2）连接CF，由题意可知AD是BC的垂直平分线，可知CF=BF，∠FCB=∠FBC=45°，可得CF⊥EG，由勾股定理可得CF2+FG2=CG2，结合BF2+EF2=CG2，可得EF=FG，由G是BF的中点，可知EF=FG= BG，可得CF是EG的垂直平分线，易知CE=CG，得∠CEG=∠CGE，则∠AEF=∠CGB，由∠FDB=90°，∠FBD=45°，可知∠AFE=∠DFB=45°，继而可得∠AFE=∠CBG，利用ASA即可证明△AEF≌△CGB，即可证得结论；（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，利用等腰三角形的性质可得△NCD≌△QBD(AAS)，易知CN=BQ，DN=DQ=DH，由S△DBM=12BM⋅DH=12DM⋅BQ，得BMDM=CNDN，结合（2）中结论，可设EF=FG=BG=a，由勾股定理可得AF=BC=2√2a，CD=BD=12BC=√2a，AE=CG=CE=√5a，AC=2√5a，AD=3√2a，由S△ABC=12AC⋅NQ=12BC⋅AD可得NQ=6√55a，进而求得DN，CN的长即可求解．（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=8，∴BD=CD=12BC=4，∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：AD=√AB2−BD2=√122−42=√144−16=√128=8√2，∵∠CBE=45°，∠BDF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=BD=4，∴AF=AD−DF=8√2−4；（2）证明：连接CF，∴CD=BD，则AD是BC的垂直平分线，∴CF=BF，∴∠FCB=∠FBC=45°，∴∠CFB=180°−∠FCB−∠FBC=90°，即CF⊥EG，∠CFE=180°−∠CFB=90°，Rt△CFG中，CF2+FG2=CG2，∵BF2+EF2=CG2，CF=BF，∴EF2=FG2，则EF=FG，∵G是BF的中点，∴FG=BG，则EF=FG=BG，∵∠FDB=90°，∠FBD=45°，∴∠DFB=45°，∴∠AFE=∠DFB=45°，即：∠AFE=∠CBG，∵CF⊥EG，EF=FG，∴CF是EG的垂直平分线，∴CE=CG，∴∠CEG=∠CGE，∴∠AEF=∠CGB，∴△AEF≌△CGB(ASA)∴AF=BC；（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，∴CD=BD，∠CAD=∠BAD，∴DN=DH，∵BQ⊥MN，DN⊥AC，则∠DNC=∠DQB=90°，∴BQ∥AC，则∠NCD=∠QBD，∴△NCD≌△QBD(AAS)，∴CN=BQ，DN=DQ=DH，∵S△DBM=12BM⋅DH=12DM⋅BQ，∴BM⋅DN=DM⋅CN，∴BM DM =CNDN，由（2）可知：EF=FG=BG，CE=CG，△AEF≌△CGB，则AF=BC，AE=CG=CE设EF=FG=BG=a，则BF=CF=2a，∴AF=BC=√BF2+CF2=2√2a，则CD=BD=12BC=√2a，AE=CG=CE=√CF2+FG2=√5a，则AC=AE+CE=2√5a，则AD=√AC2−CD2=3√2a，∵S△ABC=12AC⋅NQ=12BC⋅AD，即：2√5a⋅NQ=2√2a⋅3√2a∴NQ=6√55a，又∵DN=DQ，∴DN=12NQ=3√55a，则CN=√CD2−DN2=√55a，∴BM DM =CNDN=13．1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠ACB =30°，点D 为边BC 上一个动点，以AD 为边作其右侧作等边△ADE ．（1）如图1，线段AB 与线段AC 之间的数量关系为__________；（2）如图2，过点E 作EF ⊥AC 于点F ．求证：点F 是AC 的中点；（3）若AB =2．①如图3，当点D 是BC 的中点时，过点E 作EG ⊥BC 于点G ．求EG 的长；②当点D 从点B 运动到点C ，则点E 所经过的路径长__________（直接写出结果）．【思路点拨】（1）由∠B =90°，∠ACB =30°即可求解；（2）证△ABD ≌△AFE (AAS )，即可证明；（3）①作DN ⊥AC ， BC =√AC 2−AB 2=2√3，AD =√AB 2+BD 2=√7， AN =√AD 2−DN 2=52，证△ADN ≌△EDG (AAS )， 进而可求；②FH 为E 所经过的路径，当D 在B 点时，点E 恰落在AC 的中点F 处，当D 在C 点时，AH =AC ，进而可求．【解题过程】（1）解：∵∠B =90°，∠ACB =30°，∴AB =12AC ．故答案为：AB =12AC ．（2）∵△ADE 是等边三角形，∴AD =AE,∠DAE =60°，∵∠B =90°，∠ACB =30°，∴∠BAC =60°， ◆学霸必刷∴∠BAD=∠FAE，∵EF⊥AC，∴∠ABD=∠AFE，∴△ABD≌△AFE(AAS)，∴AB=AF=12AC，∴点F是AC的中点．（3）作DN⊥AC，∵AB=12AC，AB=2，∴AC=4，∴BC=√AC2−AB2=2√3，∵D是BC的中点，∴BD=CD=√3，∴AD=√AB2+BD2=√7，∵DN⊥AC，∠ACB=30°，∴DN=12CD=√32，∠CDN=60°，∴AN=√AD2−DN2=52，∵∠ADE=60°，∴∠ADN=∠EDG，∵AD=DE，∴△ADN≌△EDG(AAS)，∴EG=AN=52．如图，FH为E所经过的路径，当D在B点时，点E恰落在AC的中点F处，当D在C点时，AH=AC，∴FH=√AH2−AF2=2√3．2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以△ABC的两边AB、AC为腰向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，BC=5．（1）如图1，连接BE、CD．若∠ACB=45°，AC=2，求CD的长；（2）如图2，M为BC的中点，连接DM，过点M作DM⊥MN，交EB的延长线于点N，连接DN，试猜想BE、BN、DN之间有何等量关系并证明你的结论．【思路点拨】（1）先根据SAS证明△ACD≌△AEB，可得CD=BE，再说明△BCE是直角三角形，然后根据勾股定理求出CE，进而求出答案即可；（2）延长NM至K，使MN=MK，连接CK，DK，设NE交AD于点O，与CD的交点为J．先根据“SAS”证明△BMN≌△CMK，可得BN=CK，∠MNB=∠CKM，进而判定CK∥NE，可说明CD⊥CK，再根据勾股定理得DK2=DC2+CK2，然后根据垂直平分线的性质得DK=DN，即可得出答案．【解题过程】（1）∵等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∴AB=AD，AC=AE，∠EAC=45°，∴∠DAB+∠DAE=∠EAC+∠DAE，即∠EAB=∠CAD，在△EAB和△CAD中，{AB=AD∠EAB=∠CADAE=AC，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE．∵∠ACB=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ECA=45°+45°=90°，在Rt△ACE中，AC=AE=2，∴CE=√AC2+AE2=2√2．∵BC=5，∴BE=√CE2+BC2=√(2√2)2+52=√33，∴CD=BE=√33；（2）结论：DN2=BE2+BN2．理由：如图2中，延长NM至K，使MN=MK，连接CK，DK，设NE交AD于点O，与CD的交点为J．