南京工业大学高等数学试题

南京工业大学高等数学试题（A ）卷（闭）

2014-2015学年第一学期期中考试试卷

班级 学号 姓名

一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、下列极限正确的是（ ）

A. 01lim(1)x x e x

→+= B. 11lim(1)x x e x →∞+=

C. 1lim sin 1x x x →∞=

D. 01lim sin 1x x x →=

2、若11

12()1x x e

f x e -=+，则0x =是()f x 的（ ）

A. 可去间断点

B. 跳跃间断点

C. 无穷间断点

D. 连续点

3、已知函数sin ,

0()2,01ln(13),0ax x x f x x x x bx

⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎩为连续函数，则,a b 满足（ ）

A. 2a =，b 为任意实数

B. 12

a b += C. 32,2

a b ==- D. 1a b == 4、已知()f x 是可导函数，则0

()()lim h f h f h h →--=（ ） A.()f x ' B. (0)f ' C. 2(0)f ' D. 2()f x '

5、若()()f x f x =-，且在(0,)+∞内：()0,()0f x f x '''>>，

则()f x 在(,0)-∞内必有（ ）

A. ()0,()0f x f x '''<<

B. ()0,()0f x f x '''<>

C. ()0,()0f x f x '''><

D. ()0,()0f x f x '''>>

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案的结果填在划线上）。

6、设参数方程为22t x te y t t

⎧=⎪⎨=+⎪⎩；则0t dy dx == 。 7、函数()x

x f x e =的单调增加区间为 。 8

、已知ln(12)cos

5x y π=++，dy = 。 9、求抛物线2y ax =(0)a >在0x =处的曲率为 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

10、121cos 0lim(1)x x x -→+

11、求函数2(1)sin ()(1)

x x f x x x -=

-的间断点，并指出其类型。

12、已知2ln y y x x =+，求11

x y dy dx ==。

13、已知曲线()y f x =经过原点，并且在原点的切线平行于直线230x y +-=，若2()3f x ax b '=+，且()f x 在1x =处取得极值，试确定,a b 的值，并求出函数()y f x =的表达式。

14、设1(1),0(),0x x x f x k

x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，且()f x 在0x =点连续。

求（1）k 的值；（2）()f x '。

15、设函数()0()0f x x g x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，（1）求a ，

使得()g x 在0x =连续；（2）求(0)g '。

16、证明方程3310x x -+=在[-1,1]上有且仅有一个实根。

17、证明：当||2x ≤时，3|3|2x x -≤。