∵△ACD≌△AEB，∴∠EBA=∠CDA，BE=CD．∵∠AOB=DOJ，∴∠OAB=∠DJO=90°，∴BE⊥CD．∵MB=MC，∠BMN=∠CMK，MN=MK，∴△BMN≌△CMK，∴BN=CK，∠MNB=∠CKM，∴CK∥NE．∵CD⊥EN，∴CD⊥CK，∴∠DCK=90°，∴DK2=DC2+CK2.∵MN=MK，DM⊥NK，∴DK=DN，∴DN2=BE2+BN2．3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求△BPA的面积；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？【思路点拨】（1）根据动点的运动速度和时间先求出BP，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；（2）作PM⊥AB于M，利用角平分线的性质分别求得BM、PM，再利用勾股定理PB2=PM2+BM2，解得PC=4√5−4，最后利用BP=2t=16−(4√5−4)，求得t的值即可；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【解题过程】（1）解：由题意可得，BP=2t，∵t=3，AC=8，∴BP=2×3=6，∴S△BPA=12BP·AC=12×6×8=24，∴当t=3秒时，求△BPA的面积为24；（2）解：当线段AP恰好平分∠CAB时，作PM⊥AB于M，如图，∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PM⊥AB，∴∠PAC=∠PAM，∠ACP=∠AMP=∠BMP=90°，又∵AP=AP，∴△ACP≌△AMP(AAS)，∴PC=PM，AC=AM=8，∵AB=√82+162=8√5，∴BM=AB−AM=8√5−8，在Rt△BPM中，PB2=PM2+BM2，∴(16−PC)2=PC2+(8√5−8)2，解得PC=4√5−4，∴BP=2t=16−(4√5−4)，解得t=10−2√5；（3）解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，连接PD，如图，则∠AED=∠PED=90°，∴∠PED=∠ACB=90°，∵PD平分∠APC，∴∠EPD=∠CPD，又∵PD=PD，∴△PDE≌△PDC(AAS)，∴ED=CD=3，PE=PC=16−2t，∴AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+16−2t=20−2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(16−2t)2=(20−2t)2，解得t=5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图，同①得△PDE≌△PDC(AAS)，∴ED=CD=3，PE=PC=2t−16，∴AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+2t−16=2t−12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(2t−16)2=(2t−12)2，解得t=11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE=CD．4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动.设点P的运动时间为t(t>0)秒.（1）求斜边AC上的高线长；（2）①当P在AB上时，AP的长为__________，t的取值范围是__________.（用含t的代数式表示）；②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为__________；（3）在整个运动过程中，当△PAB是等腰三角形时t的值为__________.【思路点拨】（1）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；（2）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB=PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，推出EC=BC=12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可；（3）分AB=AP=5和AB=BP=5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可；关键．【解题过程】（1）在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，∴BC=√AC2−AB2=√132−52=12，如图所示，过点B作BD⊥AC于点D，S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，即BD=AB⋅BCAC=5×1213=6013，∴斜边AC上的高线长为6013；（2）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动，AC=13，∴AP=3t−AC=(3t−13)，∴AC3≤t≤AC+AB3，即133≤t≤13+53，∴133≤t≤6，故答案为：(3t−13)，133≤t≤6；②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，如图所示，∵CP平分∠BCA，∠B=90°，PE⊥，∴PB=PE.又∵PC=PC，∴Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，∴EC=BC=12，则AE=AC−CE=13−12=1，由（2）知AP=3t−13，∴BP=AB−AP=5−(3t−13)=18−3t，∴PE=18−3t，在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即(3t−13)2=12+(18−3t)2，解得t=265，∴点P在∠BAC的角平分线上时，t=265故答案为：265；（3）△PAB 是以AB 为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB =AP =5时，如图所示，则CP =AC −AP =13−5=8，∴t =CP 3=83； 当AB =BP =5时，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，如图所示，由（2）知BD =6013，AD =√AB 2−BD 2=√52−(6013)2=2513， ∵AB =BP ，BD ⊥AC ，∴AP =2AD =5013，∴CP =AC −AP =13−5013=11913， ∴t =CP 3=11939，△PAB 是以AB 为底的等腰三角形时，t 的值为136，综上，△PAB 是等腰三角形时t 的值为83或11939或136．5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形ABCD中，AC=AD=AB，∠BAC=90°．（1）把△BCD沿BC翻折得到△BCE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，求证：BE=2AF；（2）在（2）的条件下，连接DE，四边形ABCD的面积为45，AD=5√2，BC=10，求DE的长．【思路点拨】BD，由折叠的性质可得：（1）作AG⊥BD于G，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，BG=DG=12BE=BD，CE=CD，∠CBE=∠CBD，证明△ABF≌△BAG得到AF=BG，即可得出结论；（2）作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，则CH⊥DE，DH=EH，求出△ACD的面积为20，求出CN=4√2，由勾股定理可得AN=3√2，证明△ABM≌△CAN(AAS)得到BM=AN=3√2，求出△ABDBC×DH=30，求出DH=6，即可得出答案．的面积为15，得到△BCD的面积=12【解题过程】（1）证明：如图，作AG⊥BD于，，则∠AGB=90°，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∵AB=AD，AG⊥BD，BD，∠AGB=90°，∴∠ABD=∠ADB，BG=DG=12由折叠的性质可得：BE=BD，CE=CD，∠CBE=∠CBD，设∠CBE=∠CBD=x，则∠ABG=45°−x，∠ABF=45°+x，∵AF⊥BE，∴∠BFA=∠AGB=90°，∴∠BAF=90°−∠ABF=90°−(45°+x)=45°−x，∴∠ABG=∠BAF，在△ABF和△BAG中，{∠BFA=∠AGB∠BAF=∠ABGAB=BA，∴△ABF≌△BAG(AAS)，∴AF=BG，∴BE=2AF；（2）解：如图，作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，，由折叠的性质可得：CH⊥DE，CD，∵CE=CD，CH⊥DE，∴DH=EH，∵△ABC是等腰直角三角形，AD=AB=AC=5√2，∴△ABC的面积=12AB⋅AC=12×5√2×5√2=25，∵四边形ABCD的面积为45，∴△ACD的面积=12×AD×CN=45−25=20，∴12×5√2×CN=20，∴CN=4√2，∴AN=√AC2−CN2=√(5√2)2−(4√2)2=3√2，∵∠BAC=90°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAM+∠CAN=90°，∴∠ABM=∠CAN，在△ABM和△CAN中，{∠AMB=∠CNA=90°∠ABM=∠CANAB=CA，∴△ABM≌△CAN(AAS)，∴BM=AN=3√2，∴△ABD的面积=12AD×BM=12×5√2×3√2=15，∴△BCD的面积=12BC×DH=45−15=30，∴12×10×DH=30，∴DH=6，∴DE=2DH=12．6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=10，OC=OD=8（1）如图1，连接AC、BD，问AC与BD相等吗？并说明理由．（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间关系，并说明理由．（3）若△COD绕点O旋转，当∠AOC=15°时，直线CD与直线AO交于点F，求AF的长．【思路点拨】（1）根据题意可证得△AOC≌△BOD(SAS)，据此即可解答；（2）连接BD，可证得∠AOC=∠BOD，据此即可证得△AOC≌BOD(SAS)，AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据勾股定理可得CD2=2OC2，再根据等腰直角三角形的性质可证得∠CBD=90°，根据勾股定理即可证得结论；（3）过点O作OE⊥CD于点E，利用勾股定理可求得CD=8√2，根据面积公式可求得OE=4√2，再分两种情况，分别计算即可求得．【解题过程】（1）解：AC与BD相等；理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌BOD(SAS)，∴AC=BD；（2）解：结论：BC2+AC2=2OC2理由如下：如图：连接BD，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC，即∠AOC=∠BOD在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌BOD(SAS)，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，∴∠BAO=∠ABO=45°，CD2=OC2+OD2=2OC2，∴∠CAO=∠DBO=45°，∴∠CBD=∠ABO+∠DBO=45°+45°=90°，∴BC2+BD2=CD2，∴BC2+AC2=2OC2；（3）解：如图：过点O作OE⊥CD于点E，∵∠COD=90°，OC=OD=8，∴CD=√OC2+OD2=√82+82=8√2，∵S△OCD=12OC⋅OD=12CD⋅OE，∴OE=OC⋅ODCD =8√2=4√2，如图：当点F在OA的延长线上时，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠F=∠DCO−∠AOC=45°−15°=30°，∴OF=2OE=8√2，∴AF=OF−OA=8√2−10；如图：当点F在线段OA上时，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠DFO=∠DCO+∠AOC=45°+15°=60°，∴∠FOE=90°−60°=30°，∴EF=12OF，∵OF2=EF2+OE2，∴OF2=(12OF)2+(4√2)2，解得OF=83√6，∴AF=OA−OF=10−83√6，综上，AF的长为8√2−10或10−83√6．7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E为AD上一点，连接BE，CE，∠BAC=∠CED=2∠BED=2x．（1）如图1，若x=45°，求证：CE=2AE（2）如图2，若x=30°，AB=AC=√7．求CE的长．（3）如图3，若x=60°，AB=AC=2√3，点Q为△ABC外一点，且∠BQA=60°,AQ=2，求线段QC的长．【思路点拨】（1）作BH⊥AD，交AD的延长线于H，证明△ACE≌△BAH(AAS)，得到BH=AE,CE=AH，即可得证；（2）在AD上取点H，使BH=EH，作BF⊥AD于F，同（1）法可得，△ACE≌△BAH(AAS)，得到CE=AH,AE= BH，在Rt△ABF中，利用勾股定理进行求解即可；（3）以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM=120°，AQ=AM，连接BM，证明△BAM≌△CAQ(SAS)，得到BM=CQ，过点A作AG⊥QM于点G，勾股定理求出BM的长，即可得解．【解题过程】（1）证明：作BH⊥AD，交AD的延长线于H，∵x=45°，∴∠BAC=∠CED=2∠BED=90°，∴∠AEC=90°，∵∠CED=∠EAC+∠ACE,∠BAC=∠EAC+∠BAE，∴∠BAH=∠ACE，∵∠AEC=∠H=90°,AB=AC，∴△ACE≌△BAH(AAS)，∴BH=AE,CE=AH，∵∠BEH=45°,∠H=90°，∴BH=EH，CE,∴AE=EH=12∴CE=2AE；（2）在AD上取点H，使BH=EH BF⊥AD于F，则∠BHE=∠AEC=120°，同（1）法可得，△ACE≌△BAH(AAS)，∴CE=AH,AE=BH，设BH=EH=AE=2x，∵∠BHF=60°，∴HF=x，BF=√3x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：(√3x)2+(5x)2=(√7)，解得：x=1（负值舍去），2∴CE=AH=4x=2；（3）解：以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM=120°，AQ=AM，连接BM，∵∠BAC=∠QAM=120°，∴∠BAC+∠CAM=∠QAM+∠CAM，即∠BAM=∠CAQ，又∵AB=AC，∴△BAM≌△CAQ(SAS)，∴BM=CQ，∵AQ=AM,∠QAM=120°，∴∠AQM=30°，∵∠BQA=60°，∴∠BQM=∠BQA+∠AQM=60°+30°=90°，过点A作AN⊥BQ于点N，∵AQ=2,∠AQN=60°，∴NQ=AN=√3∵AB=2√3,∴BN=√AB2−AN2=√(2√3)2−(√3)2=3.∴BQ=BN+NQ=3+1=4，过点A作AG⊥QM于点G，∵∠AQG=30°,AQ=2，∴AG=1，GQ=√3,∴QM=2√3∴BM=√BQ2+QM2=√42+(2√3)2=2√7，∴CQ=2√7．8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在△ABC，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足b2=ac+a2则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题；（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，求∠A的度数；（3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．①当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“和谐勾股三角形【思路点拨】（1）先假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，BD=AB−AD=c−a，DG=BG=12(c−a)，AG=12(a+c)，在Rt△ACG与Rt△BCG利用勾股定理分别求CG2，建立方程即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，∴ab+a2=c2，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，∴a2+b2=c2，∴ab+a2=a2+b2，∴ab=b2∴a=b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，即原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB=BC，AC>AB∴a=c，b>c，∵△ABC是和谐勾股三角形，∴ac+a2=b2，∴c2+a2=b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°，（3）①在△ABC中，∠ABC=2∠BAC，∠BAC=32°，∴∠ABC=64°，根据三角形的内角和定理得，=180°−∠ABC−∠BAC=84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，当射线经过点C，（Ⅰ）当∠BCD=∠BDC时，∵∠ABC=64°，∴∠BCD=∠BDC=58°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−58°=26°，∠ADC=∠ABC+∠BCD=122°，∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）当∠BCD=∠ABC=64°时，∴∠BDC=52°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−64°=20°，∠ADC=128°，∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）当∠BDC=∠ABC=64°时，∴∠BCD=52°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−52°=32°=∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，当射线经过点B，同（Ⅰ当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD=∠A，作CG⊥AB于G，∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB=a，∵∠ACD=∠A，∴AD=CD=a，∴BD=AB−AD=c−a，∵CG⊥AB，∴DG=BG=12(c−a)，∴AG=AD+DG=a+12(c−a)=12(a+c)，在Rt△ACG中，CG2=AC2−AG2=b2−[12(c+a)]2，在Rt△BCG中，CG2=BC2−BG2=a2−[12(c−a)]2，∴b2−[12(c+a)]2=a2−[12(c−a)]2，∴b2=ac+a2，∴△ABC为“和谐勾股三角形”．9．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，∠ADB=α．（1）如图1，若α=30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系为；（2）若α=45°，①如图2；线段AD，BD，CD满足怎样的数量关系？证明你的结论；②如图3，点E在线段BD上，且∠BAE=45°，AD=5，BD=4，则DE=．【思路点拨】（1）结论：DC2=DA2+DB2．如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．首先证明△DCM是等边三角形，再证明△ADM是直角三角形即可解决问题；（2）①结论：DC2=DB2+2DA2．如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．由△DAB≌△MAC，推出BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°推出∠DMC=90°，推出DC2=CM2+DM2，由CM=DB，DM=√2AD，即可证明；②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，可得EB=EG，设DE=x．EB=EG=4−x，由AD=AM=5，推出DM=5√2，BM=DG=5√2−4，在RtΔDEG中，根据DG2+DE2=EG2，列出方程即可解决问题．【解题过程】（1）解：结论：DC2=DA2+DB2．理由如下：将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM，如图1所示：∵CD=CM，∠DCM=60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM=CD=CM，∵∠ADB=30°，∴∠DAB+∠DBA=150°，∵∠MAC=∠DBC，∴∠MAC+∠DAB=∠DBC+∠DAB=∠DBA+∠ABC+∠DAB=150°+60°=210°，∴∠DAM=360°−210°−60°=90°，∴DM2=DA2+AM2，∵AM=DB，DM=DC，∴DC2=DA2+DB2．故答案为DC2=DA2+DB2；（2）解：①结论：DC2=DB2+2DA2．理由如下：作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM，如图2所示：∵∠ADM=45°，∠DAM=90°，∴∠ADM=∠AMD=45°，∴DA=AM，DM=√2DA，∵∠DAM=∠BAC，∴∠DAB=∠MAC，∵AB=AC，∴△DAB≌△MAC，∴BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°∴∠DMC=90°，∴DC2=CM2+DM2，∵CM=DB，DM=√2AD，∴DC2=DB2+2DA2；②在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，如图3所示：则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，∴EB=EG，设DE=x，则EB=EG=4−x，∵AD=AM=5，∴DM=5√2，BM=DG=5√2−4，在RtΔDEG中，由勾股定理知DG2+DE2=EG2，则(5√2−4)2+x2=(4−x)2，解得x=20√2−254，故答案为5√2−254．10．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）在△ABC中，∠B=45°，E为平面内一点，连接AE、CE．（1）如图1，若点E在线段BC上，AC=EC，AB=4√2，BE=3，求线段AC的长；（2）如图2，若点E在△ABC内部，AC=EC，∠BAE=∠ACE，求证：AE+2AB=√2BC；（3）如图3，若点E在△ABC内部，连接BE，AB=4，BC=6√2，请直接写出12EC+√52EB+EA的最小值．【思路点拨】（1）过点A作AF⊥BC于F，则可得△AFB是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AF=BF=4，则可得EF=1，再设AC=x，则CF=CE−EF=x−1，在Rt△AFC中由勾股定理建立方程即可求解；（2）过C作CG⊥BC交BA的延长线于点G，在AG上取AH=AE，连接CH；首先可证明△AEC≌△AHC，其次再证明△ABC≌△HGC，则得GH=AB，从而由勾股定理即可证明结论成立；（3）过点B作BN⊥BE，且BN=BE，作BM⊥BC，BM=BC，连接MN；分别取BM、BN的中点D、F，连接DF，过A作AP⊥BD交DB延长线于点P，连接EF、AD、FD；证明△BEC≌△BNM，则MN=CE，由中点及中位线定理知BF=12BE，BD=12BC，DF=12MN=12CE，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=√5 2BE；则12EC+√52EB+EA=DF+FE+AE，则当点A、E、F、D四点共线时，12EC+√52EB+EA的最小值为AD的长，由勾股定理求解即可．【解题过程】（1）解：如图，过点A作AF⊥BC于F，则∠AFB=∠AFC=90°，∴∠FAB=∠FBA=45°，∴AF=BF即△AFB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AF2+BF2=AB2=32，∴AF=BF=4，∴EF=BF−BE=1；设AC=x，则CE=AC=x，∴CF=CE−EF=x−1；在Rt△AFC中，AF2+CF2=AC2，即42+(x−1)2=x2，解得：x=172；（2）解：如图，过C作CG⊥BC交BA的延长线于点G，在AG上取AH=AE，连接CH；∵AC=CE，∴∠CAE=∠CEA；∵∠CAE+2∠CAE=180°，∠BAE+∠CAE+∠CAH=180°，∠BAE=∠ACE，∴∠CAE=∠CAH，∵AC=AC，AE=AH，∴△AEC≌△AHC(SAS)，∴CE=CH，∵CA=CE，∴CA=CH，∴∠CHA=∠CAH，∴∠CHG=∠CAB；∵CG⊥BC，∠B=45°，∴∠G=∠B=45°，∴△ABC≌△HGC(AAS)，∴GH=AB，∴BG=AB+AH+CG=AE+2AB；∵∠G=∠B=45°，CG⊥BC，∴CB=CG，由勾股定理得：BG=√2BC，∴AE+2AB=√2BC；（3）解：如图，过点B作BN⊥BE，且BN=BE；作BM⊥BC，BM=BC，连接MN；分别取BM、BN的中点D、F，连接DF；过A作AP⊥BD交DB延长线于点P，连接EF、AD；∵∠EBN=∠CBM=90°，∴∠EBC=∠NBM；∵BN=BE，BC=BM，∴△BEC≌△BNM(SAS)，∴MN=CE，∵BM、BN的中点分别为D、F，∴BF=12BE，BD=12BC，DF=12MN=12CE，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=√BF2+BE2=√52BE；∴1 2EC+√52EB+EA=DF+FE+AE，∴当点A、E、F、D四点共线时，12EC+√52EB+EA取得最小值，且最小值为AD的长；∵BD⊥BCP，A⊥BP，∠ABC=45°，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PA=PB=√22AB=2√2；∵BM=BC=6√2，∴BD=12BM=3√2，∴PD=PB+BD=2√2+3√2=5√2；在Rt△PDA中，由勾股定理得AD=√PA2+PD2=√8+50=√58，∴1 2EC+√52EB+EA的最小值为√58．11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD、CE．（1）如图1，若点B、D、E在同一直线上，已知AD=2√2，BD=2，求线段BC的长度．（2）如图2，当∠ADB=90°时，过点B作BG⊥ED并交ED的延长线于点G，EG与BC交于点F，求证：DE=2FG．（3）如图3，已知若AB=4，直线BD与直线CE相交于点P，过点C作直线CH垂直于CB，点Q是直线CH上一点，直接写出AQ+PQ的最小值．【思路点拨】（1）如图1中，设AC与BE交于点O，证明△BAD≌△CAE(SAS)，推出BD=CE=2,∠ABD=∠ACE，推出∠CEO=∠BAO=90°，可得结论；（2）连接AF，过点A作AN⊥EG于点N，过点C作CM⊥EF与M，则∠CME=∠ANF=90°，依次证明△BAD≌△∠CAE(SAS)，再求出△GBD≌△MEC(AAS)，△BFG≌△CFM(AAS)，△BFG≌△FAN，即可得出结论；（3）如图3，作点A关于CH的对称点J，连接CJ，AJ，过点J作JM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点O，连接OP，OJ．求出PJ的最小值，可得结论．【解题过程】（1）解：如图1中，设AC与BE交于点O∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE=2,∠ABD=∠ACE∵∠AOB=∠COE∴∠CEO=∠BAO=90°∵AD=AE=2√2∴DE=√2AD=4∴BE=6∴BC=√CE2+BE2=√22+62=2√10；（2）证明：如图，连接AF，过点A作AN⊥EG于点N，过点C作CM⊥EF与M，则∠CME=∠ANF=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，∴△BAD≌△∠CAE(SAS)，∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB=90°，∴∠BDG=180°−∠ADB−∠ADE=45°，∠DEC=∠AEC−∠AED=90°−45°=45°，∵BG⊥ED，∴∠G=90°，∴∠CME=∠G=90°，∠BDG=∠DEC=45°，CE＝BD，∴△GBD≌△MEC(AAS)，∴BG=CM，又∵∠G=∠CMF，∠BFG=∠CFM，∴△BFG≌△CFM(AAS)，∴BF=CF．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF=BF=CF，AF⊥BC，∴∠AFN+∠BGG=90°，∵∠FBG+∠BFG=90°,∴∠AFN=∠FBG，∴∠G=∠ANF=90°，∴△BFG≌△FAN，∴AN=FG∵AD=AE，∠DAE=90°，AN⊥DE，∴DE=2AN=2FG．（3）解：如图3，作点A关于CH的对称点J，连接CJ，AJ，过点J作JM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点O，连接OP，OJ．∵AB=AC=4,∠BAC=90°∴BC=√2AB=4√2∴OB=OC=2√2∵CH⊥BC，A，J关于CH对称∴CJ=CA=4,∠JCH=45°∴∠JCM=45°∵JM⊥CM∴CM=JM=2√2∴OM=OC+CM=4√2∴OJ=√JM2+OM2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10由（2）得△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE∴∠CPB=∠BAC=90°∵OB=OC∴OP=2√2∴PJ≥OJ−OP=2√10−2√2∴PJ的最小值为2√10−2√2∵A，J关于CH对称∴AQ=QJ∴AQ+PQ=QP+QJ≥PJ=2√10−2√2∴AQ+QP的最小值为2√10−2√2．12．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）如图，长方形纸片ABCD，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．（1）如图1，点B′落在边AD上，若AE=2，则AB′=______，FB′=______；（2）如图2，若BE=2，F是BC边中点，连接B′D、FD，求△B′DF的面积；（3）如图3，点F是边BC上一动点，作EF⊥DF，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DB′F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．【思路点拨】（1）根据题意，折叠的性质可得△BEF≌△B′EF，根据在Rt△AB′E中，AE=2，B′E=4，AB′=√3AE= 2√3，设BF=x，则由等面积法列式求解，可得答案；（2）延长FB′交AB于K，设KE=x，KB′=y，则∠EB′K=90°，由勾股定理可得{x2=y2+4(x+2)2+16=(y+4)2，结合面积法可得S△BEFS△FEK =BFKF=BEEK，可得y=2x−4，可得AK=23，由S△DKF=S长方形ABCD−S△AKD−S△BFK−S△DCF可得三角形面积，结合S△B′KDS△DB′F =23，从而可得答案；（3）分两种情况讨论：由△DB′F是以DF为腰的等腰三角形，当DF=DB′时，过D作DH⊥B′F于H，证明△DHF≌△DCF，可得HF=CF，易得CF=83；当DF=B′F时，同理△DHF≌△DCF，设HF=CF=n,DH= CD=6，可得DF=B′F=BF=8−n，利用勾股定理可得(8−n)2=n2+62，从而可得答案．【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，AB=6,BC=8,AE=2，∴∠A=∠B=90°,BE=AB−AE=6−2=4，∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴△BEF≌△B′EF，∴BE=B′E=4，在Rt△AB′E中，AE=2,B′E=4，∴AB′=√3AE=2√3，设BF=B′F=x，如下图，连接AF，则由等面积法可得12AE⋅BF+12AB′⋅AB=12BF⋅BE+12AE⋅AB′，即12×2x+12×2√3×6=12×4x+12×2×2√3，解得x=4√3，∴BF=B′F=4√3．故答案为：2√3，4√3；（2）∵四边形ABCD是长方形，AB=6,BC=8,BE=2，F是BC边中点，∴AE=AB−BE=6−2=4，BF=CF=12BC=12×8=4，∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴B′F =BF =4,BE =B′E =2,∠B =∠EB′F =90°，∴B′F =CF =4，如图2，延长FB′交AB 于K ，设KE =x ，KB′=y ，∴∠EB′K =90°，∴由勾股定理可得{x 2=y 2+4(x +2)2+16=(y +4)2 ， ∴x =2y −2，∴S △BEFS △FEK=BF KF =BE EK ， ∴44+y =2x ，即y =2x −4，∴{x =2y −2y =2x −4， 解得{x =103y =83，经检验符合题意； ∴AK =6−103−2=23， ∴S △DKF =S 长方形ABCD −S △AKD −S △BFK −S △DCF=48−12×23×8−12×163×4−12×4×6 =683； ∵B ′K B ′F =834=23， ∴S△B ′KD S △DB ′F =23，∴S △DB ′F =35S △DKF =35×683=685；（3）∵△DB′F 是以DF 为腰的等腰三角形，当DF =DB′时，如图3，过D 作DH ⊥B′F 于H ，∴B′H =FH ，由折叠可得∠BFE =∠B′FE ，且EF ⊥DF ，∴∠B′FE +∠DFB′=90°=∠BFE +∠DFC ，∴∠DFB′=∠DFC ，∵∠DHF =∠C =90°，DF =DF ，∴△DHF ≌△DCF(AAS)，∴HF =CF ，∴BF =B′F =2FH =2FC ，∴3CF =8，即CF =83，当DF =B′F 时，同理△DHF ≌△DCF(AAS)，设HF =CF =n ，DH =CD =6，∴DF =B′F =BF =8−n ，∴由勾股定理可得(8−n)2=n 2+62，解得n =74，即CF =74．综上所述，CF =83或74．13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）在△ABC 中，AB =12AC ，点D 为直线BC 上一动点，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ．（1）如图1，连接ED 交AC 于F ，∠BAC =90°，F 为AC 中点，若BD =3√2，DF =√2，求AD 的长；（2）如图2，延长CB至点G使得BG=DB，连接AG，CE，求证：AG=CE；（3）如图3，∠BAC=120°，AB=2√7，作点E关于直线BC的对称点E′，连接BE′，EE′，当BE′最小时，直接写出线段EE′的长．【思路点拨】（1）由同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF，由SAS可证明△BAD≌△EAF，得到BD=EF=3√2，由∠EAD= 90°，AD=AE结合勾股定理得到AD2+AD2=BD2，计算即可得到答案；（2）延长AB至H，使BH=AB，连接DH，由SAS证明△ABG≌△HBD，得到AG=DH，由SAS证明△AHD≌△ACE，得到CE=AH，从而得证；（3）取AC的中点M，连接EM并延长交BC于N，令BC与EE′相交于点O，由SAS可证明△BAD≌△MAE(SAS)，得到∠ABD=∠AME=∠CMN，由∠BAC=120°，可得∠BAH=60°，∠MNB=60°，点E的轨迹为直线EM，EM交BC于N，连接AN，再将该直线沿BC翻折可得到E′的轨迹，则AN⊥NE′，此时∠ANB=30°，作AH⊥CA 交CA的延长线于H，作AG⊥BC交BC于G，由含有30°角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，AH=√7，AM=CM=AB=2√7，BH=√21，CH=5√7，BC=14，由等面积法可得AG=2√3，从而得到BG=4，AN=4√3，GN=6，BN=10，由对称的性质可得∠E′NB=60°，BN⊥EE′，OE′=OE，当BE′⊥E′N时，BE′最小，在△BE′N中，由含有30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及等面积法可求得OE′的长，从而得到答案．【解题过程】（1）解：∵F为AC中点，AB=12AC，∴AF=12AC=AB，∵∠BAD+∠DAF=∠BAC=90°，∠EAF+∠DAF=∠EAD=90°，∴∠BAD=∠EAF，在△BAD和△EAF中，{AD=AE∠BAD=∠EAFAB=AF，∴△BAD≌△EAF(SAS)，∴BD=EF=3√2，∴BD=EF+DF=4√2，∵∠EAD=90°，AD=AE，∴AD2+AE2=BD2，∴AD2+AD2=BD2，∴AD=4；（2）证明：延长AB至H，使BH=AB，连接DH，，在△ABG和△HBD中，{GB=DB∠ABG=∠HBDAB=HB，∴△ABG≌△HBD(SAS)，∴AG=DH，∵∠HAD+∠DAC=∠HAC，∠DAC+∠CAE=∠DAE，∠BAC=∠DAE，∴∠HAD=∠CAE，∵AB=12AC，AB=BH，∴AH=AC，在△AHD和△ACE中，{AH=AC∠HAD=∠CAEAD=AE，∴△AHD≌△ACE(SAS)，∴CE=AH，∴CE=AG；（3）解：如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE′交于点O，，∵AB=12AC，∴AM=AB，∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠EAM=∠EAD，∠BAC=∠EAD，∴∠BAD=∠MAE，在△BAD和△MAE中，{AB=AM∠BAD=∠MAEAD=AE，∴△BAD≌△MAE(SAS)，∴∠ABD=∠AME=∠CMN，∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠C=60°，∠BAH=60°，∴∠MNB=∠CMN+∠C=60°，∴点E的轨迹为直线EM，EM交BC于N，连接AN，再将该直线沿BC翻折可得到E′的轨迹，则AN⊥NE′，此时∠ANB=30°，作BH⊥CA交CA的延长线于H，∵AB=2√7，∴AH=12AB=√7，AM=CM=12AC=AB=2√7，AC=2AB=4√7，∴BH=√AB2−AH2=√(2√7)2−(√7)2=√21，CH=AC+AH=5√7，∴BC=√BH2+CH2=√(√21)2+(5√7)2=14，作AG⊥BC交BC于G，∵S△ABC=12AC⋅BH=12BC⋅AG，∴12×4√7×√21=12×14×AG，∴AG=2√3，∴AN=2AG=4√3，BG=√AB2−AG2=4，∴GN=√AN2−AG2=6，∴BN=BG+GN=10，∵点E关于直线BC的对称点E′，∴∠E′NB=60°，BN⊥EE′，OE′=OE，∴当BE′⊥E′N时，BE′最小，∴E′N=12BN=5，∴E′B=√BN2−E′N2=5√3，∵S△BE′N=12E′B⋅E′N=12BN⋅OE′，∴5√3×5=10×OE′，∴OE′=5√32，∴EE′=5√3．14．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB=4，E为直线AB上一动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．（1）BC=______（2）①如图1，当点E与点B重合时，AD=______．②如图2，当点E在线段AB上时，若BE=1，求AD的长度．（3）若∠ECB=15°，直接写出AD的长度．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，由30°所对的直角边是斜边的一半，再由勾股定理得到BC=4√3，即可得到答案；（2）①利用旋转性质，证得△ABC≌△ADC(SAS)，由全等性质即可得到AD=AB=4；②在AC上截取AF= AE，如图所示，由“手拉手模型”证得△DAE≌△CFE(SAS)，则AD=CF，根据（1）中AC=8，结合已知条件即可得到答案；（3）由于E为直线AB上一动点，当∠ECB=15°，分两种情况：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；作图分析求解即可得到答案．【解题过程】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=60°，则∠ACB=30°，∵AB=4，则AC=8，∴BC=√AC2−AB2=√82−42=4√3，故答案为：4√3；（2）解：①由（1）知∠ACB=30°，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴当点E与点B重合时，∠DCA=∠ACB=30°，CB=CD，在△ABC和△ADC，{CB=CD∠DCA=∠ACBAC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AD=AB=4，故答案为：4；②在AC上截取AF=AE，如图所示：∵∠CAB=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF,∠AEF=60°，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE,∠CED=60°，∵∠AED=∠AEF−∠DEF=60°−∠DEF，∠CEF=∠CED−∠DEF=60°−∠DEF，∴∠AED=∠CEF，在△DAE和△CFE中，{AE=EF∠AED=∠CEFED=EC，∴△DAE≌△CFE(SAS)，∴AD=CF，∵AB=4，BE=1，∴AF=AE=AB−BE=4−1=3，由（1）知AC=8，∴CF=AC−AF=8−3=5，则AD=CF=5；（3）解：由题意可知，分两种情况讨论：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB=30°，当∠ECB=15°时，∠ACE=∠BCE=15°，即CE是∠ACB的角平分线，∴过E作EG⊥AC于G，如图所示：∴BE=BG，在Rt△AEG中，∠EAG=60°，则∠AEG=30°，设AG=x，则AE=2x，由勾股定理可得BE=EG=√AE2−AG2=√3x，∵AB=4，∴AB=AE+EB，即4=2x+√3x，解得x=8−4√3，则BE=√3x=8√3−12，当E在直线BC上方，在AC上截取=AE，如图所示：由（2）②的求解过程可知，AD=FC，当BE=8√3−12时，AF=AE=AB−BE=4−(8√3−12)=16−8√3，∴AD=FC=AC−AF=8−(16−8√3)=8√3−8；当E在直线BC下方，过D作DH⊥AC于H，如图所示：∴∠DHC=90°，由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4,BC=4√3,AC=8，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∠ECB=15°，∴∠ACD=60°−30°−15°=15°=∠BCE，CE=CD，在△DHC和△EBC中，{∠ACD=∠BCE=15°∠DHC=∠EBC=90°CD=EC，∴△DHC≌△EBC(SAS)，∴HC=BC=4√3,DH=BE，作点E关于直线BC的对称点I，如图所示：则DH=BE=BI，由（3）可知，BI=8√3−12，则DH=BE=BI=8√3−12，∵AH=AC−HC=8−4√3，在Rt△AHD中，∠DHA=90°，AH=8−4√3，DH=8√3−12，则AD=√AH2+DH2=16−8√3，综上所述，若∠ECB=15°，AD的长度为8√3−8或16−8√3．15．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作AB的平行线l，点P是直线l上异于点C的动点，连接AP，过点P作AP的垂线交直线BC于点D．（1）如图1，当点P在点C的右侧时，①求证：PA=PD；（提示：作PE垂直直线l交CD于点E．）②试判定线段CA，CD，CP之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（2）若AC=5√2，AP=13，直接写出线段BD的长．【思路点拨】（1）①过P作PE⊥l，交CD于E，由∠ACB=90°，AC=BC，AB∥l，可得∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，所以CP=EP，∠DEP=∠ECP+∠CPE=135°=∠ACP，即可证明△ACP≌△DEP(ASA)，得PA=PD；②由①知△ACP≌△DEP，△ECP是等腰直角三角形，故AC=DE，CE=√2CP，即得CD=AC+√2CP；（2）分两种情况：当P在C右侧时，过A作AH⊥l于H；当P在C左侧时，过P作PF⊥l交BD的延长线于F，分别求解即可得到答案．【解题过程】（1）①证明：过P作PE⊥l，交CD E，如图所示，，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵AB∥l，∴∠ECP=∠ABC=45°，∴∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，∴CP=EP，∠DEP=∠ECP+∠CPE=135°=∠ACP，∵∠APD=90°=∠EPC，∴∠APC=∠EPD，∴△ACP≌△DEP(ASA)，∴PA=PD；②解：CD=AC+√2CP，由①可知：△ACP≌△DEP，△ECP是等腰直角三角形，∴AC=DE，CE=√2CP，∵CD=DE+CE，∴CD=AC+√2CP；（2）解：当P在C右侧时，过A作AH⊥l于H，如图所示，，∵∠ABC=∠BCP=45°，∠ACB=90°，∴∠ACH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC=5√2，∴AH=CH=5，在Rt△APH中，HP=√AP2−AH2=√132−52=12，∴CP=HP−CH=12−5=7，由②可知，CD=AC+√2CP，∴CD=5√2+√2×7=12√2，∴BD=CD−BC=CD−AC=12√2−5√2=7√2；当P在C左侧时，过P作PF⊥l交BD的延长线于F，如图所示，。
沪科版八年级下册数学：18.1 勾股定理 课件(共16张PPT)
小结与回顾
我会解 释了
作业布置
1，（必做题）习题18.1 1,2,3,4 2, (选做题)勾股定理的证明方法有很多，请 同学自己查资料找到勾股定理的其他证明方法
再见
只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。 成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神来自他们的博学。 志不立，天下无可成之事。 你不能左右天气，但你能转变你的心情。 忍是一种眼光，忍是一种胸怀，忍是一种领悟，忍是一种人生的技巧，忍是一种规则的智慧。 学习是苦根上长出来的甜果。 成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 愚者用肉体监视心灵，智者用心灵监视肉体。 思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 穿着饮食可以因陋就简，而搞学问是不能因陋就简的。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。 成功永远属于马上行动的人。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 每件事情都必须有一个期限，否则，大多数人都会有多少时间就花掉多少时间。
等于斜边的平方.
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90° a2+b2=c2
算一算 1.求下列直角三角形中未知边的长:
比
12
一
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运用勾股定理解决实际问题二、【定向导学·互动展示】
课堂元素自研自探环节
合作探究
环节
展示提升质疑评
价环节
总结归纳环
节
自学指导
（内容·学法·时间）
互动策
略
（内容·形
式·时间）
展示方
案
（内容·方式·时间）
随堂笔
记
（成果记录·知识生
成·同步演练）
导学一
生活情境探究认真自研教材P67的探究2
及其解题过程。
仿照例题的解题思路，试
分析下列情形中：
一个5 m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上，
这时AO的距离为3 m，如
果梯子的顶端A沿墙下滑
1 m,那么梯子底端B也外
移1 m吗？（结果保留根
号）
在Rt△AOB中，
= ,则
=
在Rt△COD中，
= ,则
=
所以=
1、小组长
检查自研
成果，用红
笔批阅对
错，并评定
等级
2、小组讨
论：
针对自学
指导中的
疑难问题
展开小组
交流，并记
录本小组
的困惑，准
备在展示
环节提出
展示方案提示：
1、探究2的展示：
联系实际，有运算
推理
过程
同步演练展示：
①剖析解题思路
②展示解题过程
2、．其他小组注意
聆听，及时评价、
质疑、补充
同步演练
如图所示，一个梯子
AB长5米，顶端A靠
在墙AC上，这时梯子
下端B与墙角C间的
距离为3米，梯子滑
动后停在DE的位置
上，测得DB的长为1
米，则梯子顶端A下
落了多少米？
当堂反馈（15分钟）：如图所示，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m，另一棵树高8 m,
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
训练课（时段：晚自习，时间：25分钟）
“日日清巩固达标训练题”自评：师评：
基础题：
如图，滑杆在槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长为2.5m，顶端点A在AC上运动，量得滑杆下端B距点C的距离为1.5米。
当端点B向右移动0.5m时，求滑杆顶端点A下滑多少米？
发展题
如图，在高为3米，长为5米的楼梯的表面铺地毯，至少需要地毯多少米？
提高题：
（2009，哈尔滨）如图是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1。
请在图中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合。
（注：用不同颜色的笔画出下列图形）
（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形
（2）画一个面积为10等腰直角三角形
（3）画一个一边长为，面积为6的等腰三角形
培辅课（时段：大自习附培辅单）
1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
1、病题诊所：
2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗？。